中考数学专题复习讲座 第二十一讲 矩形菱形正方形.docx
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中考数学专题复习讲座第二十一讲矩形菱形正方形
20XX年中考数学专题复习讲座第二十一讲矩形_菱形_正方形
20XX年中考数学专题复习第二十一讲矩形菱形正方形
【基础知识回顾】
矩形:
1、定义:
有一个角是角的平行四边形叫做矩形
2、矩形的性质:
⑴矩形的四个角都
⑵矩形的对角线
3、矩形的判定:
⑴用定义判定
⑵有三个角是直角的是矩形
⑶对角线相等的是矩形
【名师提醒:
1、矩形是对称到对称中心是又是对称图形对称轴有条
2、矩形被它的对角线分成四个全等的三角形和两个全等的三角形
3、矩形中常见题目是对角线相交成600或1200角时,利用直角三角形、等边三角形等知识解决问题】
菱形:
1、定义:
有一组邻边的平行四边形叫做菱形
2、菱形的性质:
⑴菱形的四条边都
⑵菱形的对角线且每条对角线
3、菱形的判定:
⑴用定义判定
⑵对角线互相垂直的是菱形
⑶四条边都相等的是菱形
【名师提醒:
1、菱形即是对称图形,也是对称图形,它有条对称轴,分别是
2、菱形被对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形
3、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算,也可以用两对角线积的来计算
4、菱形常见题目是内角为1200或600时,利用等边三角形或直角三角形知识洁具的题目】
三、正方形:
1、定义:
有一组邻边相等的是正方形,或有一个角是直角的是正方形
2、性质:
⑴正方形四个角都都是角,
⑵正方形四边条都
⑶正方形两对角线、且每条对角线平分一组内角
3、判定:
⑴先证是矩形,再证⑵先证是菱形,再证
【名师提醒:
菱形、正方形具有平行四边形的所有性质,正方形具有以上特殊四边形的所有性质。
这四者之间的关系可表示为:
⑴正方形也即是对称图形,又是对称图形,有条对称轴
⑵几种特殊四边形的性质和判定都是从、、三个方面来看的,要注意它们的和联系】
【重点考点例析】
考点一:
和矩形有关的折量问题
例1（2012?
肇庆）如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC、BD相交于点O,BE‖AC交DC的延长线于点E.
（1）求证:
BDBE;
（2）若∠DBC30°,BO4,求四边形ABED的面积.
思路分析:
（1）根据矩形的对角线相等可得ACBD,然后证明四边形ABEC是平行四边形,再根据平行四边形的对边相等可得ACBE,从而得证;
（2）根据矩形的对角线互相平分求出BD的长度,再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD的长度,然后利用勾股定理求出BC的长度,再利用梯形的面积公式列式计算即可得解.
解答:
（1）证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴ACBD,AB‖CD,
∵BE‖AC,
∴四边形ABEC是平行四边形,
∴ACBE,
∴BDBE;
（2）解:
∵在矩形ABCD中,BO4,
∴BD2BO2×48,
∵∠DBC30°,
∴CDBD×84,
∴ABCD4,DECD+CECD+AB4+48,
在Rt△BCD中,BC4,
∴四边形ABED的面积（4+8）×424.
点评:
本题考查了矩形的对角线互相平分且相等的性质,平行四边形的判定与性质,30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质,熟记性质是解题的关键.
对应训练
1.（2012?
哈尔滨）如图,四边形ABCD是矩形,点E在线段CB的延长线上,连接DE交AB于点F,∠AED2∠CED,点G是DF的中点,若BE1,AG4,则AB的长为.
1.
考点:
矩形的性质;勾股定理.专题:
计算题.
分析:
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AGDG,然后根据等边对等角的性质可得∠ADG∠DAG,再结合两直线平行,内错角相等可得∠ADG∠CED,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AGE2∠ADG,从而得到∠AED∠AGR,再利用等角对等边的性质得到AEAG,然后利用勾股定理列式计算即可得解.
解:
∵四边形ABCD是矩形,点G是DF的中点,
∴AGDG,
∴∠ADG∠DAG,
∵AD‖BC,
∴∠ADG∠CED,
∴∠AGE∠ADG+∠DAG2∠CED,
∵∠AED2∠CED,
∴∠AGE∠AED,
∴AEAG4,
在Rt△ABE中,AB.
故答案为:
.
点评:
本题考查了矩形的性质,等边对等角的性质,等角对等边的性质,以及勾股定理的应用,求出AEAG是解题的关键.
考点二:
和菱形有关的对角线、周长、面积的计算问题
例2（2012?
衡阳）如图,菱形ABCD的周长为20cm,且tan∠ABD,则菱形ABCD的面积为cm2.
思路分析:
连接AC交BD于点O,则可设BO3x,AO4x,继而在RT△ABO中利用勾股定理求出AB,结合菱形的周长为20cm可得出x的值,再由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得出答案.解答:
解:
连接AC交BD于点O,
则AC⊥BD,AOOC,BODO,
设BO3x,AO4x,
则AB5x,
又∵菱形ABCD的周长为20cm,
∴4×5x20cm,
解得:
x1,
故可得AO4,BO3,AC2AO8cm,BD2BO6cm,
故可得AC×BD24cm2.
故答案为:
24.
点评:
此题考查了菱形的性质,掌握菱形的对角线互相垂直且平分的性质,及菱形的面积等于对角线乘积的一半是解答本题的关键.
对应训练
2.（2012?
山西）如图,已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm,AE⊥BC于点E,则AE的长是（）
A.5cmB.2cmC.cmD.cm
2.考点:
菱形的性质;勾股定理.
分析:
根据菱形的性质得出BO、CO的长,在RT△BOC中求出BC,利用菱形面积等于对角线乘积的一半,也等于BC×AE,可得出AE的长度.解答:
解:
∵四边形ABCD是菱形,
∴COAC3cm,BOBD4cm,AO⊥BO,
∴BC5cm,
∴S菱形ABCDBD?
AC2×6×824cm2,
∵S菱形ABCDBC×AD,
∴BC×AE24,
∴AEcm,
故选D.
点评:
此题考查了菱形的性质,也涉及了勾股定理,要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法,及菱形的对角线互相垂直且平分.
考点三:
和正方形有关的证明题
例3（2012?
黄冈）如图,在正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,E、F分别在OD、OC上,且DECF,连接DF、AE,AE的延长线交DF于点M.
求证:
AM⊥DF.
考点:
正方形的性质;全等三角形的判定与性质.专题:
证明题.
分析:
根据DECF,可得出OEOF,继而证明△AOE≌△DOF,得出∠OAE∠ODF,然后利用等角代换可得出∠DME90°,即得出了结论.解答:
证明:
∵ABCD是正方形,
∴ODOC,
又∵DECF,
∴OD-DEOC-CF,即OFOE,
在RT△AOE和RT△DOF中,,
∴△AOE≌△DOF,
∴∠OAE∠ODF,
∵∠OAE+∠AEO90°,∠AEO∠DEM,
∴∠ODF+∠DEM90°,
即可得AM⊥DF.
点评:
此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质,解答本题的关键是通过全等的证明得出∠OAE∠ODF,利用等角代换解题.
对应训练
12.（2012?
贵阳）如图,在正方形ABCD中,等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上.
（1）求证:
CECF;
（2）若等边三角形AEF的边长为2,求正方形ABCD的周长.
考点:
正方形的性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;等腰直角三角形.
分析:
（1）根据正方形可知ABAD,由等边三角形可知AEAF,于是可以证明出△ABE≌△ADF,即可得出CECF;
（2）连接AC,交EF与G点,由三角形AEF是等边三角形,三角形ECF是等腰直角三角形,于是可知AC⊥EF,求出EG1,设BEx,利用勾股定理求出x,即可求出BC的上,进而求出正方形的周长.
解答:
（1）证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴ABAD,
∵△AEF是等边三角形,
∴AEAF,
在Rt△ABE和Rt△ADF中,
∵ABADAEAF,
∴Rt△ABE≌Rt△ADF,
∴CECF,
（2）解:
连接AC,交EF于G点,
∵△AEF是等边三角形,△ECF是等腰直角三角形,
∴AC⊥EF,
在Rt△AGE中,EGsin30°AE×21,
∴EC,
设BEx,则ABx+,
在Rt△ABE中,AB2+BE2AE2,即（x+）2+x24,
解得x,
∴AB,
∴正方形ABCD的周长为4AB.
点评:
本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质和等腰三角形的性质,解答本题的关键是对正方形和三角形的性质的熟练运用,此题难度不大,是一道比较不错的试题.
考点四:
四边形综合性题目
例4（2012?
江西）如图,正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合,将△AEF绕顶点A旋转,在旋转过程中,当BEDF时,∠BAE的大小可以是.
7.15°或165°
15°或165°考点:
正方形的性质;全等三角形的判定与性质;旋转的性质.专题:
分类讨论.
分析:
利用正方形的性质和等边三角形的性质证明△ABE≌△ADF（SSS）,有相似三角形的性质和已知条件即可求出当BEDF时,∠BAE的大小,应该注意的是,正三角形AEF可以再正方形的内部也可以在正方形的外部,所以要分两种情况分别求解.
解答:
解:
①当正三角形AEF在正方形ABCD的内部时,如图1,
∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合,
当BEDF时,
∴,
∴△ABE≌△ADF（SSS）,
∴∠BAE∠FAD,
∵∠EAF60°,
∴∠BAE+∠FAE30°,
∴∠BAE∠FAD15°,
②当正三角形AEF在正方形ABCD的外部时.
∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合,
当BEDF时,
∴ABADBEDFAEAF,
∴△ABE≌△ADF（SSS）,
∴∠BAE∠FAD,
∵∠EAF60°,
∴∠BAE（360°-90°-60°）×+60°165°,
∴∠BAE∠FAD165°
故答案为:
15°或165°.
点评:
本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、旋转的性质以及全等三角形的判定和全等三角形的性质和分类讨论的数学思想,题目的综合性不小.
对应训练
4.（2012?
铜仁地区）以边长为2的正方形的中心O为端点,引两条相互垂直的射线,分别与正方形的边交于A、B两点,则线段AB的最小值是.
4.
考点:
正方形的性质;垂线段最短;全等三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线.专题:
证明题.分析:
证△COA≌△DOB,推出等腰直角三角形AOB,求出AB2
OA,得出要使AB最小,只要OA取最小值即可,当OA⊥CD时,OA最小,求出OA的值即可.
解答:
解:
∵四边形CDEF是正方形,
∴∠OCD∠ODB45°,∠COD90°,OCOD,
∵AO⊥OB,
∴∠AOB90°,
∴∠CAO+∠AOD90°,∠AOD+∠DOB90°,
∴∠COA∠DOB,
∵在△COA和△DOB中
∴△COA≌△DOB,
∴OAOB,
∵∠AOB90°,
∴△AOB是等腰直角三角形,
由勾股定理得:
ABOA,
要使AB最小,只要OA取最小值即可,
根据垂线段最短,OA⊥CD时,OA最小,
∵正方形CDEF,
∴FC⊥CD,ODOF,
∴CADA,
∴OACF1,
即AB,
故答案为:
.
点评:
本题考查了勾股定理,全等三角形的性质和判定,正方形的性质,垂线段最短等知识点的应用,关键是求出ABOA和得出OA⊥CD时OA最小,题目具有一定的代表性,有一定的难度.
【聚焦山东中考】
2.（2012?
青岛）已知:
如图,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,BE⊥AC于E,DF⊥AC于F,点O既是AC的中点,又是EF的中点.
（1）求证:
△BOE≌△DOF;
（2）若OABD,则四边形ABCD是什么特殊四边形?
说明理由.
考点:
矩形的判定;全等三角形的判定与性质.
分析:
（1）首先根据垂直可得∠BEO∠DFO90°,再由点O是EF的中点可得OEOF,再加上对顶角∠DOF∠BOE,可利用ASA证明△BOE≌△DOF;
（2）首先根据△BOE≌△DOF可得DOBO,再加上条件AOCO可得四边形ABCD是平行四边形,再证明DBAC,可根据对角线相等的平行四边形是矩形证出结论.
解答:
（1）证明:
∵BE⊥AC.DF⊥AC,
∴∠BEO∠DFO90°,
∵点O是EF的中点,
∴OEOF,
又∵∠DOF∠BOE,
∴△BOE≌△DOF（ASA）;
（2）解:
四边形ABCD是矩形.理由如下:
∵△BOE≌△DOF,
∴OBOD,
又∵OAOC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵OABD,OAAC,
∴BDAC,
∴?
ABCD是矩形.
点评:
此题主要考查了全等三角形的判定与性质,以及矩形的判定,关键是熟练掌握矩形的判定定理:
①矩形的定义:
有一个角是直角的平行四边形是矩形;②有三个角是直角的四边形是矩形;③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）.
3.（2012?
威海）如图,在?
ABCD中,AE,CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线,添加一个条件,仍无法判断四边形AECF为菱形的是（）
A.AEAFB.EF⊥ACC.∠B60°D.AC是∠EAF的平分线
考点:
菱形的判定;平行四边形的性质.分析:
根据平行四边形性质推出∠B∠D,∠DAB∠DCB,ABCD,ADBC,求出∠BAE∠DCF,证△ABE≌△CDF,推出AECF,BEDF,求出AFCE,得出四边形AECF是平行四边形,再根据菱形的判定判断即可.解答:
解:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠B∠D,∠DAB∠DCB,ABCD,ADBC,
∵AE,CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线,
∴∠DCF∠DCB,∠BAE∠BAD,
∴∠BAE∠DCF,
∵在△ABE和△CDF中
∠D∠BABCD∠DCF∠BAE,
∴△ABE≌△CDF,
∴AECF,BEDF,
∵ADBC,
∴AFCE,
∴四边形AECF是平行四边形,
A、∵四边形AECF是平行四边形,AEAF,
∴平行四边形AECF是菱形,故本选项正确;
B、∵EF⊥AC,四边形AECF是平行四边形,
∴平行四边形AECF是菱形,故本选项正确;
C、根据∠B60°和平行四边形AECF不能推出四边形是菱形,故本选项错误;
D、∵四边形AECF是平行四边形,
∴AF‖BC,
∴∠FAC∠ACE,
∵AC平分∠EAF,
∴∠FAC∠EAC,
∴∠EAC∠ECA,
∴AEEC,
∵四边形AECF是平行四边形,
∴四边形AECF是菱形,故本选项正确;
故选C.点评:
本题考查了平行四边形的性质和判定、菱形的判定、全等三角形的性质和判定、平行线的性质等知识点,主要考查学生的推理能力.
4.（2012?
聊城）如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,DE‖AC,CE‖BD.
求证:
四边形OCED是菱形.
考点:
菱形的判定;矩形的性质.专题:
证明题.
分析:
首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED是平行四边形,再根据矩形的性质可得OCOD,即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论.
解答:
证明:
∵DE‖AC,CE‖BD,
∴四边形OCED是平行四边形,
∵四边形ABCD是矩形,
∴OCOD,
∴四边形OCED是菱形.
点评:
此题主要考查了菱形的判定,矩形的性质,关键是掌握菱形的判定方法:
①菱形定义:
一组邻边相等的平行四边形是菱形;②四条边都相等的四边形是菱形;③对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
5.（2012?
济宁）如图,AD是△ABC的角平分线,过点D作DE‖AB,DF‖AC,分别交AC、AB于点E和F.
（1）在图中画出线段DE和DF;
（2）连接EF,则线段AD和EF互相垂直平分,这是为什么?
考点:
菱形的判定与性质;作图?
复杂作图.
分析:
（1）根据题目要求画出线段DE、DF即可;
（2）首先证明四边形AEDF是平行四边形,再证明∠EAD∠EDA,根据等角对等边可得EAED,由有一组邻边相等的平行四边形是菱形可证明四边形AEDF是菱形,再根据菱形的性质可得线段AD和EF互相垂直平分.
解答:
解
（1）如图所示;
（2）∵DE‖AB,DF‖AC,
∴四边形AEDF是平行四边形,
∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠FAD∠EAD,
∵AB‖DE,
∴∠FAD∠EDA,
∴∠EAD∠EDA,
∴EAED,
∴平行四边形AEDF是菱形,
∴AD与EF互相垂直平分.
点评:
此题主要考查了画平行线,菱形的判定与性质,关键是掌握菱形的判定方法,判定四边形为菱形可以结合菱形的性质证出线段相等,角相等,线段互相垂直且平分.
【备考真题过关】
一、选择题
1.（2012?
南通）如图,矩形ABCD的对角线AC8cm,∠AOD120°,则AB的长为（）
A.3cmB.2cmC.23D.4cm
考点:
矩形的性质;等边三角形的判定与性质.
分析:
根据矩形的对角线相等且互相平分可得AOBOAC,再根据邻角互补求出∠AOB的度数,然后得到△AOB是等边三角形,再根据等边三角形的性质即可得解.
解:
在矩形ABCD中,AOBOAC4cm,
∵∠AOD120°,
∴∠AOB180°-120°60°,
∴△AOB是等边三角形,
∴ABAO4cm.
故选D.
点评:
本题考查了矩形的性质,等边三角形的判定与性质,判定出△AOB是等边三角形是解题的关键.
2.（2012?
黄冈）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形,则四边形ABCD一定是（）
A.矩形B.菱形
C.对角线互相垂直的四边形D.对角线相等的四边形
考点:
矩形的判定;三角形中位线定理.
分析:
此题要根据矩形的性质和三角形中位线定理求解;首先根据三角形中位线定理知:
所得四边形的对边都平行且相等,那么其必为平行四边形,若所得四边形是矩形,那么邻边互相垂直,故原四边形的对角线必互相垂直,由此得解.
解:
已知:
如右图,四边形EFGH是矩形,且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点,求证:
四边形ABCD是对角线垂直的四边形.
证明:
由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点,
根据三角形中位线定理得:
EH‖FG‖BD,EF‖AC‖HG;
∵四边形EFGH是矩形,即EF⊥FG,
∴AC⊥BD,
故选C.
点评:
本题主要考查了矩形的性质和三角形中位线定理,解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答.
3.（2012?
大连）如图,菱形ABCD中,AC8,BD6,则菱形的周长是（）
A.20B.24C.28D.40
3.考点:
菱形的性质;勾股定理.专题:
数形结合.
分析:
据菱形对角线互相垂直平分的性质,可以求得BOOD,AOOC,在Rt△AOD中,根据勾股定理可以求得AB的长,即可求菱形ABCD的周长.
解:
∵菱形对角线互相垂直平分,
∴BOOD3,AOOC4,
∴AB5,
故菱形的周长为20.
故选A.
点评:
本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用,考查了菱形各边长相等的性质,本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键.
4.（2012?
张家界）顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是（）
A.正方形B.矩形C.菱形D.等腰梯形
考点:
菱形的判定;三角形中位线定理;矩形的性质.
分析:
因为题中给出的条件是中点,所以可利用三角形中位线性质,以及矩形对角线相等去证明四条边都相等,从而说明是一个菱形.
解答:
解:
连接AC、BD,
在△ABD中,
∵AHHD,AEEB
∴EHBD,
同理FGBD,HGAC,EFAC,
又∵在矩形ABCD中,ACBD,
∴EHHGGFFE,
∴四边形EFGH为菱形.
故选C.
5.（2012?
丹东）如图,菱形ABCD的周长为24cm,对角线AC、BD相交于O点,E是AD的中点,连接OE,则线段OE的长等于（）
A.3cmB.4cmC.2.5cmD.2cm
考点:
菱形的性质;三角形中位线定理.
分析:
先求出菱形的边长AB,再根据菱形的对角线互相平分判断出OE是△ABD的中位线,然后根据三角形的中位线等于第三边的一半解答.
解:
∵菱形ABCD的周长为24cm,
∴边长AB24÷46cm,
∵对角线AC、BD相交于O点,
∴BODO,
又∵E是AD的中点,
∴OE是△ABD的中位线,
∴OEAB×63cm.
故选A.
点评:
本题考查了菱形的对角线互相平分的性质,三角形的中位线定理,是基础题,求出OE等于菱形边长的一半是解题的关键.
6.（2012?
泸州）如图,菱形ABCD的两条对角线相交于O,若AC6,BD4,则菱形的周长是（）
A.24B.16C.4D.2
考点:
菱形的性质;勾股定理.
分析:
由菱形ABCD的两条对角线相交于O,AC6,BD4,即可得AC⊥BD,求得OA与OB的长,然后利用勾股定理,求得AB的长,继而求得答案.
解答:
解:
∵四边形ABCD是菱形,AC6,BD4,
∴AC⊥BD,OAAC3,OBD2,ABBCCDAD,
∴在Rt△AOB中,AB,
∴菱形的周长是:
4AB4.
故选C.
点评:
此题考查了菱形的性质与勾股定理.此题难度不大,注意掌握数形结合思想的应用.
7.（2012?
恩施州）如图,菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3,∠A120°,则图中阴影部分的面积是（）
A.B.2C.3D.2
考点:
菱形的性质;解直角三角形.专题:
常规题型.
分析:
设BF、CE相交于点M,根据相似三角形对应边成比例列式求出CG的长度,从而得到DG的长度,再求出菱形ABCD边CD上的高与菱形ECGF边CE上的高,然后根据阴影部分的面积S△BDM+S△DFM,列式计算即可得解.
解答:
解:
如图,设BF、CE相交于点M,
∵菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3,
∴△BCM∽△BGF,
∴,
即,
解得CM1.2,
∴DM2-1.20.8,
∵∠A120°,
∴∠ABC180°-120°60°,
∴菱形ABCD边CD上的高为2sin60°2×,
菱形ECGF边CE上的高为3sin60°3×,
∴阴影部分面积S△BDM+S△DFM12×0.8×+12×0.8×.
故选A.
点评:
本题考查了菱形的性质,解直角三角形,把阴影部分分成两个三角形的面积,然后利用相似三角形对应边成比例求出CM的长度是解题的关键.
8.（2012?
贵港）如图,在菱形ABCD中,ABBD,点E、F分别在BC、CD上,且BECF,连接BF、DE交于点M,延长ED到H使DHBM,连接AM,AH,则以下四个结论:
①△BDF≌△DCE;②∠BMD120°;③△AMH是等边三角形;④S四边形ABCDAM2.
其中正确结论的个数是（）
A.1B.2C.3D.4
考点:
菱形的性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质.
分析:
根据菱形的四条边都相等,先判定△ABD是等边三角形,再根据菱形的性质可得∠BDF∠C60°,再求出DFCE,然后利用“边角边”即可证明△BDF≌△DCE,从而判定①正确;根据全等三角形对应角相等可得∠DBF∠EDC,然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可以求出∠DMF∠BDC60°,再根据平角等于180
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