职高数学立体几何.docx

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职高数学立体几何

平面的基本性质

一、高考要求:

理解平面的基本性质、

二、知识要点:

1、平面的表示方法:

平面就是无限延展的,就是没有边界的、通常用平行四边形表示平面,平面一般用希腊字母α、β、γ、…来命名,还可以用表示平行四边形的对角顶点的字母来命名、

2、平面的基本性质:

（1）如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内、这时我们说,直线在平面内或平面经过直线、用符号语言表示为:

如果A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则a⊂α、

（2）经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面、也可简单地说成,不共线的三点确定一个平面、它有三个推论:

推论1:

经过一条直线与直线外的一点,有且只有一个平面;

推论2:

经过两条相交直线,有且只有一个平面;

推论3:

经过两条平行直线,有且只有一个平面、

（3）如果两个平面有一个公共点,那么它们就有另外的公共点,并且这些公共点的集合就是经过这个点的一条直线、这时我们称这两个平面相交、用符号语言表示为:

如果A∈α,A∈β,则α∩β=

且A∈

、

3、有关概念:

如果空间内的几个点或几条直线都在同一平面内,那么我们就说它们共面;如果构成图形的所有点都在同一平面内,则这类图形叫做平面图形;如果构成图形的点不全在同一平面内,则这类图形叫做立体图形、直线与平面都就是空间的子集,直线又就是平面的子集、

三、典型例题:

例1:

已知E、F、G、H分别就是空间四边形ABCD各边AB、AD、BC、CD上的点,且EF与GH相交于点P、求证:

点B、D、P在同一直线上、

证明:

∵E∈AB,F∈AD又AB∩AD=A

∴E、F∈平面ABD

∴EF⊂平面ABD

同理GH⊂平面CBD

∵EF与GH相交于点P

∴P∈平面ABD,P∈平面CBD,又平面ABD∩平面ABD=BD

∴P∈BD即点B、D、P在同一直线上、

例2:

如图,已知直线a∥b,直线m与a、b分别交于点A、B,

求证:

a、b、m三条直线在同一平面内、

证明:

∵a∥b∴a、b可以确定一个平面α、

∵m∩α=A,m∩β=B,∴A∈α,B∈α又A∈m,B∈m

∴m⊂α、∴a、b、m三条直线在同一平面内、

四、归纳小结:

1、证明点共线问题常用方法有二:

（1）证明这些点都就是某两个平面的公共点;

（2）由其中两点确定一条直线再证明其它点在这条直线上、

2、共面问题证明常用“纳入平面法”一般分为两点:

（1）确定平面;

（2）证明其余点、线在确定的平面内,解题中应注意确定平面的条件、

五、基础知识训练:

（一）选择题:

1、下列说法正确的就是（）

A、平面与平面只有一个公共点B、两两相交的三条直线共面

C、不共面的四点中,任何三点不共线D、有三个公共点的两平面必重合

2、在空间,下列命题中正确的就是（）

A、对边相等的四边形一定就是平面图形B、四边相等的四边形一定就是平面图形

C、有一组对边平行的四边形一定就是平面图形D、有一组对角相等的四边形一定就是平面图形

3、过空间一点作三条直线,则这三条直线确定的平面个数就是（）

A、1个B、2个C、3个D、1个或3个

4、空间四点,其中三点共线就是这四点共面的（）

A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、既非充分也非必要条件

（二）填空题:

5、空间三条直线互相平行,但不共面,它们能确定个平面,三条直线相交于一点,它们最多可确定个平面、

6、检查一张桌子的四条腿的下端就是否在同一个平面内的方法就是、

（三）解答题:

7、已知A、B、C就是平面α外三点,且AB、BC、CA分别与α交于点E、F、G,求证:

E、F、G三点共线、

8、已知

∥

∥

且m∩

=A1,m∩

=A2,m∩

=A3,求证:

、

、

、m四线共面、

直线与直线的位置关系

一、高考要求:

1、掌握两直线的位置关系、掌握空间两条直线的平行关系、平行直线的传递性;

2、了解异面直线概念、了解异面直线的夹角、垂直与距离的概念、

二、知识要点:

1、两条直线的位置关系有三种:

（1）平行:

没有公共点,在同一平面内;

（2）相交:

有且仅有一个公共点,在同一平面内;（3）异面:

没有公共点,不同在任何一个平面内、

2、平行直线的传递性:

空间三条直线,如果其中两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线也互相平行、

3、异面直线的夹角、垂直与距离的概念:

经过空间任意一点,分别作与两条异面直线平行的直线,这两条直线的夹角叫做两条异面直线所成的角、成90º角的两条异面直线叫做相互垂直的异面直线,异面直线a与b垂直,记作a⊥b、与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线,对任意两条异面直线有且只有一条公垂线,两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分叫做这两条异面直线的公垂线段,公垂线段的长度叫做两条异面直线的距离、

三、典型例题:

例1:

已知空间四边形ABCD,E、F、G、H分别就是AB、BC、CD、DA的中点,求证:

EFGH就是平行四边形、

思考:

如果AC=BD,四边形EFGH的形状就是;如果AC⊥BD,四边形EFGH的形状就是;如果AC=BD且AC⊥BD,四边形EFGH的形状就是、

例2:

如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AA1=1cm,AB=AD=2cm,E就是AA1的中点、

（1）

求证:

AC1、BD1、CA1、DB1共点于O,且互相平分;

（2）求证:

EO⊥BD1,EO⊥AA1;

（3）求异面直线AA1与BD1所成角的余弦值;

（4）求异面直线AA1与BD1间的距离、

四、归纳小结:

1、平行线的传递性就是论证平行问题的主要依据;等角定理表明角在空间平行移动,它的大小不变、

2、两条异面直线所成的角θ满足0º＜θ≤90º,且常用平移的方法化为相交直线所成的角,在三角形中求解、

五、基础知识训练:

（一）选择题:

1、在立体几何中,以下命题中真命题的个数为（）

（1）垂直于同一直线的两直线平行;

（2）到定点距离等于定长的点的轨迹就是圆;

（3）有三个角就是直角的四边形就是矩形;（4）自一点向一已知直线引垂线有且只有一条、

A、0个B、1个C、2个D、3个

2、下列命题中,结论正确的个数就是（）

（1）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等;

（2）如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角或直角相等;

（3）如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补;

（4）如果两条直线同平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行、

A、1个B、2个C、3个D、4个

3、下列关于异面直线的叙述错误的个数就是（）

（1）不同在任何一个平面内的两条直线就是异面直线;

（2）既不平行也不相交的两条直线就是异面直线;

（3）连结平面内一点与平面外一点的直线与这个平面内不经过该点的任意直线就是异面直线;

（4）分别与两条异面直线同时相交的两条直线一定就是异面直线、

A、0个B、1个C、2个D、3个

4、下列命题中,结论正确的个数就是（）

（1）若a∥b,a∥c,则b∥c;

（2）若a⊥b,a⊥c,则b∥c;

（3）若a∥b,a⊥c,则b⊥c;（4）若a⊥b,a⊥c,则b⊥c;

A、1个B、2个C、3个D、4个

5、教室内有一直尺,无论怎样放置,在地面总有这样的直线,它与直尺所在直线（）

A、垂直B、平行C、相交D、异面

6、设a、b、c为空间三条直线,a∥b,a、c异面,则b与c的位置关系就是（）

A、异面B、相交C、不相交D、相交或异面

7、设a、b、c为空间三条直线,且c与a、b异面,若a与c所成的角等于b与c所成的角,则a与b的位置关系就是（）

A、平行B、平行或相交C、平行或异面D、平行或相交或异面

8、（2002高职-4）已知m,n就是异面直线,直线

平行于直线m,则

与n（）

A、不可能就是平行直线B、一定就是异面直线C、不可能就是相交直线D、一定就是相交直线

（二）填空题:

9、平行于同一直线的两直线的位置关系就是;垂直于同一直线的两直线的位置关系就是、

10、若a∥b,c⊥a,d⊥b,则c与d的关系为、

11、空间两个角α与β,若α与β两边对应平行,当α=50º时,则角β=、

（三）解答题:

12、、已知A、B与C、D分别就是异面直线a、b上的两点,求证:

AC与BD就是异面直线（要求画出图形,写出已知,求证与证明过程）

13、已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1、

（1）求直线DA1与AC的夹角;

（2）求直线DA1与AC的距离、

14、已知空间四边形OABC的边长与对角线长都为1,D、E分别为OA、BC的中点,连结DE、

（1）

求证:

DE就是异面直线OA与BC的公垂线;

（2）求异面直线OA与BC的距离;

（3）求点O到平面ABC的距离、

直线与平面的位置关系

一、高考要求:

1.掌握直线与平面的位置关系、

2.了解直线与平面平行的判定与性质,理解平行投影概念、掌握空间图形在平面上的表示方法、

3.掌握直线与平面垂直的判定与性质、理解正射影与三垂线定理及其逆定理、掌握直线与平面所成的角及点到平面距离的概念、

二、知识要点:

1.直线与平面的位置关系有以下三种:

（1）直线在平面内:

有无数个公共点;

（2）直线与平面相交:

有且只有一个公共点;（3）直线与平面平行:

没有公共点、

2.直线与平面平行的判定:

如果平面外一条直线与平面内一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行、

用符号语言表述为:

如果a∥b,b⊂α,a

α,那么a∥α、

直线与平面平行的性质:

如果一条直线平行于一个已知平面,且过这条直线的平面与已知平面相交,那么这条直线就与交线平行、

用符号语言表述为:

如果a∥α,a⊂β,α∩β=b,那么a∥b、

3.当直线或线段不平行于投射线时,平行射影具有下述性质:

（1）直线或线段的平行射影仍就是按或线段;

（2）平行线的平行射影仍就是平行线;

（3）在同一直线或平行直线上,两条线段平行射影的比等于这两条线段的比、

4.

表示空间图形的平面图形,叫做空间图形的直观图、画直观图通常用斜二测画法、

5.直线与平面垂直的判定:

如果一条直线垂直于平面内两条相交直线,那么这条直线就垂直于这个平面、

用符号语言表述为:

如果

⊥a,

⊥b,a⊂α,b⊂α,a∩b=P,那么

⊥α、

直线与平面垂直的性质:

如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线互相平行、

用符号语言表述为:

如果a⊥α,b⊥α,那么a∥b、

6.斜线及其在平面内的射影:

一条直线与一个平面相交但不与它垂直,这条直线称为平面的斜线,斜线与平面的交点称为斜足、从平面外一点向平面引垂线与斜线,从这点到斜足间的线段长,称为从这点到平面间的斜线的长,斜足与垂足之间的线段称为斜线在平面内的射影、这点到垂足的距离称为这个点到平面的距离、斜线与它在平面内的射影所成的角称为这条斜线与平面所成的角、

定理:

从平面外一点向平面引垂线与斜线、

（1）如果两斜线的射影的长相等,那么两斜线的长相等,射影较长的斜线也较长、

（2）如果两斜线长相等,那么射影的长也相等,斜线较长的射影也较长、

7.三垂线定理及其逆定理:

三垂线定理:

平面内的一条直线,如果与一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么这条直线也与这条斜线垂直、

用符号语言叙述为:

如果PO与PA分别就是平面α的垂线与斜线,AO就是斜线PA在平面α上的射影,而直线a⊂α,且a⊥AO,那么a⊥PA、

三垂线逆定理:

平面内的一条直线,如果与在这个平面的一条斜线垂直,那么这条直线也与这条斜线在平面内的射影垂直、

用符号语言叙述为:

如果PO与PA分别就是平面α的垂线与斜线,AO就是斜线PA在平面α上的射影,而直线a⊂α,且a⊥PA,那么a⊥AO、

三、典型例题:

例1:

已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M、N分别就是AB、PC的中点、

（1）求证:

MN∥平面PAD;

（2）求证:

MN⊥CD;

（3）若∠PDA=45º,求证:

MN⊥平面PCD、

例2:

AD、BC分别为两条异面直线上的两条线段,已知这两条异面直线所成的角为30º,AD=8cm,AB⊥BC,DC⊥BC,求线段BC的长、

例3:

（99高职-22）（本题满分10分）已知平面α,A∈α、B∈α、P

α、

⊂α,在以下三个关系中:

AB⊥

PA⊥α,PB⊥

以其中的两个作为条件,余下的一个作为结论,构造一个真命题（用文字语言表述,不得出现字母及符号,否则不得分）,并予以证明、

四、归纳小结:

1、在直线与平面的位置关系中,注意掌握通过“线线平行”去判定“线面平行”,反过来由“线面平行”去判定“线线平行”;通过“线线垂直”去判定“线面垂直”,反过来由“线面垂直”去判定“线线垂直”、

2、平行射影的性质就是假定已知线段或直线不平行于投射线得出的、如果平行于投射线,则线段或直线的像就是一个点、

3、由直线与平面垂直的判定定理可推出许多关于“垂直”的重要性质,其中最重要的有两个:

一个就是,到两点距离相等的点的轨迹就是连结这两点的线段的垂直平分面;另一个就是,三垂线定理及其逆定理、这个定理就是判定空间线线垂直的一个重要方法,就是计算空间中两条直线的夹角与线段长度等有关问题的重要基础、它的证明的思想方法十分重要、

4、在直线与平面所成的角中要重点掌握公式:

cosθ=cosθ1cosθ2、在公式的基础上得到了“斜线与它在平面内的射影所成的角就是斜线与这个平面内所有直线所成的角中最小的角”的结论、直线与平面所成的角θ满足0º≤θ≤90º、

五、基础知识训练:

（一）选择题:

1、如图,PO⊥平面ABC,O为垂足,OD⊥AB,则下列关系式不成立的就是（）

A、AB⊥PDB、AB⊥PC

C、OD⊥PCD、AB⊥PO

2、直线

与平面α成

的角,直线a在平面α内,且与直线

异面,则

与a所成角的取值范围就是（）

A、

B、

C、

D、

3、由距离平面α为4cm的一定点P向平面α引斜线PA与平面α成30º的角,则斜足A在平面α内的轨迹图形就是（）

A、半径为

cm的圆B、半径为

cm的圆

C、半径为

cm的圆D、半径为

cm的圆

4、设a、b就是两条异面直线,在下列命题中正确的就是（）

A、有且仅有一条直线与a、b垂直B、有一个平面与a、b都垂直

C、过直线a有且仅有一个平面与b平行D、过空间任一点必可作一条直线与a、b都相交

5、下列命题中正确的就是（）

A、若一条直线垂直于一个平面内的两条直线,则这条直线垂直于这个平面

B、若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,则这条直线必定垂直于这个平面

C、若一条直线平行于一个平面,则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线

D、若一条直线平行于一个平面,则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面

6、两条直线a、b与平面α成的角相等,则a、b的关系就是（）

A、平行B、相交C、异面D、以上三种情况都有可能

7、PA,PB,PC就是从P引出的三条射线,每两条的夹角都就是60º,则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为（）

A、

B、

C、

D、

8、直线a就是平面α的斜线,b⊂α,当a与b成60º的角,且b与a在α内的射影成45º角时,a与α所成的角就是（）

A、60ºB、45ºC、90ºD、135º

9、矩形ABCD,AB=3,BC=4,PA⊥ABCD且PA=1,P到对角线BD的距离为（）

A、

B、

C、

D、

10、在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面ABC,PA=8,则P到BC的距离为（）

A、

B、

C、

D、

11、在直角三角形ABC中,∠B=90º,∠C=30º,D就是BC边的中点,AC=2,DE⊥平面ABC,且DE=1,则E到斜边AC的距离就是（）

A、

B、

C、

D、

12、已知SO⊥平面α,垂足O,△ABC⊂α,点O就是△ABC的外心,则（）

A、SA=SB=SCB、SA⊥SB,且SB⊥SC

C、∠ASB=∠BSC=∠CSAD、SA⊥BC

（二）填空题:

13、如图,C为平面PAB外一点,∠APB=90º,∠CPA=∠CPB=60º,且PA=PB=PC=1,则C到平面PAB的距离为、

14、在空间四边形ABCD中,如果AB⊥CD,BC⊥AD,那么对角线AC与BD的位置关系就是、

15、两条直线a、b在同一个平面上的射影可能就是、

（三）解答题:

16、证明直线与平面平行的判定定理、

17、从平面外一点P向平面引垂线PO与斜线PA,PB、

（1）如果PA=8cm,PB=5cm,它们在平面内的射影长OA:

OB=4:

求点P到平面的距离;

（2）如果PO=k,PA、PB与平面都成30º角,且∠APB=90º,求AB的长;

（3）如果PO=k,∠OPA=∠OPB=∠APB=60º,求AB的长、

18、一个正三角形的边长为a,三角形所在平面外有一点P、

（1）P到三角形三顶点的距离都就是

a,求这点到三角形各顶点连线与三角形所在平面成的角的大小以及这点到三角形所在平面的距离;

（2）P到三角形三条边的距离都就是

a,求这点到三角形各边所作垂线与三角形所在平面成的角的大小以及这点到三角形所在平面的距离、

19、已知直角△ABC在平面α上,D就是斜边AB的中点,DE⊥α,且DE=12cm,AC=8cm,BC=6cm,求EA,EB,EC的长、

20、如图,平面α∩β=CD,EA⊥α,EB⊥β,且A∈α,B∈β、

求证:

（1）CD⊥平面EAB;

（2）CD⊥直线AB、

21、已知PO⊥平面ABO,PB⊥AB,又知∠PAB=α,∠PAO=β,∠OAB=γ、

求证:

cosα=cosβcosγ、

22、已知正方体ABCD-A1B1C1D1、

（1）求直线DA1与AC1的夹角;

（2）求证:

AC1⊥平面A1BD、

平面与平面的位置关系

一、高考要求:

1.掌握平面与平面的位置关系、

2.了解平面与平面的判定与性质,理解二面角概念,掌握平面与平面垂直的判定与性质、

二、知识要点:

1.

平面与平面有以下两种位置关系:

（1）平行:

没有公共点;

（2）相交:

有一条公共直线、

2.平面与平面平行的判定:

如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面互相平行、

用符号语言表述为:

如果a∩b≠Φ,a⊂α,b⊂α,且a∥β,b∥β,那么α∥β、

平面与平面平行的性质:

如果两个平行平面同时与第三个平面相交,则它们的交线平行、

用符号语言表述为:

如果α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b,那么a∥b、

3.

二面角:

由一条直线引两个半平面所组成的图形称为二面角,这条直线称为二面角的棱,构成二面角的两个半平面称为二面角的面、在二面角的棱上任取一点,过这点在二面角的两个半平面内分别作棱的垂线,这两条垂线相交所成的角称为二面角的平面角、二面角的大小可用它的平面角来度量、平面角就是直角的二面角叫做直二面角、

4.

平面与平面垂直的判定:

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直、

用符号语言表述为:

如果直线AB⊂平面α,AB⊥β,垂足为B,那么α⊥β、

平面与平面垂直的性质:

如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面、

用符号语言表述为:

如果α⊥β,α∩β=CD,AB⊂α,AB⊥CD,B为垂足,那么AB⊥β、

三、典型例题:

例1:

试证明:

如果两个平面垂直,那么在一个平面内,垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面、

例2:

已知二面角α-

-β的平面角就是锐角θ,若点C∈α,C到β的距离为3,C到棱AB的距离为4,试求sin2θ的值、

例3:

已知平面β⊥平面α,平面γ⊥平面α,且平面β∩平面γ=a,求证:

a⊥α、

四、归纳小结:

1.在平面与平面的位置关系中,注意掌握通过“线面（或线线）平行”去判定“面面平行”,反过来由“面面平行”去判定“线线平行”;通过“线线垂直”去判定“线面垂直”,反过来由“线面垂直”去判定“线线垂直”、

2.二面角θ满足0º≤θ≤180º、求二面角的大小分两步:

（1）找出二面角的平面角;

（2）在三角形中求解平面角、

五、基础知识训练:

（一）选择题:

1.设a、b、c表示直线,α、β、γ表示平面,下面四个命题中,;

①若a⊥c,b⊥c,则a∥b②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β

③若a⊥c,b⊥α,则a∥α④若a⊥α,a⊥β,则α∥β

A、①与②B、③与④C、②D、④

2.

如图,木工师傅在检查工件相邻的两个面就是否垂直时,常用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动一下,观察尺边就是否与这个面密合就可以了、这种检查方法的依据就是（）

A、平面的基本性质B、三垂线定理

C、平面与平面垂直的判定定理D、直线与平面垂直的判定定理

3.已知直线

⊥平面α,直线m⊂平面β,有下面四个命题:

①α∥β⇒

⊥m;②

∥m⇒α⊥β;③α∥β⇒

∥m;④

⊥m⇒α∥β、其中正确的两个命题就是（）

A、①与②B、③与④C、②与④D、①与③

4.如果直线

m与平面α、β、γ满足:

=β∩γ,

∥α,m⊂α与m⊥γ,那么必有（）

A、α⊥γ且

⊥mB、α⊥γ且m∥βC、m∥β且

⊥mD、α∥β且α⊥γ

5.对于平面α、β与直线

、m,则α⊥β的一个充分条件就是（）

A、

⊥m,

∥α,m∥βB、

⊥m,α∩β=

m⊂α

C、

∥m,m⊥β,

⊂αD、

∥m,

⊥α,m⊥β

6.若异面直线a、b,a⊂α,b⊂β,则平面α、β的位置关系一定就是（）

A、平行B、相交C、平行或相交D、平行或相交或重合

7.下列命题中,正确的就是（）

（1）平行于同一直线的两平面平行

（2）平行于同一平面的两平面平行

（3）垂直于同一直线的两平面平行（4）垂直于同一平面的两平面平行

A、

（1）

（2）B、

（2）（3）C、（3）（4）D、

（2）（3）（4）

8.过平面外一点P,

（1）存在无数个平面与平面α平行

（2）存在无数个平面与平面α垂直

（3）存在无数条直线与平面α垂直（4）只存在一条直线与平面α平行

其中正确的有（）

A、1个B、2个C、3个D、4个

9.设正方形ABCD的边长为

PA⊥平面AC,若PA=12,则二面角P-BD-C的大小为（）

A、

B、

C、

D、

（二）填空题:

10.已知二面角就是60º,在它的内部有一点到这个二面角的两个半平面的垂线段长都就是a,则两个垂足间的距离就是、

11.在二面角的一个面内有一个已知点A,它到棱的距离就是它到另一个面的距离的2倍,则这个二面角的度数就是、

12.有如下几个命题:

①平面α与平面β垂直的充分必要条件就是α内有一条直线与β垂直;

②平面α与平面β平行的一个必要而不充分的条件就是α内有无数条直线与β平行;

③直线a与平面β平行的一个充分而不必要的条件就是β内有一条直线与直线a平行、

其中正确命题的序号就是、

13.设m、