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abaqus系列教程08非线性
这一章讨论在ABAQUS中的非线性结构分析。
在线性与非线性分析之间的区别概述如下。
线性分析
到目前为止所讨论的分析均为线性分析：
在外加载荷与系统的响应之间为线性关系。
例如，如果一个线性弹簧在10N的载荷作用下静态地伸长1ｍ，那么当施加20N的载荷时它将伸长2ｍ。
这意味着在ABAQUS/Standard的线性分析中，结构的柔度陈（将刚度阵集成并求逆）只需计算一次。
通过将新的载荷向量乘以刚度阵的逆，可得到结构对其它载荷情况的线性响应。
此外，结构对各种载荷情况的响应，可以用常数放大和/或相互叠加，以确定它对一种全新载荷情况的响应，所提供的新载荷情况是前面各种载荷的叠加（或相乘）。
这种载荷的叠加原理假定所有的载荷情况是采用了相同的边界条件。
在线性动态模拟中，ABAQUS/Standard也使用了载荷叠加原理，我们已在第7章“线性动态分析”中进行了讨论。
非线性分析
非线性结构问题是指结构的刚度随其变形而改变的问题。
所有的物理结构均是非线性的。
线性分析只是一种方便的近似，它对设计来说通常是足够的。
但是很显然，对于许多结构包括加工过程的模拟，诸如锻造或者冲压；碰撞分析；以及橡胶部件的分析，诸如轮胎或者发动机支座，线性分析是不够的。
一个简单的例子就是具有非线性刚度响应的弹簧（见图8-1）。
图8-1线性和非线性弹簧特性
由于刚度现在是依赖于位移，所以不能再用初始柔度乘以外加载荷的方法来计算任意载荷时弹簧的位移了。
在非线性隐式分析中，结构的刚度阵在整个分析过程中必须进行许多次的生成和求逆，这使得分析求解的成本比线性隐式分析昂贵得多。
在显式分析中，非线性分析增加的成本是由于稳定时间增量减小而造成的。
在第9章“非线性动态分析”中将进一步讨论稳定时间增量。
由于非线性系统的响应不是所施加载荷值的线性函数，因此不可能通过叠加来获得不同载荷情况的解答。
每种载荷情况都必须作为独立的分析进行定义和求解。
8.1非线性的来源
在结构力学模拟中有三种非线性的来源：
●材料非线性
●边界非线性
●几何非线性
8.1.1材料非线性
这种非线性可能是人们最熟悉的，我们将在第10章“材料”中进行更深入的讨论。
大多数金属在低应变值时都具有良好的线性应力/应变关系；但是在高应变时材料发生屈服，此时材料的响应成为了非线性和不可逆的（见图8-2）。
图8-2弹－塑性材料轴向拉伸的应力－应变曲线
橡胶材料可以用一种非线性、可逆（弹性）响应的材料来近似（见图8-3）。
图8-3橡胶类材料的应力－应变曲线
材料的非线性也可能与应变以外的其它因素有关。
应变率相关材料数据和材料失效都是材料非线性的形式。
材料性质也可以是温度和其它预先定义的场变量的函数。
8.1.2边界非线性
如果边界条件在分析过程中发生变化，就会产生边界非线性问题。
考虑图8-4所示的悬臂梁，它随着施加的载荷产生挠曲，直至碰到障碍物。
图8-4将碰到障碍物的悬臂梁
梁端点在接触到障碍物以前，其竖向挠度与载荷成线性关系（如果挠度是小量）。
当碰到障碍物时梁端点的边界条件发生了突然的变化，阻止了任何进一步的竖向挠度，因此梁的响应将不再是线性的。
边界非线性是极度的不连续；当在模拟中发生接触时，在结构中的响应是很大的并且是瞬时变化的。
另一个边界非线性的例子是将板材材料冲压入模具的过程。
在与模具接触前，板材在压力下比较容易发生伸展变形。
在与模具接触后，由于边界条件的改变，必须增加压力才能使板材继续成型。
在第12章“接触”中将讨论边界非线性。
8.1.3几何非线性
非线性的第三种来源是与在分析中模型的几何形状改变相联系的。
几何非线性发生在位移的大小影响到结构响应的情况。
这可能是由于：
●大挠度或大转动。
●“突然翻转”（Snapthrough）。
●初应力或载荷刚性化。
例如，考虑在端部竖向加载的悬臂梁（见图8-5）。
图8-5悬臂梁的大挠度
如果端部的挠度较小，可以认为是近似的线性分析。
然而，如果端部的挠度较大，结构的形状乃至于其刚度都会发生改变。
另外，如果载荷不能保持与梁垂直，载荷对结构的作用将发生明显的改变。
当悬臂梁挠曲时，载荷的作用可以分解为一个垂直于梁的分量和一个沿梁长度方向的分量。
这两种效应都会贡献到悬臂梁的非线性响应中（即，随着梁承受载荷的增加，梁的刚度发生变化）。
我们希望大挠度和大转动对结构承载的方式会产生显著的影响。
然而，并非位移相对于结构尺寸很大时，几何非线性才显得重要。
考虑一块很大的具有浅曲率的板，如图8-6所示，在所受压力下的“突然翻转”。
图8-6大板的突然翻转
在此例子中，板的刚度在变形时会产生剧烈的变化。
当板突然翻转时，刚度变成为负的。
这样，尽管位移的量值相对于板的尺寸是很小，但是有明显的几何非线性，必须在模拟中加以考虑。
8.2非线性问题的求解
关于结构的非线性载荷－位移曲线，如图8-7所示，分析的目标是确定其响应。
考虑作用在物体上的外部力P和内部（节点）力I,（分别见图8-8（a）和图8-8（b））。
由包含一个节点的各个单元中的应力引起了作用于该节点上的内部力。
图8-7非线性载荷－位移曲线
（a）在模拟中的外部载荷（b）作用于节点上的内部力
图8-8物体上的外部载荷和内部作用力
为了使物体处于静态平衡，作用在每个节点上的静力必须为零。
因此，静态平衡的基本状态是内部力I和外部力P必须互相平衡：
ABAQUS/Standard应用Newton-Raphson算法获得非线性问题的解答。
在非线性分析中，不能像在线性问题中做的那样，通过求解单一系统的方程计算求解。
而是和增量地施加给定的载荷求解，逐步地获得最终的解答。
因此，ABAQUS/Standard将模拟划分为一定数量的载荷增量步（loadincrements），并在每个载荷增量步结束时寻求近似的平衡构形。
对于一个给定的载荷增量步，ABAQUS/Standard通常需要采取若干次迭代才能确定一个可接受的解答。
所有这些增量响应的总和就是非线性分析的近似解答。
因此，为了求解非线性问题，ABAQUS/Standard组合了增量和迭代过程。
通过显式地从上一个增量步前推出动力学状态而无需进行迭代，ABAQUS/Explicit确定了动平衡方程
的解答。
显式地求解一个问题，不需要切向刚度矩阵的计算。
显式中心差分算子满足了在增量步开始时刻t的动力学平衡方程；利用在时刻t计算的加速度，前推出在时刻
的速度解答和在时刻
的位移解答。
对于线性和非线性问题是相似的，显式方法都需要一个小的时间增量步，它只依赖于模型的最高阶自振频率，而是与载荷的类型和加载时间无关。
典型的模拟需要大量的增量步；然而事实上，由于在每个增量步中无需求解全体方程的集合，所以每一个增量步的计算成本，显式方法比隐式方法要小得多。
正是显式动态方法的小增量步特点，使得ABAQUS/Explicit非常适合于非线性分析。
8.2.1分析步、增量步和迭代步
本节将引入一些新词汇以描述分析过程的不同部分。
清楚地理解在分析步（step）、载荷增量步（loadincrement）和迭代步（iteration）相互之间的区别是很重要的。
●模拟计算的加载历史包含一个或多个步骤。
你定义的分析步，一般地包括一个分析过程选项、载荷选项和输出要求选项。
在每个分析步可以应用不同的载荷、边界条件、分析过程选项和输出要求。
例如：
●步骤一：
在刚性夹具上夹持板材。
●步骤二：
加载使板材变形。
●步骤三：
确定已变形板材的固有频率。
●增量步是分析步的一部分。
在非线性分析中，施加在一个分析步中的总载荷被分解成更小的增量步，这样就可以按照非线性求解步骤进行计算。
在ABAQUS/Standard中，你可以建议第一个增量步的大小。
ABAQUS/Standard会自动地选择后继增量步的大小。
在ABAQUS/Explicit中，时间增量步是完全地自动默认的，而无需用户干预。
由于显式方法是条件稳定的，对于时间增量步具有稳定极限值。
在第9章“非线性显式动态分析”中将讨论稳定时间增量。
在每个增量步结束时，结构是处于（近似的）平衡状态，并且可以将结果写入输出数据库、重启动、数据、或者结果文件中。
如果选择在某一增量步将计算结果写入输出数据库文件，这个增量步称为画框（frames）。
●在ABAQUS/Standard和在ABAQUS/Explicit的分析中，与时间增量有关的问题是非常不同的，原因是在ABAQUS/Explicit中的时间增量通常是更小一些。
●当采用隐式方法求解时，迭代步是在一个增量步中寻找平衡解答的一次试探。
在迭代结束时，如果模型不是处于平衡状态，ABAQUS/Standard将进行新一轮迭代。
经过每一次迭代，ABAQUS/Standard获得的解答应当是更加接近于平衡状态；有时ABAQUS/Standard可能需要许多次迭代才能得到平衡解答。
当已经获得了平衡解答，增量步即告完成。
仅当一个增量步结束时才能输出所需要的结果。
●在一个增量步中，ABAQUS/Explicit无需迭代即可获得解答。
8.2.2ABAQUS/Standard中的平衡迭代和收敛
对于一个小的载荷增量∆P，结构的非线性响应如图8-9所示。
ABAQUS/Standard应用基于结构初始构形u0的结构初始刚度K0，和∆P计算关于结构的位移修正值（displacementcorrection）ca。
利用ca将结构的构形更新为ua。
图8-9在一个增量步中的首次迭代
收敛性（convergence）
ABAQUS/Standard基于结构更新的构形ua，形成了新的刚度Ka。
也利用更新的构形，ABAQUS/Standard计算内部作用力Ia。
现在可以计算在所施加的总载荷P和Ia之间的差为：
其中Ra是对于迭代的残差力（forceresidual）。
如果Ra在模型中的每个自由度上均为零，在图8-9中的a点将位于载荷－挠度曲线上，并且结构将处于平衡状态。
在非线性问题中，几乎不可能使Ra等于零，因此，ABAQUS/Standard将Ra与一个容许值进行比较。
如果Ra是小于这个残差力容许值，ABAQUS/Standard就接受结构的更新构形作为平衡的结果。
默认的容许值设置为在整个时间段上作用在结构上的平均力的0.5%。
在整个模拟过程中，ABAQUS/Standard自动地计算这个在空间和时间上的平均力。
如果Ra是比目前的容许值小，认为P和Ia是处于平衡状态，而ua就是结构在所施加载荷下有效的平衡构形。
但是，在ABAQUS/Standard接受这个结果之前，还要检查位移修正值ca是否相对小于总的增量位移，∆ua＝ua－u0。
若ca是大于增量位移的1%，ABAQUS/Standard将再进行一次迭代。
只有这两个收敛性检查都得到满足，才认为此载荷增量下的解是收敛的。
上述收敛判断规则有一个例外，即所谓线性增量情况。
若增量步内最大的作用力残差是小于时间上的平均力乘以10-8的任何增量步，将其定义为线性增量。
任何采用时间上平均力的情况，凡是通过了如此严格的最大作用力残差的比较，即被认为是线性的并不需要进一步的迭代，其位移修正值的解答无需进行任何检查即认为是可接受的。
如果迭代的结果不收敛，ABAQUS/Standard进行下一次迭代以试图使内部和外部的力达到平衡。
第二次迭代采用前面迭代结束时计算得到的刚度Ka，并与Ra共同来确定另一个位移修正值cb，使得系统更加接近于平衡状态（见在图8-10中的点b）。
图8-10第二次迭代
ABAQUS/Standard应用来自结构新的构形ub的内部作用力计算新的作用力残值Rb，再次将在任何自由度上的最大作用力残差值Rb与作用力容许残差值进行比较，并将第二次迭代的位移修正值cb与位移增量值∆ub＝ub–u0进行比较。
如果需要，ABAQUS/Standard将做进一步的迭代。
对于在非线性分析中的每次迭代，ABAQUS/Standard形成模型的刚度矩阵，并求解系统的方程组。
为了进行一次完整的线性分析，在计算成本上，这意味着每次迭代都是等价的。
现在必须非常清楚，在ABAQUS/Standard中的非线性分析的计算费用可能比线性分析远高许多倍。
应用ABAQUS/Standard可以在每一个收敛的增量步保存结果。
所以，对于同一个几何构型，来自非线性模拟计算的输出数据量是来自线性分析数据量的许多倍。
在规划你的计算机资源时，需要考虑这些因素和你所要进行的非线性模拟计算的类型。
8.2.3ABAQUS/Standard中的自动增量控制
ABAQUS/Standard自动地调整载荷增量步的大小，因此它能便捷而有效地求解非线性问题。
用户只需在每个分析步模拟中给出第一个增量步的值，然后，ABAQUS/Standard自动地调整后续增量步的值。
如果用户未提供初始增量步的值，ABAQUS/Standard会试图将该分析步中所定义的全部载荷施加在第一个增量步中。
在高度非线性的问题中，ABAQUS/Standard不得不反复减小增量步，从而导致占用了CPU时间。
一般来说，提供一个合理的初始增量步的值会有利于问题的求解（例如，见第8.4.1节“修改模型”）；只有在很平缓的非线性问题中才可能将分析步中的所有载荷施加于单一增量步中。
对于一个载荷增量，得到收敛解所需要的迭代步数量的变化取决于系统的非线性程度。
在默认情况下，如果经过16次迭代的解仍不能收敛或者结果显示出发散，ABAQUS/Standard放弃当前增量步，并将增量步的值设置为原来值的25%，重新开始计算。
利用比较小的载荷增量来尝试找到收敛的解答。
若此增量仍不能使其收敛，ABAQUS/Standard将再次减小增量步的值。
在中止分析之前，ABAQUS/Standard默认地允许至多五次减小增量步的值。
如果增量步在少于五次迭代时就达到了收敛，这表明相当容易地得到了解答。
因此，如果连续两个增量步都只需少于五次的迭代就可以得到收敛解，ABAQUS/Standard会自动地将增量步的值提高50%。
在信息文件（.msg）中给出了自动载荷增量算法的详细内容，在第8.4.2节“作业诊断”中将给出更详细的描述。
8.3在ABAQUS分析中包含非线性
我们现在讨论怎样在ABAQUS分析中考虑非线性，主要关注的是几何非线性。
8.3.1几何非线性
将几何非线性的效应引入到分析中，仅需要对ABAQUS/Standard模型做微小的修改。
你要确认在分析步的定义中考虑了几何非线性的效应，而这对于ABAQUS/Explicit是默认的设置。
在ABAQUS/Standard的分析步中，你还可以指定所允许的增量步的最大数目。
如果完成分析步所需要的增量步数目超过了这个限制，ABAQUS/Standard将中止分析并给出错误信息。
对于一个分析步，默认的增量步数目是100；如果在模拟中出现了显著的非线性，有可能需要更多的增量步进行分析。
用户指定ABAQUS/Standard可以采用的增量步数目的上限，而不是它必须使用的增量步数目。
在非线性分析中，一个分析步是发生于一段有限的“时间”内的；除非惯性效应或率相关行为是重要的因素，否则这里的“时间”并没有实际的物理含义。
在ABAQUS/Standard中，用户指定了初始时间增量
和分析步的总时间
。
在第一个增量步中，初始时间增量与分析步总时间的比值确定了载荷施加的比例。
初始载荷增量给出为：
在ABAQUS/Standard的某些非线性模拟中，初始时间增量的选择可能是非常关键的，但是对于大多数分析，介于分析步总时间的5%至10%之间的初始增量值通常是足够的。
为了方便，在静态模拟时通常设置分析步的总时间为1.0，除非在模型中包含了率相关材料效应或阻尼器等特例。
采用分析步的总时间为1.0时，所施加载荷的比例总是等于当前的时间步；即，当分析步时间是0.5时，施加了总体载荷的50%。
尽管在ABAQUS/Standard中你必须指定初始增量值，ABAQUS/Standard将自动地控制后续的增量值。
这种增量值的自动控制是适合于大多数应用ABAQUS/Standard进行的非线性模拟计算，然而对于增量值的进一步控制也是可能的。
如果由于收敛性问题引起了增量值的过度减小，使其低于最小值，ABAQUS/Standard将会中止分析。
默认的最小容许时间增量∆Tmin为10-5乘以分析步的总时间。
除了分析步的总时间之外，ABAQUS/Standard默认没有增量值的上限值∆Tmax。
根据你的ABAQUS/Standard模拟，你可能希望指定不同的最小和/或最大的容许增量值。
例如，如果你意识到若施加了过大的载荷增量，模拟计算可能会难以得到解答，这可能是由于模型经历了塑性变形，所以你可能希望减小∆Tmax的值。
局部方向
在几何非线性分析中，在每个单元中的局部材料方向可以随着变形而转动。
对于壳、梁和桁架单元，局部的材料方向总是随着变形而转动。
对于实体单元，仅当单元中提供了非默认的局部材料方向时，它的局部材料方向才随着变形而转动；否则，默认的局部材料方向在整个分析中将始终保持不变。
定义在节点上的局部方向在整个分析中保持不变；它们不随变形而转动。
关于进一步的详细内容，请查阅ABAQUS分析用户手册的第2.1.5节“Transformedcoordinationsystems”。
对后继分析步的影响
一旦在一个分析步中包括了几何非线性，在所有的后继分析步中就都会考虑几何非线性。
如果在一个后继分析步中没有要求几何非线性的效应，ABAQUS会发出警告，声明几何非线性已经被包含在任何分析步中。
其它的几何非线性效应
当考虑几何非线性效应时，在模型中的大变形并不是要考虑的唯一重要的几何非线性效应。
ABAQUS/Standard也包括由于施加荷载引起的单元刚度计算项，称为载荷刚度。
这些项改善了收敛性行为。
另外在对横向载荷的响应中，在壳中的薄膜荷载以及在缆索和梁中的轴向载荷，都会对这些结构的刚度做出很大的贡献。
通过包含几何非线性，在对横向荷载的响应中也考虑了薄膜刚度。
8.3.2材料非线性
在第10章“材料”中讨论了关于ABAQUS模型的材料非线性问题。
8.3.3边界非线性
在第12章“接触”中讨论了边界非线性的引论。
8.4例题：
非线性斜板
这个例子是在第5章“应用壳单元”中所描述的线性斜板模拟的继续，如图8-11所示。
已经应用ABAQUS/Standard模拟了板的线性响应，现在你将应用ABAQUS/Standard对它进行重新分析，包含几何非线性的影响。
从线性模拟的结果表明对于此问题非线性的效应可能是重要的，由此次分析的结果，你将判断这个结论是否正确。
图8-11斜板
如果你愿意，可以根据本例题后面的指导，应用ABAQUS/Explicit将模拟扩展到动态分析。
在本手册的在线文档第A.6节“Norlinearskewplate”提供了输入文件。
当通过ABAQUS/CAE运行这个输入文件时，将创建关于该问题的完整的分析模型。
根据下面给出的指导如果你遇到困难，或者如果你希望检查你的工作，则可以运行这个输入文件。
在附录A“ExampleFiles”中，给出了如何提取和运行输入文件的指导。
如果你没有进入ABAQUS/CAE或者其它的前处理器，可以人工创建关于这个问题的输入文件，关于这方面的讨论，见GettingStartedwithABAQUS/Standard：
KeywordsVersion，第7.4节“Example：
norlinearskewplate”。
8.4.1修改模型
打开模型数据库文件SkewPlate.cae，从主菜单栏中，选择Model-->CopyModel-->Linear，将名字为Linear的模型复制成名字为Nonlinear的模型。
对于非线性斜板模型，你将考虑包含几何非线性效应和改变输出要求。
定义分析步
进入分析步Step模块，从主菜单栏中，选择Step-->Edit-->ApplyPressure来编辑分析步定义。
在EditStep对话框的Basic页中，选中Nlgeom（注：
几何非线性的缩写）以考虑几何非线性的效应，并设置分析步的时间周期为1.0。
在Incrementation（增量步）页中，设置初始增量步的值（initialincrementsize）为0.1。
默认的增量步最大数目（maximumnumberofincrements）为100；ABAQUS可能采用少于这个上限的增量步数目，但是如果需要高于这个上限的增量步数目，分析就会中止。
你可能希望改变分析步的描述，以反映它现在是一个非线性分析步。
输出控制
在线性分析中，ABAQUS仅求解一次平衡方程，并以此解答来计算结果。
非线性分析可以产生更多的输出，因为在每一个收敛的增量步结束时都可以要求输出结果。
如果你不注意选择输出要求，输出文件会成为非常之大，潜在地占满你的计算机的磁盘空间。
如前所述，数据输出有四种不同的文件形式：
●输出数据库（.odb）文件，它包含以二进制格式存储的数据，需要应用ABAQUS/CAE后处理结果；
●数据（.dat）文件，它包含了选定结果的数据报表（仅应用于ABAQUS/Standard）；
●重启动（.res）文件，应用于继续分析；
●结果（.fil）文件，由第三方后处理器使用的文件。
这里只讨论输出数据库（.odb）文件。
如果注意选择，在模拟过程中可以经常存储数据，而又不会过多地占用磁盘空间。
从主菜单栏中，选择Output-->FieldOutputRequests-->Manager，打开FieldOutputRequestsManager，在对话框的右边，点击Edit来打开场变量输出编辑器。
在OutputVariables（输出变量）域中，选择Preselecteddefaults，删除对线性分析模型定义的场变量输出要求，并指定默认的场变量输出要求。
对于一般的静态过程，这个输出变量的预选设置是最经常应用的场变量输出设置。
为了减小输出数据库文件的尺寸，选择在每第二个增量步写一次场变量输出。
如果你是简直地感兴趣最终的结果，你也可以或者选择Thelastincrement（最终增量步）或者设置保存输出的频率等于一个大数。
不论指定什么值，在每个分析步结束时总会保存结果；所以，使用一个大数会导致仅保存最终的结果。
从前面的分析中，可以保留指定在跨中节点位移的历史输出，我们将在Visualization模块中应用X-Y曲线图功能演示这些结果。
运行及监控作业
在Job模块中，为非线性（Nonlinear）模型创建一个作业，命名为NlSkewPlate，并给出描述为NonlinearElasticSkewPlate。
记住将你的模型保存为一个新的模型数据库文件。
提交作业进行分析并监控求解进程。
如果遇到了任何错误，必须纠正它们；如果发出了任何警告信息，必须调查它们的来源，并在必要时采取纠正的措施。
对于这个非线性斜板例题，图8-12显示了JobMonitor（作业监视器）的内容。
第一列显示了分析步序号，在本例中只有一个分析步。
第二列给出了增量步序号。
第六列显示了在每个增量步中为了得到收敛解，ABAQUS/Standard所需要的迭代步的数目；例如，在增量步1中，ABAQUS/Standard需要3次迭代。
第八列显示了已经完成的总的分析步时间，第九列显示了增量步的大小（
）。
这个例子显示了ABAQUS/Standard如何自动地控制增量步的大小，即在每个增量步中载荷施加的比例。
在这个分析中，ABAQUS/Standard在第一个增量步中施加了总载荷的10%；你指定了初始增量
为0.
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