待定系数法分解因式.docx
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待定系数法分解因式
待定系数法分解因式
【要点讲解】
这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法，步骤，技巧等。
★★例1分解因式
思路1因为
所以设原式的分解式是
然后展开，利用多项式的恒等，求出m,n,的值。
解法1因为
所以可设
比较系数，得
由①、②解得
把
代入③式也成立。
∴
思路2前面同思路1，然后给x,y取特殊值，求出m,n的值。
解法2因为
所以可设
因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的x,y都成立，那么无妨令
得
令
得
解①、②得
或
把它们分别代入恒等式检验，得
∴
说明：
本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。
若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式。
★★例2分解因式
思路本题是关于x的四次多项式，可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积。
解设
由恒等式性质有：
由①、③解得
代入②中，②式成立。
∴
说明若设原式
由待定系数法解题知关于a与b的方程组无解，故设原式
★★★例3在关于x的二次三项式中，当
时，其值为0；当
时，其值为0；当
时，其值为10，求这个二次三项式。
思路1先设出关于x的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。
可考虑利用恒待式的性质。
解法1设关于x的二次三项式为
把已知条件分别代入，得
解得
故所求的二次三项为
思路2根据已知
时，其值0这一条件可设二次三项式为
然后再求出a的值。
解法2由已知条件知当
时，这个二次三项式的值都为0，故可设这个二次三项式为
把
代入上式，得
解得
故所求的二次三项式为
即
说明要注意利用已知条件，巧设二次三项式的表达式。
★★★★例4已知多项式
的系数都是整数。
若
是奇数，证明这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。
思路先设这个多项式能分解为两个整系数多项式的乘积，然后利用已知条件及其他知识推出这种分解是不可能的。
证明：
设
（m,n,r都是整数）。
比较系数，得
因为
是奇数，则
与d都为奇数，那么mr也是奇数，由奇数的性质得出m,r也都是奇数。
在①式中令
，得
②
由
是奇数，得
是奇数。
而m为奇数，故
是偶数，所以
是偶数。
这样②的左边是奇数，右边是偶数。
这是不可能的。
因此，题中的多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。
说明：
所要证的命题涉及到“不能”时，常常考虑用反证法来证明。
★★★★例5已知
能被
整除，求证：
思路：
可用待定系数法来求展开前后系数之间的关系。
证明：
设
展开，比较系数，得
由①、②，得
，
代入③、④得：
，
∴
★★★例6若a是自然数，且
的值是一个质数，求这个质数。
思路：
因为质数只能分解为1和它本身，故可用待定系数法将多项式分解因式，且使得因式中值较小的为1，即可求a的值。
进而解决问题。
解：
由待定系数法可解得
由于a是自然数，且
是一个质数，
∴
解得
当
时，
不是质数。
当
时，
是质数。
∴
=11.
A级
★★★1、分解因式
_______.
★★★2、若多项式
能被
整除，则n=_______.
★★3、二次三项式当
时其值为-3，当
时其值为2，当
时其值为5，这个二次三项式是_______.
★★4、m,n是什么数时，多项式
能被
整除？
B级
★★★5、多项式
能分解为两个一次因式的积，则k=_____.
★★★6、若多项式
能被
整除，则
_______.
★★7、若多项式
当
2时的值均为0，则当x=_____时，多项式的值也是0。
★★★8、求证：
不能分解为两个一次因式的积。
参考答案或提示：
1.
提示：
设原式
比较两边系数，得
由①、②解得
将
代入③式成立。
∴原式
2、-4。
提示：
设原式
=
比较系数，得
由①、②解得
代入③得
3、
提示：
设二次三项式为
把已知条件代入，得
解得
∴所求二次三项式为
4.
设
比较系数，得
解得
∴当m=-11，n=4已知多项式能被
整除。
5.-2
提示：
设原式
.
比较系数，得
解得
6.-7
提示：
设原式
比较系数，得
解得
∴
7.3.
提示：
设原式
比较系数，得
解得c=3.
∴当x=3时，多项式的值也是0.
8.设原式
且
展开后比较系数，得
由④、⑤得
代入③，再由①、③得
将上述
入②得
.而这与③矛盾，即方程组无解。
故命题得证。
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