一次函数一元一次不等式与一次函数的关系.docx

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一次函数一元一次不等式与一次函数的关系

一次函数、一元一次不等式与一次函数的关系

一次函数、一元一次不等式与一次函数的关系

基础知识回顾

一、正比例函数

1、正比例函数及性质

定义:

一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.

注:

正比例函数一般形式:

y=kx

k≠0

x的指数为1

例题1.下列说法中不成立的是()

A.在y=3x-1中y+1与x成正比例;B.在y=-

中y与x成正比例

C.在y=2(x+1)中y与x+1成正比例;D.在y=x+3中y与x成正比例

思考1:

如何判断两个量是不是成正比例?

 

练习:

已知y-5与3x-4成正比例,且当x=1时,y=2,求当y=11时,x的值.

 

知识点:

(1)解析式:

y=kx(k是常数,k≠0)必过点:

(0,0)、(1,k)

例题2:

当a=________时,函数y=(a-3)x+a2-9是正比例函数.

 

思考2:

给出一个解析式是正比例函数,应当列出哪几个式子?

 

(2)走向:

k>0时,图像经过一、三象限;k<0时,图像经过二、四象限

(3)增减性:

k>0,y随x的增大而增大;k<0,y随x增大而减小

例题3.已知(x1,y1)和(x2,y2)是直线y=-3x上的两点,且x1>x2,则y1与y2的大小关系是()

A.y1>y2B.y1

练习:

已知正比例函数y=(2m-1)x的图象上两点A(x1,y1)、B(x2,y2),当x1y2,那么m的取值范围是()

A.m<

B.m>

C.m<2D.m>0

思考3:

表示正比例函数增减性的数学表述语言有哪些?

 

(4)倾斜度:

|k|越大,越接近y轴;|k|越小,越接近x轴

思考4:

这句话有什么作用?

 

例题4.已知y-5与3x-4成正比例,且当x=1时,y=2,求当y=11时,x的值.

 

例题5.已知正比例函数

的图象上有一点P(x,y)和一点A(6,0),O为坐标原点,且△PAO的面积等于12,你能求出P点坐标吗?

 

思考5:

如何解答一次函数与面积的结合问题?

二、一次函数及性质

一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0),那么y叫做x的一次函数.当b=0时,y=kx+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.

注:

一次函数一般形式y=kx+b

k≠0

x指数为1

b取任意实数

一次函数y=kx+b的图象是经过(0,b)和(-

,0)两点的一条直线,我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.(当b>0时,向上平移;当b<0时,向下平移)

一次函数y=kx+b的图象的画法——两点法:

根据几何知识:

经过两点能画出一条直线,并且只能画出一条直线,即两点确定一条直线,所以画一次函数的图象时,只要先描出两点,再连成直线即可.一般情况下:

是先选取它与两坐标轴的交点:

(0,b),

.即横坐标或纵坐标为0的点.

(1)解析式:

y=kx+b(k、b是常数,k

0),必过点:

(0,b)和(-

,0)

例题6:

已知函数y=2x-1与y=3x+2的图象交于点P,则点P在()

A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限

练习:

已知一次函数y=ax+4与y=bx-2的图象在x轴上相交于同一点,则

的值是()

A.4B.-2C.

D.-

思考6:

碰到与坐标轴的交点问题,马上想到什么?

 

求函数解析式的例题

一、定义法

1、已知函数

是一次函数,求其解析式。

 

2、已知函数y=

当m取什么值时,y是x的一次函数?

当m取什么值是,y是x的正比例函数。

 

思考:

解答此类问题需要注意的问题是什么?

二、待定系数法

3、已知一次函数y=kx-3的图像过点(2,-1),求这个函数的解析式。

 

4、已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是(-2,0)、(0,4),则这个函数的解析式为_____________。

 

思考:

用待定系数法确定函数解析式的一般步骤:

 

二、数形结合法

5、已知某个一次函数的图像如图所示,则该函数的解析式为__________。

 

思考:

已知图象求解析式的方法是什么?

 

三、与面积问题结合

6.已知四条直线y=kx-3,y=-1,y=3和x=1所围成的四边形的面积是12,则k的值为()

A.1或-2   B.2或-1   C.3   D.4

总结:

要注意数形结合!

练习1:

直线y=3x+b与坐标轴围成的三角形面积为6,求与y轴的交点坐标()

A.(0,2)B.(0,-2)(0,2)C.(0,6)D.(0,6)、(0,-6)

思考:

与面积结合的题型,我们怎么去表示面积?

练习2:

在直角坐标系中,直线

与x轴交于点A,与y轴交于点B,已知△OAB的面积为10,求这条直线的解析式。

 

练习3:

已知直线y=kx-4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4,则直线解析式为__________。

四、平移问题

7、将直线y=3x向下平移2个单位,得到直线__________;将直线y=-x-5向上平移5个单位,得到直线___________

 

练习:

把直线y=2x+1向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。

 

思考:

直线平移规律是什么?

 

五、直线位置关系

思考:

直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系

(1)两直线平行:

(2)两直线相交:

(3)两直线重合:

8、若直线

平行于直线

,且过点(2,-1),则k=,b=

 

练习:

已知直线y=kx+b与直线y=-2x平行,且在y轴上的截距为2,则直线的解析式为___________。

(2)走向与增减性:

 

b>0

b<0

b=0

k>0

经过第一、二、三象限

经过第一、三、四象限

经过第一、三象限

图象从左到右上升,y随x的增大而增大

k<0

经过第一、二、四象限

经过第二、三、四象限

经过第二、四象限

图象从左到右下降,y随x的增大而减小

 

例题7:

已知直线y=kx+b,y随着x的增大而减小,且kb<0,则在坐标系内它的大致图象是()

 

练习:

下图中表示一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx(m,n是常数,且mn

0)图像的是()

思考7:

解答此类题目的思路与方法是什么?

 

例题8:

函数

中y随x的增大而减小,且图象交y轴于正半轴,则m的取值范围是

 

练习:

若m是整数,且一次函数

的图象不过第二象限,则m=。

 

(3)倾斜度:

|k|越大,图象越接近于y轴;|k|越小,图象越接近于x轴.

注:

作用与正比例函数相同

综合题——拓展提高:

如图,直线L:

与x轴、y轴分别交于A、B两点,在y轴上有一点C(0,4),动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动。

(1)求A、B两点的坐标;

(2)求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式;

(3)当t为何值时,△COM与△AOB全等,求此时M点坐标。

 

6、一元一次方程与一次函数的关系

任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0(a,b为常数,a≠0)的形式,所以解一元一次方程可以转化为:

当某个一次函数的值为0时,求相应的自变量的值.从图象上看,相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.

例题9:

已知一次函数

的图象如图所示,一元一次方程

的根是;方程

的根是

思考8:

解答此类问题的关键是找准什么?

 

7、一次函数与一元一次不等式的关系

任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0(a,b为常数,a≠0)的形式,所以解一元一次不等式可以看作:

当一次函数值大(小)于0时,求自变量的取值范围.(或者说:

不等式仅表示了一次函数图像上的一部分)

强化训练:

1.直线y=x-1上的点在x轴上方时对应的自变量的范围是()

A.x>1B.x≥1C.x<1D.x≤1

2.已知直线y=2x+k与x轴的交点为(-2,0),则关于x的不等式2x+k<0的解集是()

A.x>-2B.x≥-2C.x<-2D.x≤-2

思考:

有哪几种方法?

并比较哪种方法简单。

3.已知关于x的不等式ax+1>0(a≠0)的解集是x<1,则直线y=ax+1与x轴的交点是()

A.(0,1)B.(-1,0)C.(0,-1)D.(1,0)

思考:

该题与1、2题的区别是什么?

4.已知函数y=8x-11,要使y>0,那么x应取()

A.x>

B.x<

C.x>0D.x<0

综合以上4道题,思考:

解答此类问题关键是找准什么?

拓展延伸:

非坐标轴上的点,怎么办?

5.已知函数y=(2m-1)x的图象上两点A(x1,y1)、B(x2,y2),当x1<x2时,有y1>y2,那么m的取值范围是()

A.m<

B.m>

C.m<2D.m>0

思考:

该题考查的知识点是什么?

6.若一次函数y=(m-1)x-m+4的图象与y轴的交点在x轴的上方,则m的取值范围是________.

思考:

该题需要注意的问题是什么?

7.当自变量x的值满足____________时,直线y=-x+2上的点在x轴下方.

8.已知直线y=x-2与y=-x+2相交于点(2,0),则不等式x-2≥-x+2的解集是________.

思考:

有哪几种方法?

并比较简易程度。

9.直线y=-3x-3与x轴的交点坐标是________,则不等式-3x+9>12的解集是________.

10.已知关于x的不等式kx-2>0(k≠0)的解集是x>-3,则直线y=-kx+2与x轴的交点是__________.

 

11.已知不等式-x+5>3x-3的解集是x<2,则直线y=-x+5与y=3x-3的交点坐标是_________.

综合9-10题,思考:

不等式解集中的端点值其实就是什么?

12.如果一次函数y=kx+2,当x=5时,y=4,那么当x________时,y<0.

思考:

有几种方法?

比较简易程度。

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