抽象代数复习题及答案.docx
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抽象代数复习题及答案
抽象代数复习题及答案
《抽象代数》试题及答案本科
一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，
并将正确答案的序号填在题干的括号内。
每小题3分）
1.设Q是有理数集，规定f（x）=x+2；g（x）=x2+l,则（fg）
（x）等于（B）
A.x22x1
B.x23C.x
4x
x2x3设f是A到B的单射，
）
A.单射
可逆映射
S3=｛
（1），（12），（13），（23），（123），（1S3中与元素（132）不能交换的元的
C）。
A.1B.2
4.在整数环Z中，可逆元的个数是（
A.1个B.
D.无限个
5.剩余类环Z10的子环有（
A.3个
D.6个
阶为6.b设）G是有限群，a
A.2
2.
（A
D.
3.设
则
G,
D.9
g是B到c的单射，
B.满射
B.
C.
且a的阶|a|=12,
B.3
C.
C.
C.
C.
gf是
双射
32）},
个数是
则G中元素a8的
7•设G是有限群，对任意a,bG,以下结论正确的是（A）
A.
整除G的阶
（ab）1b1a1
B.
b的阶不一定
的单位元不唯一
C.G
消去律不成立
8.设G是循环群，则以下结论不正确
D.G
的是（A
A.G的商群不是循环群
群都是正规子群
C.G是交换群群都是循环群
9.设集合A={a,b,c},以下AA的子集为等价关系的是
（C）
A.
B.
C.
D.
B.G
D.G
的任何子
的任何子
Ri={（a,a）,（a,b）,（a,c）,（b,b）}
r2={（a,a）,（a,b）,（b,b）,（c,b）,（c,c）}
R3={（a,a）,（b,b）,（c,c）,（b,c）,（c,b）}
R4={（a,a）,（a,b）,（b,a）,（b,b）,（b,c）,（c,b）}
g是b到c的满射，则gf是
10.设f是a到b的满射，
（B）
A.单射
D.可逆映射
11.设S3={
（1）,（12）,（13）,（23）,（123）,（132）},
则S3中与元素（12）能交换的元的个数是（B）。
A.1B.2C.3D.4
B.满射C.双射
12.在剩余类环Z8中，其可逆元的个数是（D）。
A.1个B.2个C.3个
D.4个
13.设（R,+,・）是环,则下面结论不正确的有
）。
0，则Xa
bac，贝Ubc
则G中元素a32的
A.R的零元惟一B.若
对aR,a的负元不惟一D.若a
14.设G是群，aG,且a的阶|a|=12,阶为（B）
A.2
D.9
15•设G是有限群，对任意a,bG,以下结论正确的是
B.|b|=%c.G的单位
D.方程axb在G中无解
A.G的商群不是交换群群
16.设G是交换群，则以下结论正确的是（B）
B.G的任何子群都是正规子
C.G是循环群D.G的任何子群都是循环群
17.设A={1,-1,i,-i},B={1,-1},:
A-B,a
€A，贝V是从A到B的（A）。
C.
A.满射而非单射B.单射而非满射
亠映射D.既非单射也非满射
18.设A=R（实数域），B=r（正实数集），:
afoa,a
€A,贝V是从A到B的（C）。
A.满射而非单射B.单射而非满射C.映
射D.既非单射也非满射
19.
设A={所有实数x},A的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A到A的一个子集的同态满射的是（C）。
24.
D）
C.
设（R,+,•）是一个环，则下列结论正确的是（A.R中的每个元素都可逆B.R的子环一定是理想R一定含有单位元D.R的理想一定是子环
25.设群G是6阶循环群，则群G的子群个数为（
A.4个B.5个C.6个D.
26.设A={a,b,c},B={1,2,3},则从集合A到集合B的满
射的个数为（D）
A.1
B.2C.
是（C
）
A.
p={{a,b},{a,c}}B.
{{a},{b,
c},{b,a}}
C.
P3={{a},{b,c}}D.
{{a,b},{b,c},{c}}
28.
设R=a0
0b
a,bZ，那么R关于矩阵的加法和乘法
环，则这个矩阵环是（A）。
A.
有单位元的交换环
无单位兀的交换环
C.
无单位元的非交换环
有单位兀的非交换环
29.设S3={
（1）,
（12）,（13）,（23）,（123）,（1
则S3的子群的个数是（D）。
A.1
B.2C.3D
30.在
生高斯整数环
Z[i]中，单位元是（B）。
A.
0B.1C.i
则以下集合是集合A的分类的
P4
32）
.6
D.
G
构成
i
31..设G是运算写作乘法的群，则下列关于群结论正确的是（B）。
D.6
27.设集合A={a,b,c},
B.
D.
的子群的
32.
6
33.
（D
任意两个子群的交还是子群C.任意两个子群的并还是子群D.任意子群一定是正规子群
7阶循环群的生成元个数是（C）。
B.2
A.
27
34.设g,
A.1
D.7
设A={a,b,c}，B={1,2,3},则从集合A到集合）。
1B.6C.
为群，
G中固定的常数。
（D）
A.0和x；
（x2k）}
35.
（A
A.bc1a
36.
C.
B的映射有
18
D.
其中G是实数集，而乘法:
abab那么群
B.1
k，这里k为
G,中的单位元e和元x的逆元分别是
和0；C.
k和口x2k；
D.
设a,b,c和x都是群
）
；B.c1a1；下列正确的命题是（
G中的元素，且
x2abxc1,acx
xac，那么x
C.
A
A.欧氏环一定是唯一分解环；C.唯一分解环必是主理想环；环。
37•设H是群G的子群，且
|H|6,那么G的阶G
a1bc1；
）
B.
D.
D.
b1ca。
主理想环必是欧氏环;
唯一分解环必是欧氏
G有左陪集分类H,aH,bH,cH。
如果
A.6;
38.
B.24;C.10;D.12
设G是有限群，则以下结论正确的是（A）
的子群的阶整除G的阶B.G的任何子群都是正规
A.G
子群
C.G是交换群
群
39•设
（D）
A.f的同态核是Gi的正规子群；B.G2的正规子群的原象是的正规子群；
C.Gi的子群的象是G2的子群；D.
的正规子群。
40.关于半群，下列说法正确的是：
A.半群可以有无穷多个右单位元群一定有一个右单位元
C.半群如果有右单位元则一定有左单位元群一定至少有一个左单位元二、填空题（每空3分）
1.设A是m元集，B是n元集，那么A（nm）个.
2.n次对称群S”的阶是（n!
）.
3.—个有限非交换群至少含有（6）个元素.
4.设G是p阶群，（p是素数）,则G的生成元有（pi）个.
5.除环的理想共有
（2）个.
D.G
的任何子群都是循环
f：
GiG2是一个群同态映射，那么下列错误的命题是
Gi的正规子群的象是
）
B.
D.
Gi
G2
到B的映射共有
6.
剩余类环Z6的子环S={:
0],:
2],:
4]}，则S的单位元是（
7.在i+3,
8.2在有理数域Q上的极小多项式是（
9.
AB=
设集合A={a,b},
（{（a,1）,（b,1）,（a,2）,（b,2）,（a,3）,（b,3）}.）
10.
Z}.）
设R是交换环，则主理想（a）=（Ra{rama|rR,m
11•设（5431）,贝U1（1345）.
12.设F是9阶有限域，则F的特征是（3
13•设1（351）,2（2154）是两个循环置换，则21（（1342））
14
.设F是125阶有限整环，则F的特征是（5）
15.设集合A含有3个元素，则aa
含元素的
关于乍
仃.设a、b是群G的两个元，则
18.
19.
fa（a）。
除关系
20.
21.设群G中元素a的阶为m为（m整除n）。
22•设（31425）是一个5-循环置换，那么'（（52413））.。
）群。
23•有限群G的阶是素数p,则G是（循环
24.若I是有单位元的环R的由a生成的主理想，那么I中的元素可以表达为
（{有限和Xjayi|Xj,yiR}）。
i
）个。
25•群（Z12,）的子群有（
26.由凯莱定理，任一个抽象群G都同一个（群G的变换群）同构。
27.设A、B分别是m、n个元组成的集合，则|ab|=
（mn）。
28.设A={a,b,c}，则可定义A的（5等价关系。
A的分类
M={{a,c},{b}}确定的等价关系是R
设G是6阶循环群，则G的生成兀有（非零复数乘群C*中由{i,i,1,1}）。
剩余类环Z7的零因子个数等于（素数阶有限群G的子群个数等于（剩余类环Z6的子环S={:
0],
[3]）。
）个不同的
29.
30.
（
31.
32.
33.
（
（{（a,a）,（b,b）,（c,c）,（a,c）,（c,a）}）。
2）个
的子群是
0
2
3]},则
）。
）。
S的单位元是
34.群：
G~~g,e是G的单位元，贝U
35.
36.
37.
38.
（e）
是（G的单位元）。
复数域的特征是（0）.
在剩余类环（Z12,,?
）中，[6]?
[7]=（在3-次对称群S3中，元素（123）的阶为：
（设Z和Zm分别表示整数环和模m剩余类环，
Zm,n[n]的同态核为（
mZ{mr|rZ}
3、2在有理数域上的极小多项式为（
无限循环群一定和（整数加群（Z,）
，错误的请打“
39.
40.
三、判断题（判断下列说法是否正确，正确的请打“"”
x32
）.
3）.
则环同态
）
）
）同构.
”，每小题3分）
1.设g是群，则群g的任意两个子群的并仍是群g的子群。
（）
2.群的有限子集（非空）构成子群，当且仅当该非空子集的任何两个元素在G的运算之下，仍在该非空子集之中。
（V）
3.设G是非零实数在数的乘法运算之下构成的群。
f:
G—G是一个映射，且f（x）=7x,xG.则f是G到G的同态映射。
（）
4.一个环如果有单位元，则它的子环也一定有单位元。
（）
5.设G是群，则群G的任意两个正规子群的交仍是群G的正规子群。
（v）
6.设G是n阶有限循环群，则G同构于模n剩余类
加群Zn。
（V）
7.设：
GG是群同态，则将G的单位元不一定映射为
G的单位元。
（）
8.设R是环，A，B是R的任意两个理想，则ab也是环R的理想。
（V）
9.域的特征可以为任何自然数•（）
10.群的任何两个正规子群的乘积仍然是正规子群.
（V）
11.4次交错群A4在4次对称群S4中的指数为4.（）
12.
复数
域
是实数域
的
单
代数
扩张
（
V
）
13.
除
环一
疋
是
域
（
）
14.3-
次
对
称群S3
的
中
心
是
（1）
（
7
）
15.
整
数环的商域是有理数域.
（
7
）
16.
无
限循环群和整数加群同构.
（
17.
（
18.
（
19.
（
20
（
"）
多项式X23在有理数域上可约。
）
在特征为P的域F中始终有（ab）papbp,a,bF.高斯整数环Z[i]是唯一分解环.有限集合到有限集合的单射不一定是满射。
））
G2是群G1到群G2的同态，则同态核Ker（）是G1的正
（7）
数阶群不
）
24.设（Z,,?
）为整数环，p为素数，则（pz,,?
）是（Z,,?
）的极大理想
四、证明题
1.设Q为有理数域，设T{ab2|a,bQ},则T按数的乘法和加法构成一个域.（6分）
证明：
t非空，且T是实数域的一个子集。
T关于数的加法、
乘法圭寸闭是显然的，而且0ab._2T,（ab.2）关于加法、乘法构成实数域的一个子域和加法构成一个域.。
T,这样我们就得T.，因此T按数的乘法
2.设E是f的扩域，且（E:
F）=1，则E=F.（6分）
证明：
用反证法：
若EF,则存在xE,xF,这样矛盾！
3.证明：
交换群的商群是交换群.（8分）
证明：
设G为交换群，且HG，则％G关于正
H的商群，且对
任意aH,bH%,有,
（aH）（bH）（ab）H（ba）H（bH）（aH）
故G/H是交换群.
4.设A{1,1,i,i},B{1,1，“•”是数的乘法，证明：
（A，•〜
（这里“〜”表示（A，•与（B，•是满同态）（8：
证明：
构造映射：
（A,）到（B,）的同态映射.
5.证明：
设G=0°|a
f:
AB,11,11,i1,i1,
（E：
F）2,
规子群
（B,）分）
则容易验证f是
则G关于矩阵乘法构成
R22
）的子
半群.（6分）
证明：
对任意的a
0a
0G，0
ab0
00G，
故由子半群
的判定知，G关于矩阵乘法构成（
6.设a是群G的任一元素，若a的阶|a|=2,求证:
证明：
由题设我们知道：
得证.
aa1.（6分）
a2e对这个式子的两边同时乘
R22，）的子半群,
以a1得
121
aaae,
（a1a）a
利用群G中逆兀和单位兀的性质，即得，aa
7.
设£=123i，即31=1,G=1,,2，证明：
有如下的群同构:
（8分）
证明：
容易验证下述映射
:
Z3G,[0]1,[1],[2]
是双射，且保持运算，即：
（[i][j]）（[i]）（[j]）,[i],[j]Z3.
由同构映射的定义，即得（Z3,）B（G,•
8.设G是R2'2中所有可逆矩阵组成的集合，
（i）.证明G关于矩阵的乘法成群。
（6分）
（ii）.0110的阶是多少？
（4分）
（iii）.0；的阶是多少？
（4分）
（iv）.证明G不是交换群.（6分）
解：
⑴注意到由线性代数知识有：
方阵可逆当且仅当它的行列式不为零，而且两个方阵的乘积的行列式等于它们行列式的乘积，由此a,bg,a1g,abg,故G关于矩阵的乘法成群
（ii）.注意到此时群G的单位元是：
01，经过简单计算，我们
可知0110的阶是3.
0；的阶是.
（iv）.
通过简单计算，得
0101111011，故G是非交换
群。
解答题:
•
A1
A2
A7
A3
A8
A4
A5
A6
A1
A1
A
A3
A4
A5
A6
A7
A8
解:
A2
A2
A1
A
A3
A3
A8
A7
A
A4
A
A2
A5
A5
A6
A5
A6
A6
A3
A
A7
A7
A5
A6
A8
A8
A6
A8
A3
A4
A5
A7
A4
A3
A8
A
A2
A1
A7
A5
A1
A2
S3
（1）写出3—次对称群
（2）
（3）
（1）S3的全部元素为:
A3
A8
Ai
A7
A8
A6
A6A5
A7A6
A7
A2
Ai
A4
的所有元素;
求出S3中所有元素的阶；
求出S3中所有元素的逆元
Ai
A2
A4
（4分）
（6分）
■（6分）
23
21
（2）各元素的阶为:
（3）
41
2,|
1.
I3,|o|
II
5的逆元分别为:
4•找出zi2中的所有零因子.（6分）
解：
[2],【3],【4],【6],【8],[9],[10]为所有的零因子.
5.在有理数域的扩域Q（32）中，求1+32的逆。
（1
0分）
解：
由于
4.3.3,得到
将p（V2）=（逅）3-2=0代于上式，并经过简单计算，得到（132）1=1341321
333
（8分）
6・设H{[0],[3],[6],[9]}解:
Z12关于H的陪集分解式为
Z12=03691471025811
7.列出整数模6剩余类环Z6中元素的加法和乘法运算表（12分）
解：
Z6
]
]
]
]
]
]
]
[2
[2
[3
[4
[5
[0
[1
]
]
]
]
]
]
]
[3
[3
[4
[5
[0
[1
[2
]
]
]
]
]
]
]
[4
[4
[5
[0
[1
[2
[3
]
]
]
]
]
]
]
[5
[5
[0
[1
[2
[3
[4
]
]
]
]
]
]
]
[C
[1
[2
[3
[4
[
5
]
]
]
]
]
]
[0
[C
【0
【0
[0
[0
0
]
]
]
]
]
]
]
[1
[C
[1
[2
[3
[4
[
5
]
]
]
]
]
]
]
[2
[C
[2
[4
[0
[2
[4
]
]
]
]
]
]
]
[3
[C
[3
[0
[3
[0
[
3
]
]
]
]
]
]
]
[4
[0[4
[2
[0
[4
[:
2
]
]
]
]
]
]
]
[5
[0[5
[4
[3
[2
[
1
]
]
]
]
]
]
]
8・写出Z4中每个元所含整数。
（8分）
解[0]{4q|qZ},[1]{4q1|qZ},[2]{4q2|qZ},[3]{4q
9•在S3中，计算（12）（23）与（23）（12）。
解:
（12）（23）=（123）,（23）（1
10•求出S的所有正规子群。
（10分）
解：
S3的所有正规子群为：
H1{
（1）},H2A3{
（1）,（123）,（132）},H3
3|qZ}
（6分）
2）=（132）。
11.设A=1,2，写出A的所有双变换的集合G,关于乘法列出G的运算表。
（12分）
解：
所有双变换为：
如下：
S3・
变换的
f:
11,2
2,g:
1
2,21,
•
f
g
f
f
g
g
g
f
则G{f,g},
其运算表
12•求模8的剩余类环Z8的所有子环。
（8分）
解：
J的所有子环为：
Z8；{[0]}；{[0],[4]}；{[0],[2],[4],[6]}・
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