华师大版解直角三角形教案.docx
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华师大版解直角三角形教案
第19章解直角三角形
第1课时§19.1 测量
【教学目标】本节主要研究如何利用已学知识尤其是相似三角形的相关知识解决生活中某些测量问题。
【教学重点】探究和解决生活中的某些测量问题。
【教学难点】探究解决生活中的某些测量问题的方法。
【教学方法】探究法
【教具准备】皮尺、测角仪
【教学过程】
一．问题引入
1．测量操场旗杆有多高？
如图19.1.1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以计算出旗杆的高度．
2．如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？
人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识．
二．试一试如图19.1.2所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1米．现在请你按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度．你知道计算的方法吗？
（请你量一量、算一算。
）
实际上，我们利用图19.1.2
（1）中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及到直角三角形中的边角关系．直角三角形中，三条边有什么关系？
它的边与角又有什么关系？
这一切都是本章要探究的内容．
三．归纳小结：
两种测量的方法：
方法一：
构造可以测量的与原三角形相似的小三角形，利用对应线段成比例的性质计算出所求线段的长；
方法二：
利用比例尺在纸上画一个与实物三角形相似的小三角形，通过直尺测量出所求线段在纸上的长度，再利用比例尺计算出实际长度。
四．课堂练习
1．在一次数学活动课上，老师让同学们到操场测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法。
小芳的测量方法是：
拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图所示），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A到竹竿顶部E处恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高。
你认为这种测量方法是否可行？
请说明理由。
2．请你与你的同学一起设计两种方案，测量你们学校楼房的高度。
五．课后作业
P99（习题19.1）
第2课时§19.2 勾股定理
（1）
【教学目标】1.研究直角三角形的特殊性质：
勾股定理；
2．运用勾股定理进行简单的计算。
【教学重点】运用勾股定理进行简单的计算。
【教学难点】理解勾股定理。
【教学方法】探究法
【教具准备】直尺、电脑、实物投影
【教学过程】
一．问题引入
现在先让我们一起来看看，直角三角形的三条边之间有什么关系.
1．观察图19.2.1三个正方形的面积之间的关系
AC2＋BC2＝AB2
2．AC、BC、AB又恰好是Rt△ABC的三条边。
这说明。
二．试一试
观察图19.2.2，如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到：
正方形P的面积＝________________平方厘米；
正方形Q的面积＝________________平方厘米.
正方形R的面积＝______________平方厘米.
我们发现，正方形P、Q、R的面积之间的关系是______________________________________.
由此，我们得出直角三角形ABC的三边的长度之间存在关系_________________________________________________.
三．做一做
在图19.2.3的方格图中，用三角尺画出两条直角边分别为5cm、12cm的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系对这个直角三角形是否成立.
四．勾股定理
数学上可以说明：
对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有
a2+b2=c2
这种关系我们称为勾股定理.
勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
五．运用实例
例1如图19.2.4，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，BC长为2.16米，
求梯子上端A到墙的底端B的距离AB.（精确到0.01米）
解 在Rt△ABC中,∠ABC=90゜,
BC=2.16, CA=5.41,
根据勾股定理得
≈4.96（米）
六．课堂练习
①．P102：
练习1～2
②．补充：
1．在Rt△ABC中，AB＝c,BC＝a，AC＝b,∠A=90゜.
（1）已知a=15,b=12,求c；
（2）已知b=8,c=15,求a。
2．在Rt△ABC中，∠C=90゜，∠A=30゜，AB＝6，求：
（1）△ABC的面积；
（2）AB边上的高CD。
七．课后作业：
P104（习题19.2）：
1～3题
第3课时§19.2 勾股定理
（2）
【教学目标】1．运用勾股定理进行简单的计算。
【教学重点】运用勾股定理进行简单的计算。
【教学难点】理解勾股定理。
【教学方法】探究法
【教具准备】直尺、电脑、实物投影
【教学过程】
一．复习提问
1．复述勾股定理的内容
2．在Rt△ABC中，AB＝c,BC＝a，AC＝b,∠C=90゜.
（1）已知a=12,b=9,求c；
（2）已知b=8,c=17,求a。
3．在Rt△ABC中，∠C=90゜，∠A=30゜，AB＝6，求：
（1）△ABC的面积；
（2）AB边上的高CD。
二．讲述新课
1．试一试
用你的方法说明勾股定理的正确性。
方法一：
方法二：
2．例题讲解
例2 如图19.2.9，为了求出湖两岸的A、B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形.通过测量，得到AC长160米，BC长128米.问从点A穿过湖到点B有多远？
解 在直角三角形ABC中，
AC＝160，BC＝128，
根据勾股定理可得
=96（米）
答：
从点A穿过湖到点B有96米.
三．课堂练习
1．P104：
1、2
2．正方形的面积是
，它的对角线的平方是（）
A．
B．
C．
D．
3．等腰三角形底边上的高是8，周长是32，则三角形的面积为（）
A．32B．40C．48D．56
4．把直角三角形两条直角边同时扩大到原来的2倍，则其斜边（）
A．扩大到原来的2倍B．扩大到原来的4倍
C．不变D．减小到原来的
5．A、B两点在同一直角坐标系中的坐标分别为（2，2）和（5，-2），求A、B间的距离。
6．如右图，居民楼与马路是平行的，相距9米，在距离载重汽车41处就可受到噪音影响，试求在马路上以40km/h速度行驶的载重汽车，给一楼的居民带来多长时间的噪音影响？
四．课后作业
P104（习题19.2）：
4、5
第4课时§19.3.1 锐角三角函数
【教学目标】1．了解锐角三角函数的定义；
2．初步掌握三角函数的性质；
3．知道几种特殊角的三角函数值；
4．掌握定理：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30゜，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
【教学重点】掌握几种特殊角的三角函数值和定理“在直角三角形中，如果一个锐角等于30゜，那么它所对的直角边等于斜边的一半”。
【教学难点】掌握三角函数的性质
【教学方法】探究法
【教具准备】直尺、电脑、实物投影
【教学过程】
一．复习引入
1．已知Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，问两个三角形的三组边是否成比例？
2．观察图19.3.2中的Rt△AB1C1、Rt△AB2C2和Rt△AB3C3中，
＝__________=__________
＝__________=__________
（可以使用几何画板演示）
结论：
当Rt△ABC中，∠A的大小不变时，三条边的比例也不变（即为一个固定值）。
二．讲述新课
1．三角函数
对于锐角A的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是惟一确定的.
因此这几个比值都是锐角∠A的函数，记作sinA、cosA、tanA、cotA，即
sinA=
cosA=
tanA=
cotA=
分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A的三角函数.
2．锐角三角函数的特征与性质：
（1）锐角三角函数的值都是正实数，并且0＜sinA＜1，0＜cosA＜1
（2）tanA•cotA=1
（3）若∠A＋∠B＝90°，则sinA＝cosB、cosA＝sinB、tanA＝cotB、cotA＝tanB。
（4）补充：
，
（视情况定）
（5）补充：
已知锐角∠A，则
（视情况定）
3．例题讲解
例1求出图19.3.3所示的Rt△ABC中∠A的四个三角函数值.
解
sinA=
cosA=
tanA=
cotA=
4．探索：
sin30゜＝？
5．定理：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30゜，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
6．做一做：
请填出空白处的值
三．课堂练习
P109（练习）：
1～4
四．课后作业
P111（习题19.3）：
1～3
第5课时§19.3.2用计算器求锐角三角函数值
【教学目标】1．会使用计算器求锐角三角函数的值；
2．会使用计算器根据锐角三角函数的值求对应的锐角。
【教学重点】会使用计算器求锐角三角函数的值
【教学难点】会使用计算器根据锐角三角函数的值求对应的锐角
【教学方法】探究法
【教具准备】计算器、电脑、实物投影
【教学过程】
一．讲述新课
1．如何利用计算器求已知锐角的三角函数值和由三角函数值求对应的锐角.
（1）求已知锐角的三角函数值.
例2求sin63゜52′41″的值.（精确到0.0001）
解 先用如下方法将角度单位状态设定为“度”：
显示
再按下列顺序依次按键：
显示结果为0.897859012.
所以 sin63゜52′41″≈0.8979
例3 求cot70゜45′的值.（精确到0.0001）
解 在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出
），按下列顺序依次按键：
显示结果为0.349215633.
所以 cot70゜45′≈0.3492.
（2）由锐角三角函数值求锐角
例4 已知tanx=0.7410,求锐角x.（精确到1′）
解 在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出
），按下列顺序
依次按键：
显示结果为36.53844577.
再按键：
显示结果为36゜32′18.4.
所以，x≈36゜32′.
例5已知cotx=0.1950,求锐角x.（精确到1′）
分析 根据tanx＝
，可以求出tanx的值，然后根据例4的方法就可
以求出锐角x的值.
二．课堂练习
1．P111（练习）：
1～2
2．P111（习题19.3）：
4～5
3．《黄冈新思维》P96：
第二课时1～5题
三．课后作业：
《黄冈新思维》P97：
第二课时6～10题
第6课时§19.4.1 解直角三角形
（1）
【教学目标】1．会运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题；
2．会综合运用勾股定理、直角三角形的边角关系和角角关系，解决简单的实际问题。
【教学重点】会运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题
【教学难点】会综合运用勾股定理、直角三角形的边角关系和角角关系，解决简单的实际问题
【教学方法】探究法
【教具准备】计算器、电脑、实物投影
【教学过程】
一．复习提问
1．复述勾股定理的内容：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
2．锐角三角函数的定义：
sinA=
cosA=
tanA=
cotA=
。
3．锐角三角函数的特征与性质：
（1）锐角三角函数的值都是正实数，并且0＜sinA＜1，0＜cosA＜1
（2）tanA•cotA=1
（3）若∠A＋∠B＝90°，则sinA＝cosB、cosA＝sinB、tanA＝cotB、cotA＝tanB。
（4）补充：
，
（视情况定）
（5）补充：
已知锐角∠A，则
（视情况定）
二．讲述新课
1．解直角三角形：
在直角三角形中，除一个直角外，还有2个角和3条边共5个元素，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。
2．例题讲解
例1（P116习题19.4：
1
（1））在Rt△ABC中，∠C＝90゜，已知
，
，解直角三角形。
分析：
先根据条件画出三角形，可由勾股定理求出c，再由三角函数求锐角的度数。
[答案：
，∠A＝60°，∠B＝30°]
例2（P112例1）如图19.4.1所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在折断之前高多少？
分析：
利用勾股定理求出折断倒下部分的长度，再求大树在折断前的高度。
[答案：
36米]
三．归纳：
1．解直角三角形，只有下面两种情况：
（1）已知两条边；
（2）已知一条边和一个锐角
2．在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，边长保留四个有效数字，角度精确到1′.
四．课堂练习
1．P116（习题19.4）：
1
（2）
2．P113（练习）：
1
3．《黄冈新思维》P98：
1～4
五．课后作业：
P116（习题19.4）：
1（3）～（4）【改为“解这个直角三角形”】
第7课时§19.4.2 解直角三角形
（2）
【教学目标】1．会运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题；
2．会综合运用勾股定理、直角三角形的边角关系和角角关系，解决简单的实际问题。
【教学重点】会运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题
【教学难点】会综合运用勾股定理、直角三角形的边角关系和角角关系，解决简单的实际问题
【教学方法】探究法
【教具准备】计算器、电脑、实物投影
【教学过程】
一．复习提问
1．解直角三角形：
在直角三角形中，除一个直角外，还有2个角和3条边共5个元素，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。
2．解直角三角形，只有下面两种情况：
（1）已知两条边；
（2）已知一条边和一个锐角
3．在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，边长保留四个有效数字，角度精确到1′。
二．例题讲解
例2 如图19.4.2，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40゜的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离.（精确到1米）
分析：
分析题目所给条件，找出未知量与已知量间的关系。
计算方法不止一种，可选择适当的方法。
解：
在Rt△ABC中，
∠CAB＝90゜－∠DAC＝50゜，
＝tan∠CAB,
∴BC＝AB•tan∠CAB=2000×tan50゜≈2384（米）.
又∵
，
∴AC＝
答：
敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米和2384米。
三．课堂练习
1．P113（练习）：
2
2．《黄冈新思维》P99：
5～8
四．课后作业
P116（习题19.4）：
2
第8课时§19.4.3 解直角三角形（3）
【教学目标】1．会运用解直角三角形有关知识解决有关仰角俯角的实际问题；
2．会综合运用勾股定理、直角三角形的边角关系和角角关系，解决简单的实际问题。
【教学重点】会运用解直角三角形有关知识解决有关仰角俯角的实际问题
【教学难点】会综合运用勾股定理、直角三角形的边角关系和角角关系，解决简单的实际问题
【教学方法】探究法
【教具准备】计算器、电脑、实物投影
【教学过程】
一．新知识点提
读一读
如图19.4.3，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
二．例题讲解
例3 如图19.4.4，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a＝22°，求电线杆AB的高．（精确到0.1米） 解 在Rt△BDE中，
BE＝DE×tana
＝AC×tana
＝22.7×tan22°≈9.17，
所以 AB＝BE＋AE ＝BE＋CD ＝9.17＋1.20≈10.4（米）． 答：
电线杆的高度约为10.4米．
[注意：
]当题目中要求取近似值时，计算过程应比题目要求多取一位近似值。
如该例题中要求精确到0.1米，则在计算过程中应先精确到0.01米。
三．课堂练习1．P114（练习）：
1、2
2．《黄冈新思维》P101：
1～8
四．课后作业
P116（习题19.4）：
3
第9课时§19.4.4 解直角三角形（4）
【教学目标】1．会运用解直角三角形有关知识解决有关仰角俯角的实际问题；
2．会综合运用勾股定理、直角三角形的边角关系和角角关系，解决简单的实际问题。
【教学重点】会运用解直角三角形有关知识解决有关仰角俯角的实际问题
【教学难点】会综合运用勾股定理、直角三角形的边角关系和角角关系，解决简单的实际问题
【教学方法】探究法
【教具准备】计算器、电脑、实物投影
【教学过程】
一．新知识点提
读一读
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.
如图19.4.5，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）.记作i,即i=
.
坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，有
i＝
=tana
显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.
二．例题讲解
例4 如图19.4.6，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°．求路基下底的宽．（精确到
0.1米） 解 作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．由题意可知 DE＝CF＝4.2（米）， CD＝EF＝12.51（米）． 在Rt△ADE中，∵
∴
在Rt△BCF中，同理可得
∴ AB＝AE＋EF＋BF ≈6.72＋12.51＋7.90≈27.13（米）． 答：
路基下底的宽约为27.13米．
三．课堂练习1．P116（练习）
2．《黄冈新思维》P103：
1～8
四．课后作业
P116（习题19.4）：
4
第10课时小结与复习
（1）
【教学目标】1．复习本章知识结构；
2．巩固勾股定理、三角函数和解直角三角形的相关知识；
【教学重点】勾股定理、锐角三角函数和解直角三角形的应用
【教学难点】锐角三角函数的概念
【教学方法】探究法
【教具准备】计算器、电脑、实物投影
【教学过程】
一．知识结构
二．概括1.了解勾股定理的历史，经历勾股定理的探索过程；2.理解并掌握直角三角形中边角之间的关系；3.能应用直角三角形的边角关系解决有关实际问题．
三．例题讲解
1．如图，以Rt△ABC的三边向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．
2．计算：
2cos30°＋cot60°－2tan45°
3．求下列直角三角形中字母的值：
4．如图，在直角坐标平面中，P是第一象限的点，其坐标是（3，y），且OP与x轴的正半轴的夹角a的正切值是
，求：
（1）y的值；
（2）角a的正弦值．
5．如图，一个古代棺木被探明位于A点地下24米处．由于A点地面下有煤气管道，考古人员不能垂直向下挖掘，他们被允许从距A点8米的B点挖掘．考古人员应以与地平面形成多大的角度进行挖掘才能沿最短路线挖到棺木？
他们需要挖多长的距离？
四．课堂练习
P119（复习题）
A组：
1、3、4
（2）（3）、5
（2）（3）、10
五．课后作业：
P119（复习题）
A组：
6、7、8
第11课时小结与复习
（2）
【教学目标】1．进一步巩固勾股定理、三角函数和解直角三角形的相关知识；
2．熟练掌握运用解直角三角形的相关知识解决实际问题，增强应用数学的意识。
【教学重点】解直角三角形的应用
【教学难点】解直角三角形的应用
【教学方法】探究法
【教具准备】计算器、电脑、实物投影
【教学过程】
一．例题讲解
例1（P120：
12）一架25米的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部离建筑物7米．如果梯子的顶部滑下4米，梯子的底部滑开多远？
例2（P121：
14）
如图，两建筑物的水平距离BC为24米，从点A测得点D的俯角a＝30°，测得点C的俯角b＝60°，求AB和CD两座建筑物的高．（结果保留根号）
例3（P121：
15）在地面上一点A测得一电视塔的顶端的仰角为42°，再向电视塔方向前进120米，又测得电视塔的顶端的仰角为61°，求这个电视塔的高度．（精确到1米）
二．课堂练习
1．P120：
13、16、17
2．《黄冈新思维》P108：
24（割补法）
三．课后习题
《黄冈新思维》P106：
单元测试
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