高中数学 第四章《圆与方程》复习教案 新人教A版必修2.docx

1、高中数学 第四章圆与方程复习教案 新人教A版必修22019-2020年高中数学 第四章圆与方程复习教案 新人教A版必修2 复习知识点： 一：圆的方程。（1）标准方程（几何式）： （圆心为A(a,b),半径为r） （2）圆的一般方程（代数式）：（） 圆心 半径 提示：求圆的方程的主要方法有两种：一是定义法，二是待定系数法。定义法是指用定义求出圆心坐标和半径长，从而得到圆的标准方程；待定系数法即列出关于的方程组，求而得到圆的一般方程，一般步骤为：(1)根据题意，设所求的圆的标准方程为(2)根据已知条件，建立关于的方程组；(3)解方程组。求出的值，并把它们代人所设的方程中去，就得到所求圆的一般方程二

2、：点与圆的位置关系的判断方法，：若 ，则点P在圆上；若 ,则点P在圆外；若 ,则点P在圆内；三：直线与圆的位置关系判断方法：（1）几何法：由圆心到直线的距离d和圆r的半径的大小关系来判断。(1) 相交 （2）相切 （3）相离 适用于已知直线和圆的方程判断二者关系，也适用于其中有参数，对参数谈论的问题。利用这种方法，可以简单的算出直线与圆相交时的相交弦的长，以及当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最远、最近距离等。（2）代数法：由直线与圆的方程联立消元得到 ,然后由判别式来判断。(1) 相交 （2）相切 （3）相离 利用这种方法，可以很简单的求出直线与圆有交点时的交点坐标。四：圆与圆的位置关系判断

3、方法：（1）几何法：两圆的连心线长为，圆的半径与圆的半径，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：1）当 时，圆与圆相离；2）当 时，圆与圆外切；3）当 时，圆与圆相交；4）当 时，圆与圆内切；5）当 时，圆与圆内含；（2）代数法：由两圆的方程联立得到关于x或y的一元二次方程, 然后由判别式来判断。=0为外切或内切，0为相交，0为相离或内含。若两圆相交，两圆方程相减得公共弦所在直线方程。五：直线与圆的方程的应用：利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系。 典型例题与练习： 类型一：求圆的方程例1：已知一圆经过点A（2，3）和B（2，5），且圆心C在直线l： 上，求此圆的标准方程（三种方法求解）

4、。类型二：轨迹方程与切线方程例2：已知点P（10，0），Q为圆上一点动点，当Q在圆上运动时，求PQ的中点M的轨迹方程（参照课本例题求解，答案：）。例题3：求由下列条件所决定圆的圆的切线方程：(1)经过点，(2)经过点，(3)斜率为。（参照成才之路P85页）结论：已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程（答案）。类型三：直线与圆、圆与圆的位置关系例题4：已知直线，直线以及上一点求圆心在上且与直线相切于点的圆的方程例题5：一圆与y轴相切，圆心在直线x3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2，求此圆的方程.例6： 求经过两圆（x+3）2+y2=13和x2+（y+3）2

5、=37的交点，且圆心在直线xy4=0上的圆的方程.例7： 已知圆C：（x1）2（y2）225，直线l：（2m+1）x+（m+1）y7m4=0（mR）.（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.类型四：弦长问题例8：已知圆C：内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点.(1)当l经过圆心C时，求直线l的方程；(2)当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；(3) 当直线l的倾斜角为45时，求弦AB的长.类型五：对称问题与距离最值问题例9：一束光线l自A（3，3）发出，射到x轴上，被x轴反射到C：x2y24x4y70上（1）求反射线通

6、过圆心C时，光线l的方程；（2）求在x轴上，反射点M的范围例题10：已知实数x、y满足方程x2+y24x+1=0.求（1）的最大值和最小值；（2）yx的最小值；（3）x2+y2的最大值和最小值.精选精练：一、选择题1 圆：和圆：交于两点，则的垂直平分线的方程是（ ）A. B C D 2 方程表示的曲线是（ ）A一个圆 B 两个半圆 C两个圆 D 半圆3已知圆：及直线，当直线被截得的弦长为时，则（ ）A B C D4 圆的圆心到直线的距离是（ ）AB C D 5 直线截圆得的劣弧所对的圆心角为（ ）A B C D 6 圆上的点到直线的距离的最小值是（ ）A 6 B 4 C 5 D 1 7两圆和的

7、位置关系是（ ）A 相离 B相交 C 内切 D外切8 直线与圆交于两点，则（是原点）的面积为（ ） 9 直线过点，与圆有两个交点时，斜率的取值范围是( )A B C D 10 已知圆C的半径为，圆心在轴的正半轴上，直线与圆C相切，则圆C的方程为（ ） A B C D 11 若过定点且斜率为的直线与圆在第一象限内的部分有交点，则的取值范围是（ ） A B C D 12设直线过点，且与圆相切，则的斜率是（ ）A B C D二、填空题1 若点在轴上，且，则点的坐标为 2若曲线与直线始终有交点，则的取值范围是_；若有一个交点，则的取值范围是_；若有两个交点，则的取值范围是_；3 已知圆的方程为，过点的

8、直线与圆交于两点，若使最小，则直线的方程是_ 4 如果实数满足等式，那么的最大值是_ 5 过圆外一点，引圆的两条切线，切点为，则直线的方程为_ 6 直线被曲线所截得的弦长等于 7 圆：的外有一点，由点向圆引切线的长_ 8 对于任意实数，直线与圆的位置关系是 9 动圆的圆心的轨迹方程是 10 为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为_ 必修 第四章 圆与方程复习提纲答案例题1：解：因为A（2，3），B（2，5），所以线段AB的中点D的坐标为（0，4）， 又 ，所以线段AB的垂直 平分线的方程是 联立方程组，解得 所以，圆心坐标为C（1，2），半径， 所以，此圆的标准方程是例题4：解：设圆心为，半

9、径为，依题意，.设直线的斜率，过两点的直线斜率，因，故，解得.所求圆的方程为.例题5：解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x3y=0上，故设圆方程为（x3b）2+（yb）2=9b2.又因为直线y=x截圆得弦长为2，则有（）2+（）2=9b2，解得b=1.故所求圆方程为（x3）2+（y1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9.评述：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）根据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得a、b、r或D、E、F（3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数.例题6：剖析：根据已知，可通过解方程组得圆上两

10、点，（x+3）2+y2=13，x2+（y+3）2=37 由圆心在直线xy4=0上，三个独立条件，用待定系数法求出圆的方程；也可根据已知，设所求圆的方程为（x+3）2+y213+x2+（y+3）237=0，再由圆心在直线xy4=0上，定出参数，得圆方程.解：因为所求的圆经过两圆（x+3）2+y2=13和x2+（y+3）2=37的交点，所以设所求圆的方程为（x+3）2+y213+x2+（y+3）237=0.展开、配方、整理，得（x+）2+（y+）2=+.圆心为（，），代入方程xy4=0，得=7.故所求圆的方程为（x+）2+（y+）2= .评述：圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，圆C2：

11、x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若圆C1、C2相交，那么过两圆公共点的圆系方程为（x2+y2+D1x+E1y+F1）+（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（R且1）.它表示除圆C2以外的所有经过两圆C1、C2公共点的圆.特别提示 在过两圆公共点的图象方程中，若=1，可得两圆公共弦所在的直线方程.例题7：剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得.（1）证明：l的方程（x+y4）+m（2x+y7）=0.得mR， 2x+y7=0， x=3，x+y4=0， y=1，即l恒过定点A（3，1）.圆心C（1，2），AC5（半径），点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.（2）解：弦长最小

12、时，lAC，由kAC，l的方程为2xy5=0.评述：若定点A在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？例题8：解：(1)已知圆C：的圆心为C（1，0），因直线过点P、C，所以直线l的斜率为2， 直线l的方程为y=2(x-1),即 2x-y-20.(2)当弦AB被点P平分时，lPC, 直线l的方程为, 即 x+2y-6=0(3)当直线l的倾斜角为45时，斜率为1，直线l的方程为y-2=x-2 ,即 x-y=0圆心C到直线l的距离为，圆的半径为3，弦AB的长为例题9：解： C：(x2)2(y2)21（）C关于x轴的对称点C(2，2)，过A，C的方程：xy0为光线l的方程（）A关于x轴的对称点A(3

13、，3)，设过A的直线为y3k(x3)，当该直线与C相切时， 有或 过A，C的两条切线为令y0，得 反射点M在x轴上的活动范围是例题10：解：（1）如图，方程x2+y24x+1=0表示以点（2，0）为圆心，以为半径的圆.设=k，即y=kx，由圆心（2，0）到y=kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.由=，解得k2=3.所以kmax=，kmin=.（也可由平面几何知识，有OC=2，OP=，POC=60，直线OP的倾斜角为60，直线OP的倾斜角为120解之）（2）设yx=b，则y=x+b，仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时，纵轴截距b取最小值.由点到直线的距离公式，得=，即b=2，

14、故（yx）min=2.（3）x2+y2是圆上点与原点距离之平方，故连结OC，与圆交于B点，并延长交圆于C，则（x2+y2）max=OC=2+，（x2+y2）min=OB=2.精选精练一、选择题1 C 由平面几何知识知的垂直平分线就是连心线2B 对分类讨论得两种情况 3 C 4A 5 C 直线的倾斜角为，得等边三角形6B 7 B 8 D 弦长为，9 C ，相切时的斜率为10D 设圆心为11 A 圆与轴的正半轴交于12 D 得三角形的三边，得的角 二、填空题1 设则2 ； 曲线代表半圆3 当时，最小， 4 设， 另可考虑斜率的几何意义来做5 设切点为，则的方程为的方程为，则6 ， 78 相切或相交

15、 ；另法：直线恒过，而在圆上9 圆心为，令 10 2019-2020年高中数学 等差数列的教学设计教案设计思想： 本节借助多媒体辅助手段，创设问题的情境，让探究式教学走进课堂，保障学生的主体地位，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，塑造学生的主体人格，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新。一、教材分析： 1、 教学内容： 高中数学必修第五模块第二章第二节，等差数列，两课时内容，本节是第一课时，研究等差数列的定义、通项公式的推导，借助生活中丰富的典型实例，让学生通过分析、推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义和通项公式。2、 教学地位: 本节是第二章的基础，为以后学习等差数

16、列的求和、等比数列奠定基础，是本章的重点内容。在高考中也是重点考察内容之一，并且在实际生活中有着广泛的应用，它起着承前启后的作用。同时也是培养学生数学能力的良好题材。等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。 3、 教学重点： 理解等差数列概念，探索并掌握等差数列的通项公式，会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的关系。4、 教学难点： 对等差数列概念的理解及从函数、方程角度理解通项公式，概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。二、学习者分析： 高二学生已经具有一定的理性分析能力和概括能力，且对数列的知识有了初步的接触

17、和认识，对数学公式的运用已具备一定的技能，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻。他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展，但仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。三、教学目标： 1、 知识目标：理解等差数列定义，掌握等差数列的通项公式。2、 能力目标： 培养学生观察、归纳能力，在学习过程中，体会数形结合思想、归纳思想和化归思想并加深认识；通过概念的引入与通项公式的推导，培养学生分析探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力。3、 情感目标:通过个性化的学习增强学生的自信心和意志力。通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动

18、与他人合作交流的意识。体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，培养学生勇于创新的科学精神。四、教法和学法的分析：1、 通过探究式教学方法充分利用现实情景，尽可能的增加教学过程的趣味性、实践性。利用多媒体课件和实例等丰富学生的学习资源，强调学生动手操作试验和主动参与，在教师的启发指导下，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而使学生即获得知识又发展智能的目的。2、 在学法上，引导学生多角度，多层面认识事物，学会探究。教师是学生的学习的组织者、促进着、合作者，在本节课的备课和教学过程中，为学生的动手实践，自主探索与合作交流的机会搭建平台，鼓励学生提出自己的见解，学会提出问题解决

19、问题，通过恰当的教学方式让学生学会自我调适，自我选择。五、教学媒体和教学技术的选用 多媒体计算机和几何画板通过计算机模拟演示，使学生获得感性知识的同时，为掌握理性知识创造条件，这样做，可以使学生有兴趣地学习，注意力也容易集中，符合教学论中的直观性原则和可接受性原则。本节课打破传统的一言堂的格局代之以人为本、民主、开放、特色和建立在信息网络平台上的现代教学格局。六、教学程序： （一）设置问题，引导发现形成概念师：看大屏幕。 情景1（播放奥运会女子举重场面）xx年北京奥运会，女子举重共设置7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）： 48，53，58，63情景2 水库的管理员为了保证优

20、质鱼类有良好的生活环境，定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位18m，自然放水每天水位下降2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m） 18，15.5，13，105，8，55情景3 我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是： 本利和=本金（1+利率存期）时间年初本金（元）年末本利和（元）第1年1000010072第2年1000010144第3年1000010216第4年1000010288第5年1000010360例如，按活期存入10000元，年利

21、率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末本利和分别是：如下表（假设5年既不加存款也不取款，且不扣利息税）各年末本利和（单位：元） 10072，10144，10216，10288，10360师：思考上述各组数据反映了什么样的信息？每行数有何共同特点？请同学们互相讨论。（学生纷纷议论，有的几个人在一起商量） （从宏观上 : 情景1 让学生体验成功申办奥运会的喜悦心情，激发勇于拼搏的坚强意志；情景2让学生认识到保护水资源，保护生态平衡的意识；情景3 倡导节约意识，纳税意识。）从微观上，数学研究的对象是数，我们抛开具体的背景，从表格中抽象出一般数列。485358631815.51310.585.51

22、007210144102161028810360师：（启发学生）你能用数学语言来描述上述数列的共同特征吗？学生1：后一项与它的前一项的差等于常数。师：反例：1，3，5，6，12，这样的数列特征和上述数列的特征一样吗？学生1：不一样，要加上同一个常数。学生2：每一项与它的前一项的差等于同一个常数。 师：反例：1，3，4，5，6，7，这样的数列特征和上述数列的特征一样吗？学生2：不一样，必须从第二项开始。学生3：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。（教师把学生的回答写在黑板上，通过反例，使学生深刻理解几组数列的共同特征：同一个常数；从第二项起）师：能不能用数学语言表示？学生4： 师：

23、等价吗？学生4：应加上（d是常数）,.(让学生充分讨论，注意文字语言与数学符号语言的转化的严谨性)师：对式子进行变形可得。 这样的数列在生活中的例子，谁能再举几个？学生5：某剧场前8排的座位数分别是 52，50，48，46，44，42，40，38.学生6：全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码分别是21，21.5 ,22 ,22.5 ,23 ,23.5 ,24 ,24.5 ,25学生7：马路边的路灯，相邻两盏之间的距离构成的数列。师：如何用数列表示？学生8：设相邻两盏之间的距离为a,该数列为 a,a,a,a,，为常数列，即常数列都具有这种特征。（让学生举例，加深感性认识）师：满足这种特征的数列很多，

24、我们有必要为这样的数列取一个名字？学生（共同）：等差数列。师：（学生叙述，板书定义） 一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，d为公差，a1为数列的首相。提出课题等差数列对定义进行分析，强调：同一个常数；从第二项起。注意对概念严谨性的分析。师：回到表格中，分别说出它们的公差。学生9:依次是d=7,d=1,d=8,d=-6,d=5,d=-2.5,d=72.师：在计算年末本利和的问题中求时，能不能不按本利和=本金（1+利率存期）求而按数列的特征求呢？学生：若能求得通项公式，问题就很好解决。（再提出问题，引导发现求通项公式的必要性）（二）启发、

25、引导推出等差数列的通项公式师：把问题推广到一般情况。若一个数列是等差数列，它的公差是d，那么数列的通项公式是什么？ 启发学生：（归纳、猜想）可用首相与公差表示数列中任意一项。学生10：即：即：即：由此可得： 师：从第几项开始归纳的？学生10：第二项，所以n2。师：n=1时呢？学生10：当n=1时，等式也是成立，因而等差数列的通项公式 （nN*）师：很好!（归纳、猜想，培养学生合理的推理能力）还有没有其他的推导方法？学生11：还可用下面的方法归纳：当n=1时，等式也是成立，因而等差数列的通项公式 （nN*）师：我们把这种方法称为迭代法。大家按照该同学的思路推导一下。（把一个学生推导的情况用投影仪

26、投在大屏幕上）还有其他的推导方法吗？（学生面露难色）启发：看方法一的第一个式子 有何规律？学生12：可以用累加的方法，左边累加后得，右边累加的d+d+d+.+d共n-1个即=d+d+d+.+d ，=（n-1）d ，师：总结通项公式的推导方法：递推归纳法；迭代归纳法；累差法。共同特点：利用观察、归纳、猜想的数学思想方法，它的合理性在以后学习的数学归纳法中可以得到证明。注意两点：1、对通项公式进行分析，通项公式中含有四个量，其中为基本量，当确定后，通项公式就确定了。若已知三个量，可用方程的思想求第四个量（即知三求一）。2、对通项公式变形，对任意的p、qN+。在等差数列中，有ap=a1+(p-1)d

27、 aq=a1+(q-1)d -有ap-aq=(p-q)d，ap=aq+(p-q)d其中p,q关系可以有pq，p=q，pq。通项公式的变形式ap=aq+(p-q)d，请同学记熟，它在解题过程中经常被应用。（三）通项公式的应用大屏幕给出例题，由学生代表讲解例1：（1）求等差数列8，5，2的第20项解：由a1=8，d=5-8=-3，n=20，等差数列的通项公式得a20=8+（20-1）（-3）=-49（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13的项？如果是，是第几项？解：由得数列通项公式为：由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-5-4（n-1）成立，解之得n=100，即-401

28、是这个数列的第100项。（方程思想的运用）例2、已知数列的通项公式为an=pn+q，其中p，q是常数，且p0，那么这种数列是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差是什么？师：如何分析题意？学生13：由等差数列定义，要判定an是不是等差数列，只要看an-an-1（n2）是不是一个与n无关的常数就行了。 （学生叙述，教师板书）解：取数列an中的任意相邻两项an-1与an（n2）。an-an-1=(pn+q)-p(n-1)+q=(pn+q)-(pn-q+q)=p，它是一个与n无关的常数，所以an是等差数列，且公差为p。在通项公式中，令n=1得a1=p+q，所以这个等差数列的首项是p+q，公差是p。师

29、: 数列的通项公式给出的是an与n之间的一种关系，一个n都对应着一个an，这与我们以前学过的什么内容类似？由本例得到什么结论？（引发学生联想、归纳，学生很自然会想到一次函数）学生14：与一次函数内容类似，即an与n之间的关系是一次函数的关系；由本例的结论可知，如果an是关于n的一次函数，那么数列an是等差数列。 师:本例题的逆命题，是否也成立？请同学们课下自己完成证明。它也可以作为证明数列an是等差数列的一种方法。那么一次函数的图象有什么特点？你能否作出等差数列的图象？ （四）通项公式的图象在直角坐标系中作通项公式为an=3n-5的数列的图像，并观察图像有什么特点？用几何画板作图显示为下图：师:由图归纳出等差数列通项公式的图象的特点。学生14：公差不为零的等差数列的图象是直线y=px+q上的均匀排开的一群孤立的点。当p=0时，an=q，等差数列为常数列，此时数列的图象是平行x轴（或x轴）上的均匀公布的一群孤立点。在大屏幕上打出如下幻灯片：等差数列an=pn+q与一次函数y=px+q的比较不同点关连与相同点等差数列