奥赛典型例题分析(振动和波).ppt

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奥赛典型例题奥赛典型例题分析分析（振动和波振动和波）11.如图如图1所示的振动所示的振动系统，轻弹簧的劲度系统，轻弹簧的劲度系数为系数为k，滑轮的质，滑轮的质量为量为M，细线与滑轮，细线与滑轮之间无摩擦，两个小之间无摩擦，两个小物块的质量分别为物块的质量分别为m1和和m2，m1m2，试，试求滑轮的振动周期求滑轮的振动周期.Mm1m2k图图12例例1解解:

m1m2k图图1Mm图图2aa先看图先看图2的情况，设轻绳的拉力大的情况，设轻绳的拉力大小为小为T，则，则由上一两个方程可解得由上一两个方程可解得天花板所受的拉力为天花板所受的拉力为这表明原来系统对天花板的作用与图这表明原来系统对天花板的作用与图3物体物体M对天花板的作用等效，只要天花板的作用等效，只要M取值为取值为3图图3m1m2k图图1图图4k因此，只要在上式中令因此，只要在上式中令就可就可用图用图4等效于图等效于图1,此时有此时有所以，系统的振动圆频率为所以，系统的振动圆频率为系统的振动周期为系统的振动周期为42.如图如图2所示，物体的质量为所示，物体的质量为m，用，用弹簧悬挂吊于水平轻杆上，杆的一弹簧悬挂吊于水平轻杆上，杆的一端与光滑铰链相连，另一端用弹簧端与光滑铰链相连，另一端用弹簧悬挂，已知悬挂，已知k1、k2、m及尺寸及尺寸a、b，试求物体试求物体m的振动周期的振动周期.图图2Oabk1k2m5设当当m处于平衡位置时，处于平衡位置时，弹簧弹簧1、2的伸长量分别为的伸长量分别为l10和和l20,则例例2解解:

图图1Oabk1k2moxx对对m有有对杆有对杆有建立建立ox轴，如图所示，当杆转轴，如图所示，当杆转过一个微小的角过一个微小的角时，对对m有有对杆有对杆有由以上方程可得由以上方程可得6由由（5）、（6）式可得式可得由由（5）、（7）式消去式消去可可得得由这方程可知由这方程可知m的振动圆频率为的振动圆频率为故故m的微振动周期为的微振动周期为73.如图如图3所示，质量为所示，质量为m的小球的小球C由细绳由细绳AC和和BC共同悬挂，已知共同悬挂，已知ACl，BC2l，ACOBCO30,试求小球试求小球C在垂直纸面方向上的微振动周期在垂直纸面方向上的微振动周期.图图3CABml2lO30308方法方法1：

以：

以A为等效悬挂点为等效悬挂点图图1CABml2lO例例3解：

解：

3030ggcos30于是小球于是小球C在垂直屏幕面方向上在垂直屏幕面方向上的微小摆动的周期为的微小摆动的周期为O方法方法2：

以：

以AB线与线与CO线的交点线的交点O为等效悬挂点为等效悬挂点则等效摆长则等效摆长l为为CO，根据几何关系可求得，根据几何关系可求得那么小球那么小球m的微振动周期为的微振动周期为把重力加速度把重力加速度沿沿AC方向和方向和AB方方向分解，可得在向分解，可得在AC方向的分量值为方向的分量值为gcos30.94.半径为半径为R的轻圆环上固定两个质量相同的小的轻圆环上固定两个质量相同的小重物，在环上与两个小重物距离相等的重物，在环上与两个小重物距离相等的O处钻处钻一小孔，将这小孔穿过墙壁上的光滑小钉而一小孔，将这小孔穿过墙壁上的光滑小钉而把圆环挂起来，使圆环可以在竖直平面上作把圆环挂起来，使圆环可以在竖直平面上作微振动，两小重物的位置关系可以用它们之微振动，两小重物的位置关系可以用它们之间的角距离间的角距离2表示，如图表示，如图4所示，试求圆环微所示，试求圆环微振动的周期振动的周期.O图图4RR10例例4解：

解：

图图1ORR用能量法求周期用能量法求周期设每个重物的质量为设每个重物的质量为m，它作微振动，它作微振动时的最大角振幅为时的最大角振幅为,如图所示，那如图所示，那么它通过平衡位置时的最大速度么它通过平衡位置时的最大速度为为其中其中故故于是摆的最大动能为于是摆的最大动能为设摆的质心设摆的质心C能上升的最大高度为能上升的最大高度为hCm，则据机械能，则据机械能守恒定律有守恒定律有C11C图图1ORR在平衡位置时，质心在平衡位置时，质心C据悬挂点据悬挂点O的距离为的距离为因最大偏角为因最大偏角为，故质心上升的最大，故质心上升的最大高度为高度为于是由于是由可得可得解得解得因为因为所以所以圆环微振动周期为圆环微振动周期为125.如图如图5所示，在水平光滑桌面的中心有一个光滑小所示，在水平光滑桌面的中心有一个光滑小孔孔O，一条劲度系数为，一条劲度系数为k的细弹性绳穿过小孔的细弹性绳穿过小孔O，绳，绳的一端系于小孔的一端系于小孔O正下方地面的正下方地面的A处，另一端系一质处，另一端系一质量为量为m的小物块，弹性绳的自然长度等于的小物块，弹性绳的自然长度等于OA，现将，现将小物块沿桌面拉至小物块沿桌面拉至B点处，点处，OBL，并给小物块一，并给小物块一个与个与OB垂直的初速度垂直的初速度v0沿桌面射出，试求：

沿桌面射出，试求：

（1）小物块绕小物块绕O点转过点转过90到达到达C点所需要的时间点所需要的时间;

（2）小物块到达小物块到达C点时的速度及点时的速度及CO的长度的长度.OBAv0图图513例例5解：

解：

OBAv0图图1xy图图2

（1）据胡克定律，质点在其运据胡克定律，质点在其运动轨迹上任一位置处所受弹力的大小动轨迹上任一位置处所受弹力的大小为为Fkr,其中其中r为质点所在位置与原点为质点所在位置与原点O的距离的距离,也是弹性绳的伸长量也是弹性绳的伸长量.由图由图2得得可见，质点在可见，质点在x方向和方向和y方向都作简谐振动方向都作简谐振动.平衡位置都在原点，振动圆频率都是平衡位置都在原点，振动圆频率都是周期都是周期都是14质点从起始位置质点从起始位置B绕绕O点运动到点运动到C点，点，对于对于x方向的简谐振动来说，质点是从方向的简谐振动来说，质点是从最大位移的位置运动到平衡位置的，恰最大位移的位置运动到平衡位置的，恰好经历了好经历了1/4T,所以所以xy图图2

（2）在在x方向上，质点作简谐振动，利用如图方向上，质点作简谐振动，利用如图3所示的所示的参考圆，可确定其振幅和初相参考圆，可确定其振幅和初相:

图图4于是其在于是其在x方向的简谐振动方程为方向的简谐振动方程为速度为速度为15可求得可求得利用公式利用公式及初始条件及初始条件因质点经因质点经t=T/4时间到达时间到达C点，故在点，故在C点处，有点处，有于是于是166.三根长为三根长为l2.00m的质量均匀的直杆构成一个等的质量均匀的直杆构成一个等边三角形框架边三角形框架ABC，C点悬挂在一光滑水平转轴上，点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动，杆整个框架可绕转轴转动，杆AB是一导轨，一是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨上运动，如图电动玩具松鼠可在导轨上运动，如图6所示，现观测所示，现观测到松鼠正在导轨上运动而框架却静止不动，试证明到松鼠正在导轨上运动而框架却静止不动，试证明松鼠的运动应是一种什么样的运动松鼠的运动应是一种什么样的运动.ABCl图图6ll（96年年13届预赛题届预赛题）17例例6解：

解：

ABCl图图1ll建立如图所示建立如图所示ox轴轴.因为题设玩具松鼠在导轨上运动时，因为题设玩具松鼠在导轨上运动时，框架都静止不动框架都静止不动.那么以框架作为研那么以框架作为研究对象，对究对象，对C轴力矩平衡，因此当玩轴力矩平衡，因此当玩具松鼠运动到图中位置时，它除了受具松鼠运动到图中位置时，它除了受到玩具松鼠给以的向下的、大小到玩具松鼠给以的向下的、大小为为mg的压力外，必然受到玩具松鼠给以的大小为的压力外，必然受到玩具松鼠给以的大小为F的的向左的力作用向左的力作用.于是有于是有得得那么，玩具松鼠也必然受到一个向右的大小等于那么，玩具松鼠也必然受到一个向右的大小等于F的力的力F的作用的作用.18由此可见，玩具松鼠的运动必然是简谐振动由此可见，玩具松鼠的运动必然是简谐振动.其振动周期为其振动周期为因玩具松鼠到达因玩具松鼠到达AB导轨两端时应反向它的，所以导轨两端时应反向它的，所以其振幅不能大于其振幅不能大于1/2l,即即由以上论证可知，玩具松鼠在导轨由以上论证可知，玩具松鼠在导轨AB上的运动是以上的运动是以AB中点为平衡位置，振幅不大于中点为平衡位置，振幅不大于1米，周期约为米，周期约为2.64s的简谐振动的简谐振动.197.A是某种材料制成的小球，是某种材料制成的小球，B是某种材料制成的均是某种材料制成的均匀刚性薄球壳，假设匀刚性薄球壳，假设A与与B的碰撞是完全弹性的，的碰撞是完全弹性的，B与桌面的碰撞是完全非弹性的与桌面的碰撞是完全非弹性的.已知球壳质量为已知球壳质量为m，内半径为内半径为r，放置在水平无弹性的桌面上，小球，放置在水平无弹性的桌面上，小球A的的质量也为质量也为m，通过一自然长度为，通过一自然长度为r的柔软弹性绳悬挂的柔软弹性绳悬挂在球壳内壁的最高处，且有在球壳内壁的最高处，且有kr=9mg/2，k为弹性绳为弹性绳的弹性系数的弹性系数.起初将小球起初将小球A拉到球壳的最低点，如图拉到球壳的最低点，如图7所示，然后轻轻释放，试详细地、定量地讨论小球所示，然后轻轻释放，试详细地、定量地讨论小球A以后的运动以后的运动.（92年第年第9届预赛题届预赛题）AB图图720例例7解：

解：

AB图图1小球小球A的平衡位置的平衡位置O与球心与球心O的距的距离离为l，且有，且有以以O为原点建立如图所示的为原点建立如图所示的x轴轴.设任一时刻，小球设任一时刻，小球A偏离平衡位置，其坐标为偏离平衡位置，其坐标为x，那么它所受的回复力为那么它所受的回复力为令令，则小球的运动方程为，则小球的运动方程为因为因为t=0时，时，21所以小球的振幅为所以小球的振幅为初相为初相为故小球运动方程为故小球运动方程为运动速度为运动速度为加速度为加速度为当当时，即小球时，即小球A回到球心回到球心O处，由处，由

（1）式可得式可得AB图图122所以所以由由

（2）得此时小球的速度为得此时小球的速度为由由（3）得此时小球的加速度为得此时小球的加速度为此后，小球向上运动，绳子不再拉紧小球，小球此后，小球向上运动，绳子不再拉紧小球，小球A作作竖直上抛运动竖直上抛运动.小球上升的最大高度不能超过小球上升的最大高度不能超过r，故当小，故当小球球A上升高度为上升高度为r时，其速度大小为时，其速度大小为v，有，有23这表明小球这表明小球A将与球壳相碰，由于两者质量相等，将与球壳相碰，由于两者质量相等，且碰撞为弹性碰撞，所以，且碰撞为弹性碰撞，所以，A与与B交换速度，交换速度，B竖直上竖直上抛，而小球抛，而小球A则自由下落则自由下落.B能上升的最大高度为能上升的最大高度为所用时间为所用时间为此后，此后，B自由下落自由下落.而当而当B上升到最大高度时，小球上升到最大高度时，小球A的下落高度为的下落高度为由于由于这表明此时绳子仍未拉紧这表明此时绳子仍未拉紧.24令令，其中，其中由这三式可解得：

由这三式可解得：

这表明经历时间这表明经历时间t，绳子将被拉直，此时小球，绳子将被拉直，此时小球A回到回到球壳的球心球壳的球心O点，球壳点，球壳B则经历一升一降，又回到原来则经历一升一降，又回到原来位置，并与桌面作完全非弹性碰撞而静止位置，并与桌面作完全非弹性碰撞而静止.此时小球此时小球A的速度为的速度为此后在绳子作用下又作简谐振动此后在绳子作用下又作简谐振动.其振动方程为其振动方程为由初始条件：

由初始条件：

可求得可求得25故故于是于是由于由于所以小球所以小球A向下运动时不可能与球壳相碰，这是预料向下运动时不可能与球壳相碰，这是预料中的事，因球壳中的事，因球壳B与桌面的碰撞是完全非弹性碰撞，能与桌面的碰撞是完全非弹性碰撞，能量有所损失量有所损失.故球壳故球壳B将一直静止下去将一直静止下去.小球小球A的振动周期仍为的振动周期仍为26由图由图2所示的参考圆可知，小球所示的参考圆可知，小球A从从O点下落再回到点下落再回到O点需时间为点需时间为图图2接着，小球接着，小球A又做竖直上抛运动，上抛又做竖直上抛运动