高中数学 第四章《圆与方程》复习教案 新人教A版必修2.docx
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高中数学第四章《圆与方程》复习教案新人教A版必修2
2019-2020年高中数学第四章《圆与方程》复习教案新人教A版必修2
复习知识点：
一：
圆的方程。
（1）标准方程（几何式）：
（圆心为A（a,b）,半径为r）
（2）圆的一般方程（代数式）：
（）
圆心半径
提示：
求圆的方程的主要方法有两种：
一是定义法，二是待定系数法。
定义法是指用定义求出圆心坐标和半径长，从而得到圆的标准方程；待定系数法即列出关于的方程组，求而得到圆的一般方程，一般步骤为：
（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为
（2）根据已知条件，建立关于的方程组；（3）解方程组。
求出的值，并把它们代人所设的方程中去，就得到所求圆的一般方程．
二：
点与圆的位置关系的判断方法，，：
若，则点P在圆上；若,则点P在圆外；若,则点P在圆内；
三：
直线与圆的位置关系判断方法：
（1）几何法：
由圆心到直线的距离d和圆r的半径的大小关系来判断。
（1）相交
（2）相切（3）相离
适用于已知直线和圆的方程判断二者关系，也适用于其中有参数，对参数
谈论的问题。
利用这种方法，可以简单的算出直线与圆相交时的相交弦的长，以及当直线与
圆相离时，圆上的点到直线的最远、最近距离等。
（2）代数法：
由直线与圆的方程联立消元得到,然后由判别式△来判断。
（1）相交
（2）相切（3）相离
利用这种方法，可以很简单的求出直线与圆有交点时的交点坐标。
四：
圆与圆的位置关系判断方法：
（1）几何法：
两圆的连心线长为，圆的半径与圆的半径，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
1）当时，圆与圆相离；2）当时，圆与圆外切；
3）当时，圆与圆相交；4）当时，圆与圆内切；
5）当时，圆与圆内含；
（2）代数法：
由两圆的方程联立得到关于x或y的一元二次方程,然后由判别式△来判断。
△=0为外切或内切，△>0为相交，△<0为相离或内含。
若两圆相交，两圆
方程相减得公共弦所在直线方程。
五：
直线与圆的方程的应用：
利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系。
典型例题与练习：
类型一：
求圆的方程
例1：
已知一圆经过点A（2，－3）和B（－2，－5），且圆心C在直线l：
上，求此圆的标准方程（三种方法求解）。
类型二：
轨迹方程与切线方程
例2：
已知点P（10，0），Q为圆上一点动点，当Q在圆上运动时，求PQ的中点M的轨迹方程（参照课本例题求解，答案：
）。
例题3：
求由下列条件所决定圆的圆的切线方程：
（1）经过点，
（2）经过点，（3）斜率为。
（参照成才之路P85页）
结论：
已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M（x0,y0）的切线方程（答案）。
类型三：
直线与圆、圆与圆的位置关系
例题4：
已知直线，直线以及上一点．求圆心在
上且与直线相切于点的圆的方程．
例题5：
一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2，求此圆的方程.
例6：
求经过两圆（x+3）2+y2=13和x2+（y+3）2=37的交点，且圆心在直线x－y－4=0上的圆的方程.
例7：
已知圆C：
（x－1）2＋（y－2）2＝25，直线l：
（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）.
（1）证明：
不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.
类型四：
弦长问题
例8：
已知圆C：
内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点.
（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；
（2）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；
（3）当直线l的倾斜角为45º时，求弦AB的长.
类型五：
对称问题与距离最值问题
例9：
一束光线l自A（－3，3）发出，射到x轴上，被x轴反射到⊙C：
x2＋y2－4x－4y＋7＝0上．
（1）求反射线通过圆心C时，光线l的方程；
（2）求在x轴上，反射点M的范围．
例题10：
已知实数x、y满足方程x2+y2－4x+1=0.求
（1）的最大值和最小值；
（2）y－x的最小值；（3）x2+y2的最大值和最小值.
精选精练：
一、选择题
1圆：
和圆：
交于两点，则的垂直平分线的方程是（）
A.BCD
2方程表示的曲线是（）
A一个圆B两个半圆C两个圆D半圆
3已知圆：
及直线，当直线被截得的弦长为时，则（）
ABCD
4圆的圆心到直线的距离是（）
A B C D
5直线截圆得的劣弧所对的圆心角为（）
ABCD
6圆上的点到直线的距离的最小值是（）
A6B4C5D1
7两圆和的位置关系是（）
A相离B相交C内切D外切
8直线与圆交于两点，则（是原点）的面积为（）
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
9直线过点，与圆有两个交点时，斜率的取值范围是（）
A BC D
10已知圆C的半径为，圆心在轴的正半轴上，直线与圆C相切，则
圆C的方程为（）
AB
CD
11若过定点且斜率为的直线与圆在第一象限内的部分有交点，则的取值范围是（）
ABCD
12设直线过点，且与圆相切，则的斜率是（ ）
ABCD
二、填空题
1若点在轴上，且，则点的坐标为
2若曲线与直线始终有交点，则的取值范围是___________；
若有一个交点，则的取值范围是________；若有两个交点，则的取值范围是_______；
3已知圆的方程为，过点的直线与圆交于两点，若使最小，则直线的方程是________________
4如果实数满足等式，那么的最大值是________
5过圆外一点，引圆的两条切线，切点为，则直线的方程为________
6直线被曲线所截得的弦长等于
7圆：
的外有一点，由点向圆引切线的长______
8．对于任意实数，直线与圆的位置关系是
9动圆
的圆心的轨迹方程是
10为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为_______
必修②第四章圆与方程复习提纲答案
例题1：
解：
因为A（2，－3），B（－2，－5），
所以线段AB的中点D的坐标为（0，－4），
又，所以线段AB的垂直
平分线的方程是．
联立方程组，解得．
所以，圆心坐标为C（－1，－2），半径
，
所以，此圆的标准方程是．
例题4：
解：
设圆心为，半径为，依题意，.设直线的斜率，过两点的直线斜率，因，故，∴，解得.
.所求圆的方程为
.
例题5：
解：
因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上，故设圆方程为（x－3b）2+（y－b）2=9b2.
又因为直线y=x截圆得弦长为2，则有（）2+（）2=9b2，解得b=±1.故所求圆方程为（x－3）2+（y－1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9.
评述：
在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：
（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；
（2）根据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得a、b、r或D、E、F（3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数.
例题6：
剖析：
根据已知，可通过解方程组
得圆上两点，
（x+3）2+y2=13，
x2+（y+3）2=37
由圆心在直线x－y－4=0上，三个独立条件，用待定系数法求出圆的方程；
也可根据已知，设所求圆的方程为（x+3）2+y2－13+λ［x2+（y+3）2－37］=0，再由圆心在直线x－y－4=0上，定出参数λ，得圆方程.
解：
因为所求的圆经过两圆（x+3）2+y2=13和x2+（y+3）2=37的交点，
所以设所求圆的方程为（x+3）2+y2－13+λ［x2+（y+3）2－37］=0.
展开、配方、整理，得（x+）2+（y+）2=+.
圆心为（－，－），代入方程x－y－4=0，得λ=－7.
故所求圆的方程为（x+）2+（y+）2=.
评述：
圆C1：
x2+y2+D1x+E1y+F1=0，圆C2：
x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若圆C1、C2相交，那么过两圆公共点的圆系方程为（x2+y2+D1x+E1y+F1）+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（λ∈R且λ≠－1）.它表示除圆C2以外的所有经过两圆C1、C2公共点的圆.
特别提示
在过两圆公共点的图象方程中，若λ=－1，可得两圆公共弦所在的直线方程.
例题7：
剖析：
直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得.
（1）证明：
l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0.
得
∵m∈R，∴
2x+y－7=0，x=3，
x+y－4=0，y=1，
即l恒过定点A（3，1）.∵圆心C（1，2），｜AC｜＝＜5（半径），
∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.
（2）解：
弦长最小时，l⊥AC，由kAC＝－，
∴l的方程为2x－y－5=0.评述：
若定点A在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？
例题8：
解：
（1）已知圆C：
的圆心为C（1，0），因直线过点P、C，所以直线l的斜率为2，直线l的方程为y=2（x-1）,即2x-y-20.
（2）当弦AB被点P平分时，l⊥PC,直线l的方程为,即x+2y-6=0
（3）当直线l的倾斜角为45º时，斜率为1，直线l的方程为y-2=x-2,即x-y=0圆心C到直线l的距离为，圆的半径为3，弦AB的长为
例题9：
解：
⊙C：
（x－2）2＋（y－2）2＝1
（Ⅰ）C关于x轴的对称点C′（2，－2），过A，C′的方程：
x＋y＝0为光线l的方程．
（Ⅱ）A关于x轴的对称点A′（－3，－3），设过A′的直线为y＋3＝k（x＋3），当该直线与⊙C相切时，
有或
∴过A′，⊙C的两条切线为
令y＝0，得
∴反射点M在x轴上的活动范围是
例题10：
解：
（1）如图，方程x2+y2－4x+1=0表示以点（2，0）为圆心，以为半径的圆.
设=k，即y=kx，由圆心（2，0）到y=kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.由=，解得k2=3.所以kmax=，kmin=－.（也可由平面几何知识，有OC=2，OP=，∠POC=60°，直线OP的倾斜角为60°，直线OP′的倾斜角为120°解之）
（2）设y－x=b，则y=x+b，仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时，纵轴截距b取最小值.由点到直线的距离公式，得=，即b=－2±，故（y－x）min=－2－.
（3）x2+y2是圆上点与原点距离之平方，故连结OC，与圆交于B点，并延长交圆于C′，则（x2+y2）max=｜OC′｜=2+，（x2+y2）min=｜OB｜=2－.
精选精练
一、选择题
1C由平面几何知识知的垂直平分线就是连心线
2B对分类讨论得两种情况
3C
4A
5C直线的倾斜角为，得等边三角形
6B
7B
8D弦长为，
9C，相切时的斜率为
10D设圆心为
11A圆与轴的正半轴交于
12D得三角形的三边，得的角
二、填空题
1设则
2；；曲线代表半圆
3当时，最小，
4设
，
另可考虑斜率的几何意义来做
5设切点为，则的方程为
的方程为，则
6，
7
8相切或相交
；另法：
直线恒过，而在圆上
9圆心为
，令
10
2019-2020年高中数学等差数列的教学设计教案
设计思想：
本节借助多媒体辅助手段，创设问题的情境，让探究式教学走进课堂，保障学生的主体地位，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，塑造学生的主体人格，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新。
一、教材分析：
1、教学内容：
高中数学必修第五模块第二章第二节，等差数列，两课时内容，本节是第一课时，研究等差数列的定义、通项公式的推导，借助生活中丰富的典型实例，让学生通过分析、推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义和通项公式。
2、教学地位:
本节是第二章的基础，为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础，是本章的重点内容。
在高考中也是重点考察内容之一，并且在实际生活中有着广泛的应用，它起着承前启后的作用。
同时也是培养学生数学能力的良好题材。
等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。
3、教学重点：
理解等差数列概念，探索并掌握等差数列的通项公式，会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的关系。
4、教学难点：
对等差数列概念的理解及从函数、方程角度理解通项公式，概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。
二、学习者分析：
高二学生已经具有一定的理性分析能力和概括能力，且对数列的知识有了初步的接触和认识，对数学公式的运用已具备一定的技能，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻。
他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展，但仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。
三、教学目标：
1、知识目标：
理解等差数列定义，掌握等差数列的通项公式。
2、能力目标：
培养学生观察、归纳能力，在学习过程中，体会数形结合思想、归纳思想和化归思想并加深认识；通过概念的引入与通项公式的推导，培养学生分析探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力。
3、情感目标:
①通过个性化的学习增强学生的自信心和意志力。
②通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识。
③体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，培养学生勇于创新的科学精神。
四、教法和学法的分析：
1、通过探究式教学方法充分利用现实情景，尽可能的增加教学过程的趣味性、实践性。
利用多媒体课件和实例等丰富学生的学习资源，强调学生动手操作试验和主动参与，在教师的启发指导下，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而使学生即获得知识又发展智能的目的。
2、在学法上，引导学生多角度，多层面认识事物，学会探究。
教师是学生的学习的组织者、促进着、合作者，在本节课的备课和教学过程中，为学生的动手实践，自主探索与合作交流的机会搭建平台，鼓励学生提出自己的见解，学会提出问题解决问题，通过恰当的教学方式让学生学会自我调适，自我选择。
五、教学媒体和教学技术的选用
多媒体计算机和几何画板
通过计算机模拟演示，使学生获得感性知识的同时，为掌握理性知识创造条件，这样做，可以使学生有兴趣地学习，注意力也容易集中，符合教学论中的直观性原则和可接受性原则。
本节课打破传统的一言堂的格局代之以人为本、民主、开放、特色和建立在信息网络平台上的现代教学格局。
六、教学程序：
（一）设置问题，引导发现形成概念
师：
看大屏幕。
情景1（播放奥运会女子举重场面）
xx年北京奥运会，女子举重共设置7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：
kg）：
48，53，58，63
情景2水库的管理员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。
如果一个水库的水位18m，自然放水每天水位下降2.5m，最低降至5m。
那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：
m）
18，15.5，13，10．5，8，5．5
情景3我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。
按照单利计算本利和的公式是：
本利和=本金（1+利率存期）
时间
年初本金（元）
年末本利和（元）
第1年
10000
10072
第2年
10000
10144
第3年
10000
10216
第4年
10000
10288
第5年
10000
10360
例如，按活期存入10000元，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末本利和分别是：
如下表（假设5年既不加存款也不取款，且不扣利息税）
各年末本利和（单位：
元）
10072，10144，10216，10288，10360
师：
思考上述各组数据反映了什么样的信息？
每行数有何共同特点？
请同学们互相讨论。
（学生纷纷议论，有的几个人在一起商量）
（从宏观上:
情景1让学生体验成功申办奥运会的喜悦心情，激发勇于拼搏的坚强意志；情景2让学生认识到保护水资源，保护生态平衡的意识；情景3倡导节约意识，纳税意识。
）
从微观上，数学研究的对象是数，我们抛开具体的背景，从表格中抽象出一般数列。
48
53
58
63
18
15.5
13
10.5
8
5.5
10072
10144
10216
10288
10360
师：
（启发学生）你能用数学语言来描述上述数列的共同特征吗？
学生1：
后一项与它的前一项的差等于常数。
师：
反例：
1，3，5，6，12，这样的数列特征和上述数列的特征一样吗？
学生1：
不一样，要加上同一个常数。
学生2：
每一项与它的前一项的差等于同一个常数。
师：
反例：
1，3，4，5，6，7，这样的数列特征和上述数列的特征一样吗？
学生2：
不一样，必须从第二项开始。
学生3：
从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。
（教师把学生的回答写在黑板上，通过反例，使学生深刻理解几组数列的共同特征：
①同一个常数；②从第二项起）
师：
能不能用数学语言表示？
学生4：
师：
等价吗？
学生4：
应加上（d是常数）,.
（让学生充分讨论，注意文字语言与数学符号语言的转化的严谨性）
师：
对式子进行变形可得
。
这样的数列在生活中的例子，谁能再举几个？
学生5：
某剧场前8排的座位数分别是
52，50，48，46，44，42，40，38.
学生6：
全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码分别是
21，21.5,22,22.5,23,23.5,24,24.5,25
学生7：
马路边的路灯，相邻两盏之间的距离构成的数列。
师：
如何用数列表示？
学生8：
设相邻两盏之间的距离为a,该数列为
a,a,a,a,……，为常数列，即常数列都具有这种特征。
（让学生举例，加深感性认识）
师：
满足这种特征的数列很多，我们有必要为这样的数列取一个名字？
学生（共同）：
等差数列。
师：
（学生叙述，板书定义）
一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，d为公差，a1为数列的首相。
提出课题《等差数列》
对定义进行分析，强调：
①同一个常数；②从第二项起。
注意对概念严谨性的分析。
师：
回到表格中，分别说出它们的公差。
学生9:
依次是d=7,d=1,d=8,d=-6,d=5,d=-2.5,d=72.
师：
在计算年末本利和的问题中求时，能不能不按本利和=本金（1+利率存期）
求而按数列的特征求呢？
学生：
若能求得通项公式，问题就很好解决。
（再提出问题，引导发现求通项公式的必要性）
（二）启发、引导推出等差数列的通项公式
师：
把问题推广到一般情况。
若一个数列是等差数列，它的公差是d，那么数列的通项公式是什么？
启发学生：
（归纳、猜想）可用首相与公差表示数列中任意一项。
学生10：
即：
即：
即：
……
由此可得：
师：
从第几项开始归纳的？
学生10：
第二项，所以n≥2。
师：
n=1时呢？
学生10：
当n=1时，等式也是成立，因而等差数列的通项公式
（n∈N*）
师：
很好!
（归纳、猜想，培养学生合理的推理能力）还有没有其他的推导方法？
学生11：
还可用下面的方法归纳：
当n=1时，等式也是成立，因而等差数列的通项公式
（n∈N*）
师：
我们把这种方法称为迭代法。
大家按照该同学的思路推导一下。
（把一个学生推导的情况用投影仪投在大屏幕上）还有其他的推导方法吗？
（学生面露难色）
启发：
看方法一的第一个式子
有何规律？
学生12：
可以用累加的方法，左边累加后得，右边累加的d+d+d+…….+d共n-1个即
=d+d+d+…….+d，=（n-1）d，
师：
总结通项公式的推导方法：
递推归纳法；迭代归纳法；累差法。
共同特点：
利用观察、归纳、猜想的数学思想方法，它的合理性在以后学习的数学归纳法中可以得到证明。
注意两点：
1、对通项公式进行分析，通项公式中含有四个量，其中为基本量，当确定后，通项公式就确定了。
若已知三个量，可用方程的思想求第四个量（即知三求一）。
2、对通项公式变形，对任意的p、q∈N+。
在等差数列中，有
ap=a1+（p-1）d①
aq=a1+（q-1）d②
①-②有ap-aq=（p-q）d，
∴ap=aq+（p-q）d
其中p,q关系可以有p＞q，p=q，p＜q。
通项公式的变形式ap=aq+（p-q）d，请同学记熟，它在解题过程中经常被应用。
（三）通项公式的应用
大屏幕给出例题，由学生代表讲解
例1：
（1）求等差数列8，5，2…的第20项
解：
由a1=8，d=5-8=-3，n=20，等差数列的通项公式得
a20=8+（20-1）×（-3）=-49
（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？
如果是，是第几项？
解：
由
得数列通项公式为：
由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-5-4（n-1）成立，解之得n=100，即-401是这个数列的第100项。
（方程思想的运用）
例2、已知数列的通项公式为an=pn+q，其中p，q是常数，且p≠0，那么这种数列是否一定是等差数列？
如果是，其首项与公差是什么？
师：
如何分析题意？
学生13：
由等差数列定义，要判定{an}是不是等差数列，只要看an-an-1（n≥2）是不是一个与n无关的常数就行了。
（学生叙述，教师板书）
解：
取数列{an}中的任意相邻两项an-1与an（n≥2）。
∴an-an-1=（pn+q）-[p（n-1）+q]=（pn+q）-（pn-q+q）=p，
它是一个与n无关的常数，所以{an}是等差数列，且公差为p。
在通项公式中，令n=1得a1=p+q，所以这个等差数列的首项是p+q，公差是p。
师:
数列的通项公式给出的是an与n之间的一种关系，一个n都对应着一个an，这与我们以前学过的什么内容类似？
由本例得到什么结论？
（引发学生联想、归纳，学生很自然会想到一次函数）
学生14：
与一次函数内容类似，即an与n之间的关系是一次函数的关系；由本例的结论可知，如果an是关于n的一次函数，那么数列{an}是等差数列。
师:
本例题的逆命题，是否也成立？
请同学们课下自己完成证明。
它也可以作为证明数列{an}是等差数列的一种方法。
那么一次函数的图象有什么特点？
你能否作出等差数列的图象？
（四）通项公式的图象
在直角坐标系中作通项公式为an=3n-5的数列的图像，并观察图像有什么特点？
用几何画板作图显示为下图：
师:
由图归纳出等差数列通项公式的图象的特点。
学生14：
公差不为零的等差数列的图象是直线y=px+q上的均匀排开的一群孤立的点。
当p=0时，an=q，等差数列为常数列，此时数列的图象是平行x轴（或x轴）上的均匀公布的一群孤立点。
在大屏幕上打出如下幻灯片：
等差数列an=pn+q与一次函数y=px+q的比较
不同点
关连与相同点
等差数列
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