历年高考抛物线真题详解理科.docx
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历年高考抛物线真题详解理科
历年高考抛物线真题详解理科
1.【2017课标1,理10】已知F为抛物线C:
y
2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,
l2,直线l1与C交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,则|AB|+|DE|的最小值为
A.16B.14C.12D.10
2.【2016年高考四川理数】设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线上
任意一点,M是线段PF上的点,且=2,则直线OM的斜率的最大值为()
(A)(B)(C)(D)1
3.【2016年高考四川理数】设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线
22(p0)
ypx上
任意一点,M是线段PF上的点,且PM=2MF,则直线OM的斜率的最大值为()
(A)
3
3
(B)2
(C)
3
2
2
(D)1
4【.2016高考新课标1卷】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、
E两点.已知|AB|=42,|DE|=25,则C的焦点到准线的距离为
(A)2(B)4(C)6(D)8
5.【2015高考四川,理10】设直线l与抛物线
24
yx相交于A,B两点,与圆
222
x5yrr0相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,
则r的取值范围是()
(A)1,3(B)1,4(C)2,3(D)2,4
6.【2015高考浙江,理5】如图,设抛物线y24x的焦点为F,不经过焦点的直线上有
三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则BCF与ACF
的面积之比是()
A.
BF
AF
1
1
B.
BF
AF
2
2
1
1
C.
BF
AF
1
1
D.
BF
AF
2
2
1
1
4.
【2017课标II,理16】已知F是抛物线C:
yx的焦点,M是C上一点,FM的
28
延长线交y轴于点N。
若M为FN的中点,则FN
2
x2pt
5.【2016高考天津理数】设抛物线,(t为参数,p>0)的焦点为F,准线为l.过
y2pt
抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B.设(C7
2
p,0),AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|,
且△ACE的面积为32,则p的值为_________.
2=2px过点P(1,1).过点(0,1
7.【2017北京,理18】已知抛物线C:
y
2
)作直线l与
抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,
其中O为原点.
(Ⅰ)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;
(Ⅱ)求证:
A为线段BM的中点.
8.【2016高考江苏卷】(本小题满分10分)
如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:
xy20,抛物线C:
y22px(p0)
(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;
(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.
①求证:
线段PQ的中点坐标为(2p,p).;
②求p的取值范围.
6.
【2017浙江,21】(本题满分15分)如图,已知抛物
线
x2y,点A(11)
,,
24
3913
B(,),抛物线上的点P(x,y)(x).过点B作直线
2422
AP的垂线,垂足为Q.
(Ⅰ)求直线AP斜率的取值范围;
(Ⅱ)求|PA||PQ|的最大值.
7.【2016高考新课标3理数】已知抛物线C:
yx的焦点为F,平行于x轴的两条
22
直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.
(I)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明ARFQ;
(II)若PQF的面积是ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.
8.
【2017课标1,理10】已知F为抛物线C:
y
2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,
l2,直线l1与C交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,则|AB|+|DE|的最小值为
A.16B.14C.12D.10
【答案】A
【解析】试题分析:
设
AxyBxyDxyExy,直线
(,),(,),(,),(,)
11223344
l方程为
1
yk1(x1)
联立方程
2
y4x
yk(x1)
1
得
2222
k1x2k1x4xk10∴
2
2k4
1
xx
122
k
1
2
2k4
1
2
k
1
同理直线
l与抛物线的交点满足
2
2
2k4
2
xx
342
k
2
由抛物线定义可知
|AB||DE|xxxx2p
1234
22
2k42k44416
12
482816222222
kkkkkk
121212
当且仅当
kk(或1)时,取得等号.
121
【考点】抛物线的简单性质
9.【2016年高考四川理数】设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线上
任意一点,M是线段PF上的点,且=2,则直线OM的斜率的最大值为()
(A)(B)(C)(D)1
【答案】C
【解析】
试题分析:
设(不妨设),则由
已知得,,,
,,故选C.
考点:
抛物线的简单的几何性质,基本不等式的应用.
10.【2016年高考四川理数】设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线
22(p0)
ypx上
任意一点,M是线段PF上的点,且PM=2MF,则直线OM的斜率的最大值为()
(A)
3
3
(B)2
(C)
3
2
2
(D)1
【答案】C
【解析】
试题分析:
设
2
P2pt,2pt,Mx,y(不妨设t0),则
p
2
FP2pt,2pt.由
2
已知得1
FMFP,
3
p2pp
2
xt
236
2pt
y,
3
,
2pp
2
xt
33
2pt
y,
3
,
k
OM
2t112
2
1
2112
tt
2
2t2
,
2
k,故选C.
OM
max
2
考点:
抛物线的简单的几何性质,基本不等式的应用.
【名师点睛】本题考查抛物线的性质,结合题意要求,利用抛物线的参数方程表示出抛物线
上点P的坐标,利用向量法求出点M的坐标,是我们求点坐标的常用方法,由于要求最大
值,因此我们把k斜率用参数t表示出后,可根据表达式形式选用函数,或不等式的知识求
出最值,本题采用基本不等式求出最值.
4【.2016高考新课标1卷】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、
E两点.已知|AB|=42,|DE|=25,则C的焦点到准线的距离为
(A)2(B)4(C)6(D)8
【答案】B
【解析】
考点:
抛物线的性质。
【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,
所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不
好的主要原因.
11.【2015高考四川,理10】设直线l与抛物线
24
yx相交于A,B两点,与圆
222
x5yrr0相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,
则r的取值范围是()
(A)1,3(B)1,4(C)2,3(D)2,4
【答案】D
【解析】
显然当直线l的斜率不存在时,必有两条直线满足题设.当直线l的斜率存在时,设斜率为k.
设
AxyBxyxxMxy,则
(,),(,),,(,)
11221200
2
y4x
11
2
y4x
22
,相减得
(yy)(yy)4(xx).由于x1x2,所以
121212
yyyy
1212
2
xx
12
2
,即ky02.圆心为
C,由CMAB得
(5,0)
y0
0
k1,ky5x
00
x5
0
,所以
25x,x3,即点M必
00
在直线x3上.将x3代入
24
yx得
2
y12,23y23.因为点M在圆
0
222
x5yrr0上,所以
22222
(x5)yr,ry412416.又
000
2
y044(由于斜率不存在,故y00,所以不取等号),所以
2
4y416,2r4.选D.
0
利用这个范围即可得到r的取值范围。
12.【2015高考浙江,理5】如图,设抛物线y24x的焦点为F,不经过焦点的直线上有
三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则BCF与ACF
的面积之比是()
A.
BF
AF
1
1
B.
BF
AF
2
2
1
1
C.
BF
AF
1
1
D.
BF
AF
2
2
1
1
【答案】A.
【解析】
S
S
BCF
ACF
BC
AC
x
B
x
A
BF
AF
1
1
,故选A.
【考点定位】抛物线的标准方程及其性质
【名师点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质,属于中档题,解题时,需结合平
面几何中同高的三角形面积比等于底边比这一性质,结合抛物线的性质:
抛物线上的点到准
线的距离等于其到焦点的距离求解,在平面几何背景下考查圆锥曲线的标准方程及其性质,
是高考中小题的热点,在复习时不能遗漏相应平面几何知识的复习.
13.【2017课标II,理16】已知F是抛物线C:
yx的焦点,M是C上一点,FM的延
28
长线交y轴于点N。
若M为FN的中点,则FN。
【答案】6
【解析】
试题分析:
点A,
【考点】抛物线的定义;梯形中位线在解析几何中的应用。
【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础,它能将两种距离(抛物线上的点到焦
点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化。
如果问题中涉及抛物线的焦点和准
线,又能与距离联系起来,那么用抛物线定义就能解决问题。
因此,涉及抛物线的焦半径、
焦点弦问题,可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离,这样就可以使问题简
单化。
2
x2pt
14.【2016高考天津理数】设抛物线,(t为参数,p>0)的焦点为F,准线为l.过
y2pt
抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B.设(C7
2
p,0),AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|,
且△ACE的面积为32,则p的值为_________.
【答案】6
【解析】
试题分析:
抛物线的普通方程为
p
y22px,(,0)
F,
2
7p
CFp3p,又
22
CFAF,则3
2
AFp,由抛物线的定义得
2
3
ABp,所以xAp,则|yA|2p,
2
由CF//AB得EFCF
EAAB
EFCF
,即2
EAAF
,所以SCEF2SCEA62,
92pp,p6.ACFAECCFE
2
考点:
抛物线定义
【名师点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时,一般运用定义转化为到准线距离处理.
p
2=2px(p>0)上一点,由定义易得|PF|=x
0+
;若过焦点的弦AB2.若P(x0,y0)为抛物线y
2
的端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长为|AB|=x1+x2+p,x1+x2可由根与系数的关系
整体求出;若遇到其他标准方程,则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.
15.【2016高考浙江理数】若抛物线y
2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离
是_______.
【答案】9
【解析】
试题分析:
1109
xx
MM
考点:
抛物线的定义.
【思路点睛】当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时,一般会想到转化为抛物线上的点
到准线的距离.解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离,进而可得点到y轴的距离.
2
16.【2017北京,理18】已知抛物线C:
y
=2px过点P(1,1).过点(0,
1
2
)作直线l与
抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,
其中O为原点.
(Ⅰ)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;
(Ⅱ)求证:
A为线段BM的中点.
【答案】(Ⅰ)方程为y2x,抛物线C的焦点坐标为(
1
4
,0),准线方程为
1
x.(Ⅱ)
4
详见解析.
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)代入点P求得抛物线的方程,根据方程表示焦点坐标和准线方程;(Ⅱ)
设直线l的方程为
1
ykx(k0),与抛物线方程联立,得到根与系数的关系,直线ON
2
y
的方程为2
yx
x
2
,联立求得点B的坐标
yy
21
(x,)
1
x
2
,证明
yy
12
y2x0
11
x
2
.
试题解析:
解:
(Ⅰ)由抛物线C:
y22px过点P(1,1),得
1
p.
2
所以抛物线C的方程为
yx.
2
抛物线C的焦点坐标为(
1
4
,0),准线方程为
1
x.
4
_
yyyyyy2xx
21122112
y2x
11
xx
22
11
(kx)x(kx)x2xx
122112
22
x
2
1
(2k2)xx(xx)
1221
2
x
2
(2k2)
11k
22
4k2k
x
2
0,
yy
所以21
y2x
11
x
2
.
故A为线段BM的中点.
【考点】1.抛物线方程;2.直线与抛物线的位置关系
【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系,考查了转换与化归能力,当看到题目中
出现直线与圆锥曲线时,不需要特殊技巧,只要联立直线与圆锥曲线的方程,借助根与系数
关系,找准题设条件中突显的或隐含的等量关系,把这种关系“翻译”出来,有时不一定要
把结果及时求出来,可能需要整
体代换到后面的计算中去,从而减少计算量.
17.【2016高考江苏卷】(本小题满分10分)
如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:
xy20,抛物线C:
y22px(p0)
(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;
(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.
①求证:
线段PQ的中点坐标为(2p,p).;
②求p的取值范围.
4
【答案】
(1)y28x
(2)①详见解析,②)
(0,
3
【解析】
值范围。
(2)设
PQ,线段PQ的中点
(x,y),(x,y)
1122
M
(x,y)
00
因为点P和Q关于直线l对称,所以直线l垂直平分线段PQ,
于是直线PQ的斜率为1,则可设其方程为yxb.
①由
22
ypx
yxb
消去x得
2220(*)
ypypb
因为P和Q是抛物线C上的相异两点,所以
y1y2,
从而(2p)24(2pb)0,化简得p2b0.
方程(*)的两根为
2
y1,2pp2pb,从而
yy
12
yp.
2
因为
M在直线l上,所以
(x,y)
00
x02p.
因此,线段PQ的中点坐标为(2p,p).
②因为M(2p,p).在直线yxb上
所以p(2p)b,即b22p.
由①知p2b0,于是p2(22p)0,所以
p
4
3
.
因此p的取值范围为(0,4).3
考点:
直线与抛物线位置关系
18.
【2017浙江,21】(本题满分15分)如图,已知抛物线
x2y,点A(11)
39
,,B(,),
2424
13
抛物线上的点)
P(x,y)(x.过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.
22
(Ⅰ)求直线AP斜率的取值范围;
(Ⅱ)求|PA||PQ|的最大值.
【答案】(Ⅰ)(1,1);(Ⅱ)
27
16
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)由两点求斜率公式可得AP的斜率为
1
x,由
2
13
x,得AP斜率
22
的取值范围;(Ⅱ)联立直线AP与BQ的方程,得Q的横坐标,进而表达|PA|与|PQ|的
长度,通过函数f(k)(k1)(k1)3求解|PA||PQ|的最大值.
试题解析:
(Ⅰ)设直线AP的斜率为k,则
1
2
x
1
4
k,∵
x
1
2
x
2
13
x,∴直线AP斜率的
22
取值范围是(1,1).
(Ⅱ)联立直线AP与BQ的方程
11
kxyk
24
0,
93
xkyk
42
0,
解得点Q的横坐标是
2
k4k3
xQ,因为|PA|=
2
2(k1)
21
2k
1()
kx=1k
(1)
2
|PQ|=
1
2
(k1)(k1)
2
k(xQx),所以|PA||PQ|=
2
k1
(k1)(k1)
3
令f(k)(k1)(k1)3,因为
1
f,所以f(k)在区间)
'(k)(4k2)(k1)
2
(1,上单调
2
1
递增,,1)
(上单调递减,因此当k=
2
1
2
时,|PA||PQ|取得最大值27
16
.
的最大值。
19.【2016高考新课标3理数】已知抛物线C:
yx的焦点为F