几何证明一.docx

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几何证明一

几何证明一

1、如图，E、B、F、C四点在同一直线上，∠A＝∠D＝90，BE＝FC，

AB＝DF，求证：

∠E＝∠C.

2、如图，⊿ABC中，E在AB上，F在AC上,EF∥BC，AD为CE的垂直的平分线，交BC于D，交EC于N，交EF于M，求证：

⊿EDN≌⊿CDN≌⊿EMN.

3、如图，⊿ABC中，∠ACB＝90，CE⊥AB于E，AD＝AC，AF平分∠CAE交CE于F，求证：

FD∥CB.

4、如图，在⊿ABC中，BE、CF分别为AC边和AB边上的高，在BE上截取BP＝AC，延长CF，并截取CQ＝AB，求证：

AP＝AQ.

5、如图，A、F、C、D四点在一条直线上，AF＝CD，AB∥DE，且AB＝DE，求证：

（1）⊿ABC≌⊿DEF；

（2）∠CBF＝∠FEC.

6、如图，⊿ABC是等边三角形，过AB上的点D作DG∥BC，交AC于G，在GD的延长线上取点E，使DE＝DB，连结AE、CD.

（1）求证：

⊿AGE≌⊿DAC；

（2）过点E作EF∥DC，交BC于点F，连结AF，判断⊿AEF是怎样的三角形，试证明你的判断.

7、⊿ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90，四边形BDEF是正方形，连结AF、CD、CE.

求证：

（1）AF＝CD

（2）AF⊥CD

8、在⊿ABC中，AB＝AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G.一等腰直角三角形尺按如图1所示的位置摆放，该三角形尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B.

（1）猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；

（2）当三角尺以沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E.猜想DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想.

9、如图，P是等边三角形ABC内一点，连结PA、PB、PC，以PB为边作∠PBQ＝60，且BQ＝BP，连结CQ.

（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；

（2）若PA∶PB∶PC＝6∶8∶10，连结PQ，试判断⊿PQC的形状.

10、如图，⊿ABC中，E是AC的中点，ED⊥AC，交∠B的平分线于D，

DM⊥AC，交AC的延长线于M，DN⊥AB，交AB于N，求证：

AN=CM.

11、如图，⊿ABC中，∠C＝90，CA＝CB，CD⊥AB于D，CE平分∠BCD交AB于E，AF平分∠A交CD于F，交CE于H，交CB于G，求证：

EF∥BC

12、已知：

如图，⊿ABC中，∠ABC＝45，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G.

（1）求证：

BF＝AC；

（2）求证：

CE＝

BF；

（3）CE与BG的大小关系如何？

试证明你的结论.

13、已知：

如图，⊿ABC中，AD是高，CE是中线，DC＝BE，DG⊥CE，点G为垂足.

（1）求证：

点G是CE的中点

（2）∠B＝2∠BCE

几何证明二

1、已知：

如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边DC、AD上的点，且EF＝EB，EF⊥EB，求证：

AE平分∠BAD.

2、将平行四边形纸片ABCD按如图的方式折叠，使得点C与A重合，点D落在D´处，折痕为EF.

（1）求证：

⊿ABE≌⊿AD´F

（2）连结CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？

3、如图，正⊿CEF的边长与菱形ABCD的边长相等.

（1）求证：

BE＝DF；

（2）求∠B的度数.

4、如图，在正方形ABCD中，⊿PBC、⊿QCD是两个等边三角形，PB与DQ交于M，BP与CQ交于E，CP与DQ交于F.

求证：

PM＝QM

5、已知：

如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE＝CG，连结BG并延长交DE于F.

（1）求证：

⊿BCG≌⊿DCE；

（2）将⊿DCE绕点D顺时针旋转90得到⊿DAE´，判断E´BGD是什么特殊四边形？

并说明理由.

6、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAD的平分线AE交BC于E，又F、G分别是AB、AD的中点.

（1）求证：

EF＝EG；

（2）当AB与EC满足怎样的数量关系时，EG∥CD，并说明理由.

7、正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是AO上一点，过点P作PF⊥CD于点D，PE⊥PB交CD于E，求证：

DF＝EF

8、如图，点E、F、G分别是⊿ABC边AC，AB、BC的中点，AD⊥BC于D，点D于G不重合，求证：

四边形DEFG是等腰梯形.

9、如图，在⊿ABC中，∠BAC＝90，延长BA到D，使AD＝

AB，点E、F分别为边BC、AC的中点.

（1）求证：

DF＝BE；

（2）过点A作AG∥BC，交DF于G，求证：

AG＝DG

10、两个全等的含30、60角的三角板ADE、和三角板ABC如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME、MC，试判断⊿EMC的形状，并说明理由.

11、已知：

如图，⊿ABC中，∠C＝2∠B，AD是高，点E在BC上，点F是AC的中点，EF∥BA，求证：

DE＝

AC.

12、已知：

如图，在⊿ABC中，∠ACB＝90，点D在BC的延长线上，CD＝

AB，点E是AB边的中点，∠ABC的平分线BF与DE交于点F，求证：

BF＝FD.

13、四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动，（点E不与点A、B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线相交于点F，猜想DE与EF满足什么样的数量关系，请证明你的猜想.

参考答案

几何证明一

1、⊿ABC≌⊿DFE，∠E＝∠C.

2、DE＝DC，∠DNE＝90＝∠DNC，DN＝DN，⊿EDN≌⊿CDN.

EN＝NC，EF∥BC，∠MEN＝∠DCN，∠ENM＝∠CND，⊿EMN≌⊿CDN，

∴⊿EDN≌⊿CDN≌⊿EMN.

3、⊿ACF≌⊿ADF，∠ACF＝∠ADF，∠ACF＝90―∠CAB＝∠B，

∠ADF＝∠B，∴FD∥CB.

4、∠ABP＝90―∠BAE＝∠ACQ，BA＝CQ，BP＝CA，∴⊿ABP≌⊿QCA，

AP＝AQ.

5、

（1）AF＝CD，∴AC＝DF，AB∥DE，∠A＝∠D，AB＝DE，⊿ABC≌⊿DEF.

（2）∠ABC＝∠DEF，又∵⊿ABF≌⊿DCE，∠ABF＝∠DEC，

∴∠CBF＝∠FEC.

6、

（1）由等边⊿ABC，AB＝AC，∠B＝∠ACB＝∠BAC＝60，DG∥BC，

∠AGE＝60＝∠DAC，AG＝AD，又DE＝DB，EG＝AB＝AC

∴⊿AGE≌⊿DAC

（2）⊿AEF是等边三角形.

证明：

∵⊿AGE≌⊿DAC，∴∠AEG＝∠ACD，AE＝CD，又EF∥DC，

DG∥BC，四边形EFCD是平行四边形，EF＝DC，∴AE＝EF，

∠DEF＝∠FCD，∴∠AEG+∠DEF＝∠ACD+∠FCD，

即∠AEF＝∠ECA＝60，∴⊿AEF是等边三角形.

7、

（1）∵∠ABC＝90＝∠FBD，∴∠FBA＝∠DBC，AB＝BC，BF＝BD，

⊿ABF≌⊿CBD，AF＝CD.

（2）延长CD交AB于G，交AF的延长线于H，∠FAB＝∠BCD，

∠AGH＝∠CGB，∴∠AHG＝∠GBC＝90.

8、

（1）BF＝CG

证明：

∠F＝90＝∠G，∠FAB＝∠GAC，AB＝AC，⊿FBA≌⊿GCA，

∴BF＝CG.

（2）DE+DF＝CG.

证明：

过点D作DH⊥CG于点H，DE⊥BA于点E，∠G＝90，

∴四边形EDHG为矩形，DE＝HG，DH∥BG，∠GBC＝∠HDC，

∵AB＝AC，∴∠FCD＝∠GBC＝∠HDC，∠F＝90＝∠DHC，CD＝DC，

∴⊿FDC≌⊿HCD，DF＝CH，∴GH+CH＝DE＋DF，即DE+DF＝CG.

9、

（1）AP＝CQ

证明：

∵AB＝CB，BP＝BQ，∠ABC＝60＝∠PBQ，

∴∠ABP＝∠ABC―∠PBC＝∠PBQ―∠PBC＝∠CBQ，

∴⊿ABP≌⊿CBQ，AP＝AQ.

（2）由PA∶PB∶PC＝6∶8∶10，可设PA＝6

，PB＝8

，PC＝10

.

在⊿PBQ中，由于PB＝BQ＝8

，且∠PBQ＝60，

∴⊿PBQ为等边三角形，∴PQ＝8

.于是在⊿PQC中，

∵

，∴⊿PQC是直角三角形.

10、连结AD、CD，∵ED垂直平方AC，∴AD=CD，∵BD平分∠B，DM⊥BM，

DN⊥AN，∴DM=DN，∠DMC=90=∠DNA，∴⊿DMC≌⊿DNA，

∴AN=CM

11、∵∠ACB＝90，∴∠ACE+∠ECB＝90.

∵∠CDE＝90，∴∠AEC+∠DCE＝90.∵∠ECB＝∠DCE

∴∠ACE＝∠AEC，∴AC＝AE，

又AF平分∠A，∴AH垂直平分CE，∴FC＝FE，∴∠FCE＝∠FEC，

∴∠ECB＝∠FEC，∴EF∥BC.

12、

（1）∠ABC＝45，CD⊥AB于D，∴∠DCB＝45，∴BD＝DC，

∠DBE＝90―∠A＝∠ACD，∠BDF＝90＝∠CDA，∴⊿BDF≌⊿CDA，

BF＝CA.

（2）∵BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，∴∠A＝∠BCA，∴BA＝BC，

∴AE＝EC，∴CE＝

BF.

（3）连结CG，BD＝DC，H是BC边的中点，∴DH垂直平分BC，

∴BG＝CG，在Rt⊿GEC中，CE

BG.

13、

（1）连结ED∵AD是高，CE是中线，∴ED＝BE，BE＝DC，

∴DE＝DC，又DG⊥CE，∴点G是CE的中点.

（2）∵ED＝BE，∴∠B＝∠EDB，∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE，

又∠EDB＝∠DEC+∠DCE＝2∠BCE，∴∠B＝2∠BCE.

几何证明二

1、可证⊿DFE≌⊿CEB，得CB＝DE＝DA，从而知∠DAE＝45，于是

∠EAB＝45，即AE平分∠BAD.

2、

（1）由折叠可知：

∠D＝∠D´，CD＝AD´，∠DCE＝∠D´AE，

∵四边形是平行四边形，∴∠B＝∠D，AB＝CD，∠BCD＝∠BAD，

∴∠B＝∠D´，AB＝AD´，

∠D´AE＝∠BAD，即∠D´AD+∠DAE＝∠BAE+∠DAE，

∴∠D´AD＝∠BAE，∴⊿ABE≌⊿AD´F.

（2）四边形AECF是菱形.

证明：

由折叠可知：

AE＝EC，∠AEF＝∠FEC，

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠FEC＝∠AFE，

∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，∵AE＝EC，∴AF＝EC，

又∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AE＝AF，

∴四边形AECF是菱形.

3、

（1）正⊿CEF的边长与菱形ABCD的边长相等，∴BC＝CE，CF＝CD，

∠B＝∠BEC，∠CFD＝∠D，又∠B＝∠D，

∴∠BCE＝180―2∠B，∠DCE＝180―2∠D，∴∠BCE＝∠DCE，

CB＝CD，CE＝CF，∴⊿CBE≌⊿CDF，∴BE＝DF.

（2）∠B＝80.

设∠B＝x，则∠BCE＝x，∵BE＝DF，AB＝AD，∴AE＝AF，

∴∠AEF＝∠AFE，∠A＝180―x，∠AEF＝

（180―∠A）=90―

∠A，

＝90―

（180―x）=

x∵∠AEF+∠FEC+∠CEB＝180，

即

x+60+x＝180，∴x=80，即∠B＝80.

4、在正方形ABCD中，⊿PBC、⊿QCD是等边三角形

∴∠QCD＝60＝∠PCB，∴∠QCB＝30＝∠PCD，又∵BC＝CD，

∠PBC＝60＝∠QDC，∴⊿EBC≌⊿FDC，∴CE＝CF.

又CQ＝CD＝BC＝CP，∴PF＝QE，又∠P＝∠Q，∠QME＝∠PME，

∴⊿MEQ≌⊿MFP，∴PM＝QM.

5、

（1）在正方形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝90，

又∠BCD+∠DCE＝180，∴∠BCD＝∠DCE＝90，

又∵CG＝CE，∴⊿BCG≌⊿DCE.

（2）∵⊿DCE绕D顺时针旋转90得到⊿DAE´

∴CE＝CE´，∵CE＝CG，∴CG＝AE´，

∵ABCD是正方形，∴BE´∥DC，AB＝CD，∴AB―AE´＝CD―CG，

即BE´＝DG，∴四边形DE´BG是平行四边形.

6、

（1）∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB，又∵∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD，

又∵AF＝

AB，AG＝

AD，∴AF＝AG，

又∵AE＝AE，∠FAE＝∠GAD，∴⊿AEF≌⊿AEG，∴EF＝EG.

（2）当AB＝2EC时，EG∥CD.

∵AB＝2EC，∴AD＝2EC，∴GD＝

AD＝EC，又∵GD∥EC，

∴四边形GECD是平行四边形.

7、过P作PG⊥BC于G，连结PD，

在正方形ABCD中，AB＝AD，AP平分∠BAD，AP＝AP，

∴⊿ABP≌⊿ADP，∴BP＝DP，

又∠PCB＝45＝∠PCD，PG⊥BC，∴∠GPC＝45，∴PG＝GC，

PF⊥CD，∠BCD＝90，∴四边形PGCF是矩形，∵PG＝GC，

∴四边形PGCF是正方形，∴PG＝PF，

∵∠BPG+∠GPE＝90，∠FPE+∠GPE＝90，∴∠BPG＝∠FPE，

∠PGB＝90＝∠PFE，∴⊿PBG≌⊿PEF，∴PB＝PE，

∴PD＝PE，∵PF⊥ED，∴DE＝DF.

8、∵AD⊥BC于D，点E是边AC的中点，∴DE＝

AC，

点E、F分别是边AC，AB的中点，∴EF∥BC，FG不平行DE，

∴四边形DEFG梯形，

又点F、G分别是边AB、BC的中点，∴FG＝

AC，∴DE＝FG，

∴四边形DEFG是等腰梯形.

9、

（1）连结AE，∵∠BAC＝90，点E是BC的中点，∴AE＝BE，

点E、F分别为边BC、AC的中点，∴EF∥BD，EF＝

AB，

AD＝

AB，∴EF＝AD，∴四边形AEFD是平行四边形，∴AE＝DF，

∴DF＝BE.

（2）∵在□AEFD中，DF∥AE，∠D＝∠BAE，

∵EB＝EA，∴∠BAE＝∠B，∵AG∥BC，∴∠DAG＝∠B，

∴∠DAG＝∠D，∴AG＝DG.

10、⊿EMC是等腰直角三角形.

证明：

连结MA，

由两个全等的含30、60角的三角板ADE、和三角板ABC，

AD＝AB，∠DAE＝30，∠BAC＝60，∴∠DAB＝180―30―60＝90，

∵M是DB的中点，∴DM＝MA＝MB，AM⊥DB，

MA平分∠DAB，∴∠DAM＝45＝∠MAB，

∴∠DAM＝∠MAB＝∠MDA＝∠ABM＝45

在⊿EDM和⊿CAM中，

DE＝AC，DM＝AM，

∠EDA＝∠BAC，∠ADM＝∠MAB，∴∠EDA+∠ADM＝∠BAC+∠MAB，

即∠EDM＝∠CAM，∴⊿EDM≌⊿CAM，∴ME＝MC，∠DME＝∠AME，

∵∠DME+∠EMA＝∠AMC+∠EMA＝90，∴⊿EMC是等腰直角三角形.

11、连结DF，∵EF∥BA，∴∠B＝∠FED，∵∠C＝2∠B，∠C＝2∠FED

AD是高，点F是AC的中点，∴FD＝FC＝

AC，∴∠FDC＝∠C，

∴∠FDC＝2∠FED，∵∠FDC＝∠FED+∠EFD，∴∠FED＝∠EFD，

∴DE＝DF，∵FD＝

AC，∴DE＝

AC.

12、连结EC，∵∠ACB＝90，点E是AB边的中点，∴EC＝EB＝

AB，

∴∠ABC＝∠ECB，∵∠EBF＝∠FBC，∴∠ECB＝2∠FBC，

∵CD＝

AB，∴CD＝CE，∴∠CED＝∠D，

又∠ECB＝∠CED+∠D，∴∠ECB＝2∠D，∴∠FBC＝∠D，

∴BF＝FD.

13、DE＝EF

证明：

在AD上截取AG＝AE，连结GE，

∵ABCD是正方形，∴∠A＝90，∵AG＝AE，∴∠AGE＝∠AEG＝45，

∴∠DGE＝180―45＝135，又∠CBM＝90，BF平分∠CBM，

∴∠EBF＝90+45＝135，∴∠DGE＝∠EBF，

∵AD＝AB，AG＝AE，∴DG＝EB，

∵∠DEF＝90，∴∠DEA+∠FEB＝180―90＝90，

在Rt⊿DAE中，∠GDE+∠DEA＝90，∴∠GDE＝∠FEB，

∴⊿DGE≌⊿EBF，∴DE＝EF.