Ch22插值余项与误差估计精.docx

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Ch22插值余项与误差估计精

2.2.3插值多项式中的误差

一、插值余项

从上节可知y=f（x）^JLagrang^值

）=0

满足厶”3）=/（兀）心0,1,・・・,〃

但^xe[a,b]LnM=f（x）不会完全成立

因此，插值多项式存在着截断误差，那么我们怎样估计这个截断误差呢？

1OI2M

切上/Xr）的插值多项式為（x）

令&（x）=/（x）-化（x）

显然在插值节点为;（心0丄・・/）上

&（齐）=/（兀）-出（兀）=o,t=O,l,--,n

因此人（力右巾切上至少有乃+1个零点

设R”（x）=K（x）%（x）

其中叫+]（x）=（x-xt））（Ai-召）…仗一占）K（x）为待定函数

R3=f（x）-pn（x）=K（xQ,|（x）

I0I2MI

=0

若W入辅助换数7"）=/（/）-化（/）-K（x）^・|（/）

则有讽x）=/（朗-化（x）-K（x）%]（x）=0

=心兀）-K（x>w讪（兀）=0/=0丄…』

因此若令"兀，X）在区间a勿上至少伽+2个零点即

（P（x）=0,倾兀）=0•i=O.I2・・・M

由于巴（X）和为多项式因此若f（x）町微则凶）也可微

K12H

再由Rolle定理,矿⑴在区卩％b）1:

/f至州个零点

依此类推

在区MR"）内至少仃个点^使得卩⑴的舁+1阶导数为零

0E它）=0倚）=几KO-K（x）

由于0"⑴可曲⑴-於⑷⑴-K（对砒:

;”⑴

因此严始）=严©）_叩《）_2加@）

KI2M

二f”°（G_K（x）.（“+]）!

=0

—L—（rrrW-

所以Rn（x）=K（x）a）n9l（x）=_%©）

S+l）!

称/?

”（x）为插值多项工巴（X舶余项截断误痢

E艸I即（x）在区阿d,b]tn+1阶nJ微^（x）为r（x）在⑷切上的“次插值多项式插值竹点为昂爲u0/儿则\/xe[afh]f^f（m（匕）

ES）=_叽（X）Tngc唯余项

宾中%O=H（x_巧），且依赖于r.

/=o

心0

IKWI

<-M

5+1）!

试估计丿1血£如々餓性和二次插值般（17®近似值的截断谋差

解：

设&（x）为Ltrgmxgg戈性插值的余项

尺2（*）为二次么&〃"捕值的余项

/v）=277厂心存

ru）=|x^

max|/（y）|=|广（16勺|“141（尸

“迁忑髄IOI=1广（144）|

|=1（175-“卵175-22彳|=300

N、斗s（"）|=）（175-14出（175-169）（175-22^1=9300

|&（x）|S丄M2MS1x1.14x10-4x300^1.71xl（F2

11

\R2（x）\S莎M3N3<±xl.51xl06x93«）<235xl（T3从以上分析可知在求ViT引寸

用Lagrsg二次插值比线性插值峨差更小

例2已知sin0.32=0.314567.sin0.34=0333487.

sin0.36-0.352274,用线性插值及抛物插值计算sin0.3367的值并估计截断误差.

解由題意.取

=y+21Z2o（（）3367-x0）

=0330365.

于是

（0.3367）|=|sin0.3367一厶（0.3367）|

<-x03335X0.0167x0.0033

■

S0.92x10?

U

―血|丿i'讥公

o

—（x-x（大一*0）（*一“、）

加0.3367uy01+V,

（・$一舟）（心一2（州一心）（州一兀）

二0314567-（）?

689|（）_+0.333487

0.0008

y3.89x10=0352274广竺:

0.00040.0008

=0.330374.

6位有效数字的正弦函数表完全一样.

这说明查表时用二次插值精度已相当高了•

由（2.18）,截断误罡限

o

/?

?

（O.3367）|=sin0.3367£.（0.3367）1

4x0.828x0.0167x0.033x0.0233

<0.178x106.

X

10

11

12

13

Inx

2.302585

2.3978952.484907

2.56494

9

用二次描计畀Ini1・曲的近似tfl,异佔计谋差.

解取节点x0=10,x1=11,x2=12,作:

次插值有

Inll.25屯（11.25）=嶋三需詐彳%2.3（）2585

+业25二酬0二辺%2.397895+业25二舸H）x2.484907

（11-10X11-12）（12-10X12-11）

IS

=2.420426

m2”

得误差估计式

M

/?

2（11.25）<;1（11.25-10）（11.25-11）（11.25-12）1<0.00007

、

实际上，lnll.252.42036&|孔（11・25）|二0・000058.