历年高考抛物线真题详解理科.docx
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历年高考抛物线真题详解理科
历年高考抛物线真题详解理科
1.【2017课标1，理10】已知F为抛物线C：
y
2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，
l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16B．14C．12D．10
2.【2016年高考四川理数】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上
任意一点，M是线段PF上的点，且=2,则直线OM的斜率的最大值为（）
（A）（B）（C）（D）1
3.【2016年高考四川理数】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线
22（p0）
ypx上
任意一点，M是线段PF上的点，且PM=2MF,则直线OM的斜率的最大值为（）
（A）
3
3
（B）2
（C）
3
2
2
（D）1
4【.2016高考新课标1卷】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、
E两点.已知|AB|=42,|DE|=25,则C的焦点到准线的距离为
（A）2（B）4（C）6（D）8
5.【2015高考四川，理10】设直线l与抛物线
24
yx相交于A，B两点，与圆
222
x5yrr0相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，
则r的取值范围是（）
（A）1，3（B）1，4（C）2，3（D）2，4
6.【2015高考浙江，理5】如图，设抛物线y24x的焦点为F，不经过焦点的直线上有
三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF
的面积之比是（）
A.
BF
AF
1
1
B.
BF
AF
2
2
1
1
C.
BF
AF
1
1
D.
BF
AF
2
2
1
1
4.
【2017课标II，理16】已知F是抛物线C:
yx的焦点，M是C上一点，FM的
28
延长线交y轴于点N。
若M为FN的中点，则FN
2
x2pt
5.【2016高考天津理数】设抛物线，（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l.过
y2pt
抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设（C7
2
p,0），AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|，
且△ACE的面积为32，则p的值为_________.
2=2px过点P（1，1）.过点（0，1
7.【2017北京，理18】已知抛物线C：
y
2
）作直线l与
抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，
其中O为原点.
（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）求证：
A为线段BM的中点.
8.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l:
xy20，抛物线C:
y22px（p0）
（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.
①求证：
线段PQ的中点坐标为（2p,p）.；
②求p的取值范围.
6.
【2017浙江，21】（本题满分15分）如图，已知抛物
线
x2y，点A（11）
，，
24
3913
B（，），抛物线上的点P（x,y）（x）．过点B作直线
2422
AP的垂线，垂足为Q．
（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；
（Ⅱ）求|PA||PQ|的最大值．
7.【2016高考新课标3理数】已知抛物线C：
yx的焦点为F，平行于x轴的两条
22
直线l1,l2分别交C于A,B两点，交C的准线于P，Q两点．
（I）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明ARFQ；
（II）若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.
8.
【2017课标1，理10】已知F为抛物线C：
y
2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，
l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16B．14C．12D．10
【答案】A
【解析】试题分析：
设
AxyBxyDxyExy，直线
（,）,（,）,（,）,（,）
11223344
l方程为
1
yk1（x1）
联立方程
2
y4x
yk（x1）
1
得
2222
k1x2k1x4xk10∴
2
2k4
1
xx
122
k
1
2
2k4
1
2
k
1
同理直线
l与抛物线的交点满足
2
2
2k4
2
xx
342
k
2
由抛物线定义可知
|AB||DE|xxxx2p
1234
22
2k42k44416
12
482816222222
kkkkkk
121212
当且仅当
kk（或1）时，取得等号.
121
【考点】抛物线的简单性质
9.【2016年高考四川理数】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上
任意一点，M是线段PF上的点，且=2,则直线OM的斜率的最大值为（）
（A）（B）（C）（D）1
【答案】C
【解析】
试题分析：
设（不妨设），则由
已知得，，，
，，故选C.
考点：
抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用．
10.【2016年高考四川理数】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线
22（p0）
ypx上
任意一点，M是线段PF上的点，且PM=2MF,则直线OM的斜率的最大值为（）
（A）
3
3
（B）2
（C）
3
2
2
（D）1
【答案】C
【解析】
试题分析：
设
2
P2pt,2pt,Mx,y（不妨设t0），则
p
2
FP2pt,2pt.由
2
已知得1
FMFP，
3
p2pp
2
xt
236
2pt
y,
3
，
2pp
2
xt
33
2pt
y,
3
，
k
OM
2t112
2
1
2112
tt
2
2t2
，
2
k，故选C.
OM
max
2
考点：
抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用．
【名师点睛】本题考查抛物线的性质，结合题意要求，利用抛物线的参数方程表示出抛物线
上点P的坐标，利用向量法求出点M的坐标，是我们求点坐标的常用方法，由于要求最大
值，因此我们把k斜率用参数t表示出后，可根据表达式形式选用函数，或不等式的知识求
出最值，本题采用基本不等式求出最值．
4【.2016高考新课标1卷】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、
E两点.已知|AB|=42,|DE|=25,则C的焦点到准线的距离为
（A）2（B）4（C）6（D）8
【答案】B
【解析】
考点：
抛物线的性质。
【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,
所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不
好的主要原因.
11.【2015高考四川，理10】设直线l与抛物线
24
yx相交于A，B两点，与圆
222
x5yrr0相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，
则r的取值范围是（）
（A）1，3（B）1，4（C）2，3（D）2，4
【答案】D
【解析】
显然当直线l的斜率不存在时，必有两条直线满足题设.当直线l的斜率存在时，设斜率为k.
设
AxyBxyxxMxy，则
（,）,（,）,,（,）
11221200
2
y4x
11
2
y4x
22
，相减得
（yy）（yy）4（xx）.由于x1x2，所以
121212
yyyy
1212
2
xx
12
2
，即ky02.圆心为
C，由CMAB得
（5,0）
y0
0
k1,ky5x
00
x5
0
，所以
25x,x3，即点M必
00
在直线x3上.将x3代入
24
yx得
2
y12,23y23.因为点M在圆
0
222
x5yrr0上，所以
22222
（x5）yr,ry412416.又
000
2
y044（由于斜率不存在，故y00，所以不取等号），所以
2
4y416,2r4.选D.
0
利用这个范围即可得到r的取值范围。
12.【2015高考浙江，理5】如图，设抛物线y24x的焦点为F，不经过焦点的直线上有
三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF
的面积之比是（）
A.
BF
AF
1
1
B.
BF
AF
2
2
1
1
C.
BF
AF
1
1
D.
BF
AF
2
2
1
1
【答案】A.
【解析】
S
S
BCF
ACF
BC
AC
x
B
x
A
BF
AF
1
1
，故选A.
【考点定位】抛物线的标准方程及其性质
【名师点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质，属于中档题，解题时，需结合平
面几何中同高的三角形面积比等于底边比这一性质，结合抛物线的性质：
抛物线上的点到准
线的距离等于其到焦点的距离求解，在平面几何背景下考查圆锥曲线的标准方程及其性质，
是高考中小题的热点，在复习时不能遗漏相应平面几何知识的复习.
13.【2017课标II，理16】已知F是抛物线C:
yx的焦点，M是C上一点，FM的延
28
长线交y轴于点N。
若M为FN的中点，则FN。
【答案】6
【解析】
试题分析：
点A，
【考点】抛物线的定义；梯形中位线在解析几何中的应用。
【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离（抛物线上的点到焦
点的距离、抛物线上的点到准线的距离）进行等量转化。
如果问题中涉及抛物线的焦点和准
线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题。
因此，涉及抛物线的焦半径、
焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简
单化。
2
x2pt
14.【2016高考天津理数】设抛物线，（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l.过
y2pt
抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设（C7
2
p,0），AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|，
且△ACE的面积为32，则p的值为_________.
【答案】6
【解析】
试题分析：
抛物线的普通方程为
p
y22px，（,0）
F，
2
7p
CFp3p，又
22
CFAF，则3
2
AFp，由抛物线的定义得
2
3
ABp，所以xAp，则|yA|2p，
2
由CF//AB得EFCF
EAAB
EFCF
，即2
EAAF
，所以SCEF2SCEA62，
92pp，p6．ACFAECCFE
2
考点：
抛物线定义
【名师点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．
p
2＝2px（p＞0）上一点，由定义易得|PF|＝x
0＋
；若过焦点的弦AB2．若P（x0，y0）为抛物线y
2
的端点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则弦长为|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根与系数的关系
整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．
15.【2016高考浙江理数】若抛物线y
2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离
是_______．
【答案】9
【解析】
试题分析：
1109
xx
MM
考点：
抛物线的定义．
【思路点睛】当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般会想到转化为抛物线上的点
到准线的距离．解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到y轴的距离．
2
16.【2017北京，理18】已知抛物线C：
y
=2px过点P（1，1）.过点（0，
1
2
）作直线l与
抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，
其中O为原点.
（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）求证：
A为线段BM的中点.
【答案】（Ⅰ）方程为y2x，抛物线C的焦点坐标为（
1
4
，0），准线方程为
1
x.（Ⅱ）
4
详见解析.
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）代入点P求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）
设直线l的方程为
1
ykx（k0），与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，直线ON
2
y
的方程为2
yx
x
2
，联立求得点B的坐标
yy
21
（x,）
1
x
2
，证明
yy
12
y2x0
11
x
2
.
试题解析：
解：
（Ⅰ）由抛物线C：
y22px过点P（1，1），得
1
p.
2
所以抛物线C的方程为
yx.
2
抛物线C的焦点坐标为（
1
4
，0），准线方程为
1
x.
4
_
yyyyyy2xx
21122112
y2x
11
xx
22
11
（kx）x（kx）x2xx
122112
22
x
2
1
（2k2）xx（xx）
1221
2
x
2
（2k2）
11k
22
4k2k
x
2
0，
yy
所以21
y2x
11
x
2
.
故A为线段BM的中点.
【考点】1.抛物线方程；2.直线与抛物线的位置关系
【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转换与化归能力，当看到题目中
出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数
关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要
把结果及时求出来，可能需要整
体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.
17.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l:
xy20，抛物线C:
y22px（p0）
（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.
①求证：
线段PQ的中点坐标为（2p,p）.；
②求p的取值范围.
4
【答案】
（1）y28x
（2）①详见解析，②）
（0,
3
【解析】
值范围。
（2）设
PQ，线段PQ的中点
（x,y）,（x,y）
1122
M
（x,y）
00
因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ,
于是直线PQ的斜率为1，则可设其方程为yxb.
①由
22
ypx
yxb
消去x得
2220（*）
ypypb
因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以
y1y2,
从而（2p）24（2pb）0，化简得p2b0.
方程（*）的两根为
2
y1,2pp2pb，从而
yy
12
yp.
2
因为
M在直线l上，所以
（x,y）
00
x02p.
因此，线段PQ的中点坐标为（2p,p）.
②因为M（2p,p）.在直线yxb上
所以p（2p）b，即b22p.
由①知p2b0，于是p2（22p）0，所以
p
4
3
.
因此p的取值范围为（0,4）.3
考点：
直线与抛物线位置关系
18.
【2017浙江，21】（本题满分15分）如图，已知抛物线
x2y，点A（11）
39
，，B（，），
2424
13
抛物线上的点）
P（x,y）（x．过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．
22
（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；
（Ⅱ）求|PA||PQ|的最大值．
【答案】（Ⅰ）（1,1）；（Ⅱ）
27
16
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）由两点求斜率公式可得AP的斜率为
1
x，由
2
13
x，得AP斜率
22
的取值范围；（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程，得Q的横坐标，进而表达|PA|与|PQ|的
长度，通过函数f（k）（k1）（k1）3求解|PA||PQ|的最大值．
试题解析：
（Ⅰ）设直线AP的斜率为k，则
1
2
x
1
4
k，∵
x
1
2
x
2
13
x，∴直线AP斜率的
22
取值范围是（1,1）．
（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程
11
kxyk
24
0,
93
xkyk
42
0,
解得点Q的横坐标是
2
k4k3
xQ，因为|PA|=
2
2（k1）
21
2k
1（）
kx=1k
（1）
2
|PQ|=
1
2
（k1）（k1）
2
k（xQx），所以|PA||PQ|=
2
k1
（k1）（k1）
3
令f（k）（k1）（k1）3，因为
1
f，所以f（k）在区间）
'（k）（4k2）（k1）
2
（1,上单调
2
1
递增，,1）
（上单调递减，因此当k=
2
1
2
时，|PA||PQ|取得最大值27
16
．
的最大值。
19.【2016高考新课标3理数】已知抛物线C：
yx的焦点为F
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