第七章解析函数在平面场中应用.ppt

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*第七章解析函数在平面场中的应用,Analysisfunctionapplyingintheplanefield,第一讲,7.1复势的概念7.2复势的应用7.3用共形映射方法研究平面场,7.1复势的概念（TheConceptionofthecomplexpotential）,物理中有许多不同的稳定平面场，都可以用解析函数来描述，这种平面场的物理现象，可以用相应的解析函数的性质来描述。

如果平面平行向量场不随时间变化，我们称为平面定常向量场。

我们设，对平面上的任意点，可以用一个解析函数来表示,例如：

一个平面定常流速场可以用复变函数表示为,定义7.1曲线积分,如果,，则存在函数,，使,那么称,为向量场,的流函数。

其中,称为向量场通过曲线的流量。

定义7.2曲线积分,如果,，则存在函数,使,那么称,为向量场,的势函数。

称为向量场沿曲线的环量。

7.2复势的应用（Theapplicationofthecomplexpotential）,例7.1试研究一平面流速场的复势为,，说明场中任意点的流速方向为,势函数为,，所以等势线为,的速度、流函数和势函数。

可以得到,例7.2试研究以,解：

在任意,处，,流函数是,所以流线为,势函数为,等势线为,。

为复势的平面定常流速场。

在热力学的热传导理论中，,已经证明，介质的热量与温度梯度称正比，,我们也可以构造热流场的复势：

称为温度函数（或势函数），,称为等温线；,称为热流函数，,是热量流动所沿的曲线。

热流场可以用复变函数,。

在空间静电场中，我们也可以构造复势,，其中,称为力函数，,称为静电场的复势，是一个解析函数。

7.3用共形映射方法研究平面场,在速度场、热流场和静电场等平面场中，常用共形映,射的方法求得复势函数，方法是将已,给的平面区域,映照为典型区域。

而这些典型区域各自对应着所考,虑问题的类型。

如速度场映射为上半平面或带形,区域，静电场映射为圆形区域或带形区域等。

（TostudytheplanefieldinConformalmapping）,例7.3求,解：

等势线是,，电力线方程为为,。

它们都是双曲线组。

表示的电场。

7.3用共形映射方法研究平面场,在速度场、热流场和静电场等平面场中，常用共形映,射的方法求得复势函数，方法是将已,给的平面区域,映照为典型区域。

而这些典型区域各自对应着所考,虑问题的类型。

如速度场映射为上半平面或带形,区域，静电场映射为圆形区域或带形区域等。

例7.4设曲线由射线,，中心在点,半径为,上的半圆周以及射线,所组成，不可压缩流体（无源也无汇）在域,内作无旋流动，又设无穷远点的速度为给定的,，,解：

求流速场的复势,，就要把区域,的边界映射为实轴，把区域,映射为上半平面，可通过下述映射方法来完成。

由于,，,，可以知道,，所以,令,，可以知道,故流线方程为,。

，求所产生的流速场。

例7.5设在射线,上的电势为,解：

求静电场的复势，就是找函数,，使已知区域,共形映射为,平面上的带形区域,，而使射线、实轴分别与,对应，所以,为所求的复势，它是区域内的单值函数，用它可以求出静电场中的各量。

而在实轴上为零，求所产生的静电势。

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运城学院应用数学系,