人教版八下数学172 课时2 勾股定理的逆定理的应用教案+学案.docx

人教版八下数学172 课时2 勾股定理的逆定理的应用教案+学案.docx

《人教版八下数学172 课时2 勾股定理的逆定理的应用教案+学案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版八下数学172 课时2 勾股定理的逆定理的应用教案+学案.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

人教版八下数学172课时2勾股定理的逆定理的应用教案+学案

人教版八年级下册数学第17章勾股定理

17.2勾股定理的逆定理

课时2勾股定理的逆定理的应用教案

【教学目标】

1．能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形；

2．灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题；

3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系.

【教学重点】

1．能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形；

2．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系.

【教学难点】

能灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题．

【教学过程设计】

一、情境导入

某港口位于东西方向的海岸线上，“远望号”“海天号”两艘轮船同时离开港口，各自沿一固定的方向航行，“远望号”每小时航行16海里，“海天号”每小时航行12海里，它们离开港口1个半小时后相距30海里，如果知道“远望号”沿东北方向航行，能知道“海天号”沿哪个方向航行吗？

二、合作探究

探究点：

勾股定理的逆定理的应用

【类型一】运用勾股定理的逆定理求角度

如图，已知点P是等边△ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．

解析：

将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连接EP，判断△APE为直角三角形，且∠APE＝90°，即可得到∠APB的度数．

解：

∵△ABC为等边三角形，∴BA＝BC.可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，∴BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°，∴△BPE为等边三角形，∴PE＝PB＝4，∠BPE＝60°.在△AEP中，AE＝5，AP＝3，PE＝4，∴AE2＝PE2＋PA2，∴△APE为直角三角形，且∠APE＝90°，∴∠APB＝90°＋60°＝150°.

方法总结：

本题考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．解决问题的关键是根据题意构造△APE为直角三角形．

【类型二】运用勾股定理的逆定理求边长

在△ABC中，D为BC边上的点，AB＝13，AD＝12，CD＝9，AC＝15，求BD的长．

解析：

根据勾股定理的逆定理可判断出△ACD为直角三角形，即∠ADC＝∠ADB＝90°.在Rt△ABD中利用勾股定理可得出BD的长度．

解：

∵在△ADC中，AD＝12，CD＝9，AC＝15，∴AC2＝AD2＋CD2，∴△ADC是直角三角形，∠ADC＝∠ADB＝90°，∴△ADB是直角三角形．在Rt△ADB中，∵AD＝12，AB＝13，∴BD＝

＝5，∴BD的长为5.

方法总结：

解题时可先通过勾股定理的逆定理证明一个三角形是直角三角形，然后再进行转化，最后求解，这种方法常用在解有公共直角或两直角互为邻补角的两个直角三角形的图形中．

【类型三】勾股定理逆定理的实际应用

如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？

解析：

把实际问题转化成数学问题来解决，运用直角三角形的判别条件，验证它是否为直角三角形．

解：

∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，∴AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100.又∵AC2＝92＝81，∴AB2＋BC2≠AC2，∴∠ABC≠90°，∴该农民挖的不合格．

方法总结：

解答此类问题，一般是根据已知的数据先运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形，然后再作进一步解答．

【类型四】运用勾股定理的逆定理解决方位角问题

如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私A艇发现正东方有一走私艇以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇B测得距离C艇12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？

解析：

已知走私船的速度，求出走私船所走的路程即可得出走私船所用的时间，即可得出走私船何时能进入我国领海．解题的关键是得出走私船所走的路程，根据题意，CE即为走私船所走的路程．由题意可知，△ABE和△ABC均为直角三角形，可分别解这两个直角三角形即可得出．

解：

设MN与AC相交于E，则∠BEC＝90°.∵AB2＋BC2＝52＋122＝132＝AC2，∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°.∵MN⊥CE，∴走私艇C进入我国领海的最短距离是CE.由S△ABC＝

AB·BC＝

AC·BE，得BE＝

海里．由CE2＋BE2＝122，得CE＝

海里，∴

÷13＝

≈0.85（小时）＝51（分钟），9时50分＋51分＝10时41分．

答：

走私艇C最早在10时41分进入我国领海．

方法总结：

用数学几何知识解决实际问题的关键是建立合适的数学模型，注意提炼题干中的有效信息，并转化成数学语言．

【板书设计】

17.2勾股定理的逆定理

课时2勾股定理的逆定理的应用

1．利用勾股定理逆定理求角的度数

2．利用勾股定理逆定理求线段的长

3．利用勾股定理逆定理解决实际问题

【教学反思】

在本节数学课的教学中，应尽量给学生充足的时间和空间，让学生以平等的身份参与到学习活动中去，教师要帮助、指导学生进行实践活动，这样既锻炼了学生的实践、观察能力，又在教学中渗透了人文和探究精神，体现了“数学源于生活、寓于生活、用于生活”的教育思想．

人教版八年级下册数学第17章勾股定理

17.2勾股定理的逆定理

课时2勾股定理的逆定理的应用学案

【学习目标】

1．.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题；

2．能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题．

【学习重点】

能灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.

【学习难点】

能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题．

【自主学习】

一、知识回顾

1.你能说出勾股定理及其逆定理的内容吗？

2.快速填一填：

（1）已知△ABC中，BC=41,AC=40,AB=9,则此三角形为_______三角形，_________是最大角;

（2）等腰△ABC中，AB=AC=10cm,BC=12cm,则BC边上的高是__________cm.

二、合作探究

考点1：

勾股定理的逆定理的应用

【典例探究】

例1如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？

分析：

题目已知“远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离，实质是要求

出两艘船航向所成角，由此容易联想到勾股定理的逆定理.

方法总结:

解决实际问题的步骤：

构建几何模型（从整体到局部）；标注有用信息,明确已知和所求；应用数学知识求解.

变式题如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？

分析：

根据勾股定理的逆定可得△ABC是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面积公式可求PD，然后再利用勾股定理便可求CD.

例2一个零件的形状如图所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图所示,这个零件符合要求吗？

【跟踪训练】

1.A、B、C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C在B地的什么方向？

2.如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？

考点2：

勾股定理及其逆定理的综合应用

【典例探究】

例3如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积.

分析：

连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形.

方法总结:

四边形问题对角线是常用的辅助线，它把四边形问题转化成两个三角形的问题.在使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股定理是“黄金搭挡”，经常配套使用.

变式题1如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD的面积.

变式题2如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30cm2，DC＝12cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求△ABC的面积.

【跟踪训练】

1.如图，△ABC中，AB=AC，D是AC边上的一点，CD=1，BC＝5，BD=2．

（1）求证：

△BCD是直角三角形；

（2）求△ABC的面积．

三、知识梳理

勾股定理的逆定理的应用

应用

与勾股定理结合解决不规则图形等问题

航海问题

方法

认真审题,画出符合题意的图形,熟练运用勾股定理及其逆定理来解决问题

四、学习中我产生的疑惑

【学习检测】

1.医院、公园和超市的平面示意图如图所示，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300m,公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m,则公园在医院的北偏东______的方向.

2.若△ABC的三边长a,b,c满足（a-b）（a2+b2-c2）=0,则△ABC是　　（　　）

　A.等腰三角形B.直角三角形

　C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

　解析:

根据题意可得a=b或a2+b2-c2=0,因此△ABC可能为等腰三角形,也可能为直角三角形.故选C.

3.下列说法中正确的有　　（　　）

（1）在一个三角形中,如果一边上的中线等于这条边的一半,那么这条边所对的角是直角;

（2）命题“在一个三角形中,有一个角是30°,那么它所对的边是另一边的一半”的逆命题是真命题;

　（3）勾股定理的逆定理是:

如果两条直角边长的平方和等于斜边长的平方,那么这个三角形是直角三角形;

　（4）△ABC的三边之比是1∶1∶,则△ABC是直角三角形.

　A.1个　　　B.2个　　　C.3个　　　D.4个

　解析:

（1）正确,

（2）错误,（3）错误,（4）正确,故有两个说法是正确的.故选B.

4.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是（　　）

ABCD

5.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，同时，B组也由驻地O出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2h后同时停下来，这时A，B两组相距30km．此时，A，B两组行进的方向成直角吗？

请说明理由.

6.如图

（1）所示的是一块地,已知AD=4m,CD=3m,AD⊥DC,AB=13m,BC=12m,求这块地的面积.

解:

如图

（2）所示,连接AC.

　∵AD⊥DC,

　∴在Rt△ACD中,AD2+CD2=AC2,

　∴AC===5（m）.

　∵AC2+BC2=52+122=132=AB2,

　∴△ABC为直角三角形,

　∴这块地的面积为S=S△ABC-S△ACD=AC·CB-AD·DC=×5×12-×3×4=24（m2）.　

7.如图，在△ABC中，AB=17，BC=16，BC边上的中线AD=15，试说明：

AB=AC.

8.在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B．于是，一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O（如图）沿北偏东40°的方向向目标A的前进，同时，另一艘搜救艇也从港口O出发，以12海里/时的速度向着目标B出发，1.5小时后，他们同时分别到达目标A、B．此时，他们相距30海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？

9.如图，在△ABC中，AB：

BC：

CA=3：

4：

5且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向

点以每秒2cm的速度移动，点Q从点C沿CB边向点B以每秒1cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，求PQ的长．

10.如图所示,在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域,我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A,B两个基地前去拦截,6分钟后同时到达C地将其拦截.已知甲巡逻艇每小时航行120海里,乙巡逻艇每小时航行50海里,航向为北偏西22.62°,求甲巡逻艇的航向.

解:

AC=120×0.1=12（海里）,BC=50×0.1=5（海里）.又因为AB=13海里,所以AB2=BC2+AC2,即∠ACB=90°.因为∠CBA=90°-22.62°=67.38°,所以∠CAB=22.62°,所以甲巡逻艇的航向为北偏东67.38°.

11.王丽准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈,用于饲养家兔.已知第一条边长为a米,由于受地势限制,第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米.

（1）请用a表示第三条边长.

（2）第一条边长可以为7米吗?

为什么?

请说明理由,并求出a的取值范围.

（3）能否使得围成的小圈是直角三角形形状,且各边长均为整数?

若能,说明你的围法;若不能,请说明理由.

解:

（1）由题意知第二条边长为（2a+2）米,∴第三条边长为30-a-（2a+2）=28-3a（米）.　

（2）当a=7时,三边长分别为7米、16米、7米.由于7+7<16,故不能构成三角形,即第一条边长不能为7米.由解得

（2）的条件下,注意到a为整数,所以a只能取5或6.当a=5时,三角形的三边长分别为5,12,13.由52+122=132知,恰好能构成直角三角形.当a=6时,三角形的三边长分别为6,14,10.由62+102≠142知,此时不能构成直角三角形.综上所述,能围成满足条件的直角三角形,三边长分别为5米、12米、13米.