《固体物理学》例题与习题.ppt

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固体物理学固体物理学例题与习题例题与习题1.3证明：

体心立方晶格的倒格子是面心立方；证明：

体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方面心立方晶格的倒格子是体心立方由倒格子定义由倒格子定义体心立方格子原胞基矢体心立方格子原胞基矢1.3倒格子基矢倒格子基矢同理同理可见由可见由为基矢构成的格子为面心立方格子为基矢构成的格子为面心立方格子面心立方格面心立方格子原胞基矢子原胞基矢倒格子基矢倒格子基矢同理同理可见由可见由为基矢构成的格子为体心立方格子为基矢构成的格子为体心立方格子1.4证明倒格子原胞体积证明倒格子原胞体积其中其中vc为正格子原胞体积为正格子原胞体积倒格子基矢倒格子基矢倒格子体积倒格子体积1.41.5证明：

倒格子矢量证明：

倒格子矢量垂直于密勒指数垂直于密勒指数为为的晶面系的晶面系因为因为容易证明容易证明与晶面系与晶面系正交正交1.51.6如果基矢如果基矢构成简单正交系，证明晶面族构成简单正交系，证明晶面族的面间距为：

的面间距为：

并说明面指数简单的晶面，其面密度比较大，容易解理并说明面指数简单的晶面，其面密度比较大，容易解理简单正交系简单正交系倒格子基矢倒格子基矢1.6倒格子矢量倒格子矢量晶面族晶面族的面间距的面间距面面指指数数越越简简单单的的晶晶面面，其其晶晶面面的的间间距距越越大大，晶晶面面上上格格点的密度越大，这样的晶面越容易解理点的密度越大，这样的晶面越容易解理倒格子基矢倒格子基矢1.9指出立方晶格指出立方晶格（111）面与面与（100）面，面，（111）面与面与（110）面的交面的交线的晶向线的晶向（111）面与面与（100）面的交线的面的交线的AB晶向指数晶向指数AB平移，平移，A与与O点重合点重合（111）面与面与（100）面的交线的晶面的交线的晶向向B点位矢点位矢1.9（111）面与面与（110）面的交线的面的交线的AB晶向指数晶向指数将将AB平移，平移，A与原点与原点O重合，重合，B点位矢点位矢（111）面与面与（110）面的交线的晶向面的交线的晶向补充例题补充例题001试做出简单立方晶格、面心立方晶格和体心立试做出简单立方晶格、面心立方晶格和体心立方晶格的维格纳方晶格的维格纳塞茨原胞塞茨原胞（Wingner-Seitz）维格纳维格纳塞茨原胞：

选取某一个格点为中心，做出最近各塞茨原胞：

选取某一个格点为中心，做出最近各点和次近各点连线的中垂面，这些所包围的空间点和次近各点连线的中垂面，这些所包围的空间维格纳维格纳塞茨原胞塞茨原胞如图所示为一种二维格子如图所示为一种二维格子的维格纳的维格纳塞茨原胞塞茨原胞001简单立方晶格简单立方晶格维格纳维格纳塞茨原胞为原点和塞茨原胞为原点和6个近邻格点连线的垂直个近邻格点连线的垂直平分面围成的立方体平分面围成的立方体面心立方格子面心立方格子维维格格纳纳塞塞茨茨原原胞胞为为原原点点和和12个个近近邻邻格格点点连连线线的的垂垂直直平分面围成的正十二面体平分面围成的正十二面体体心立方格子体心立方格子维维格格纳纳塞塞茨茨原原胞胞为为原原点点和和8个个近近邻邻格格点点连连线线的的垂垂直直平平分分面面围围成成的的正正八八面面体体，沿沿立立方方轴轴的的6个个次次近近邻邻格格点点连连线线的的垂垂直平分面割去八面体的六个角，形成的直平分面割去八面体的六个角，形成的14面体面体八个面是正六边形，六个面是正四边形八个面是正六边形，六个面是正四边形维格纳维格纳塞茨原胞塞茨原胞14面体面体八个面正八个面正六边形六边形六个面正六个面正四边形四边形2.1证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为马德隆常数马德隆常数对于一维一价离子，选定某一个离子为参考离子，假定离子对于一维一价离子，选定某一个离子为参考离子，假定离子数目很大，参考离子左右两边各有一个异号离子数目很大，参考离子左右两边各有一个异号离子当当一维一价离子一维一价离子2.12.3若一晶体两个离子之间的相互作用能可以表示为若一晶体两个离子之间的相互作用能可以表示为计算计算1）平衡间距平衡间距r02）结合能结合能W（单个原子的）单个原子的）3）体弹性模量体弹性模量4）若取若取计算计算的值的值2.31）平衡间距平衡间距r0的计算的计算平衡条件平衡条件2）单个原子的结合能单个原子的结合能晶体内能晶体内能3）体弹性模量体弹性模量晶体的体积晶体的体积A为常数，为常数，N为原胞数目为原胞数目晶体内能晶体内能体弹性模量体弹性模量由平衡条件由平衡条件体弹性模量体弹性模量4）若取若取计算计算的值的值*2.01已知有已知有N个离子组成的个离子组成的NaCl晶体，其结合能为晶体，其结合能为现以现以来代替排斥项来代替排斥项，且当晶体处于平衡时，且当晶体处于平衡时，这两者对互作用势能的贡献相同，试求这两者对互作用势能的贡献相同，试求n和和的关系。

的关系。

将结合能在平衡位置处展开将结合能在平衡位置处展开2.01以以代替代替后后根据题意根据题意结合能在平衡位置处展开结合能在平衡位置处展开3.2讨论讨论N个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为a），），其其2N个个格波解，当格波解，当M=m时与一维单原子链的结果一一对应时与一维单原子链的结果一一对应质量为质量为M的原子位于的原子位于2n-1，2n+1，2n+3。

质量为质量为m的原子位于的原子位于2n，2n+2，2n+4。

牛顿运动方程牛顿运动方程N个个原原胞胞，有有2N个独立的方程个独立的方程方程方程的解的解代回到运动方程代回到运动方程A、B有有非零解非零解两种不同的格波的色散关系两种不同的格波的色散关系对应一个对应一个q有两支格波：

一支声学波和一支光学波。

总有两支格波：

一支声学波和一支光学波。

总的格波数目为的格波数目为2N两种色散关系如图所示两种色散关系如图所示长波极限情况下长波极限情况下与一维单原子晶格格波的色散关系一致与一维单原子晶格格波的色散关系一致3.3质质量量相相同同两两种种原原子子形形成成一一维维双双原原子子链链，最最近近邻邻原原子子间间的的力常数交错等于力常数交错等于和和，并且最近邻的间距，并且最近邻的间距1）求出色散关系和分析计算求出色散关系和分析计算处格波的频率值处格波的频率值2）大致画出色散关系图大致画出色散关系图绿色绿色标记的原子位于标记的原子位于2n-1，2n+1，2n+3红红色色标标记记原原子子位位于于2n，2n+2，2n+4第第2n个原子和第个原子和第2n1个原子的运动方程个原子的运动方程体系体系N个原胞，有个原胞，有2N个独立的方程个独立的方程方程的解方程的解令令A、B有非零的解，系数行列式满足有非零的解，系数行列式满足两种色散关系两种色散关系色散关系图色散关系图两种色散关系两种色散关系3.6计算一维单原子链的频率分布函数计算一维单原子链的频率分布函数（）设单原子链长度设单原子链长度波矢取值波矢取值每个波矢的宽度每个波矢的宽度状态密度状态密度dq间隔内的状态数间隔内的状态数对应对应q，取值相同，取值相同，d间隔内的状态数目间隔内的状态数目一维单原子链色散关系一维单原子链色散关系令令两边微分得到两边微分得到d间隔内的状态数目间隔内的状态数目代入代入频率分布函数频率分布函数3.7设三维晶格的光学振动在设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有：

附近的长波极限有：

证明：

频率分布函数证明：

频率分布函数三维晶格振动的态密度三维晶格振动的态密度dq间隔内的状态数间隔内的状态数对对两边微分得到两边微分得到将将dq和和代入代入得到得到时时为虚数，有为虚数，有方法方法2振动模式密度函数振动模式密度函数对于对于q空间的等频率面，波矢空间的等频率面，波矢q为常数为常数已知三维色散关系已知三维色散关系因为对于光学波，在因为对于光学波，在处振动频率具有最大值处振动频率具有最大值频率分布函数频率分布函数4.2写写出出一一维维近近自自由由电电子子近近似似，第第n个个能能带带（n=1,2,3）中中，简简约波矢约波矢的零级波函数的零级波函数一维近自由电子近似中，用简约波矢表示的波函数一维近自由电子近似中，用简约波矢表示的波函数第第n个能带零级波函数个能带零级波函数第一个能带第一个能带第二个能带第二个能带第三个能带第三个能带4.3电子在周期场中的势能函数电子在周期场中的势能函数且且a=4b，是常数。

是常数。

1）画出此势能曲线，并计算势能的平均值；画出此势能曲线，并计算势能的平均值；2）用近自由电子模型，计算晶体的第一个和第二个带隙用近自由电子模型，计算晶体的第一个和第二个带隙宽度宽度势能的平均值势能的平均值势能的平均值势能的平均值令令在近自由电子近似模型中，势能函数的第在近自由电子近似模型中，势能函数的第n个傅里叶系数个傅里叶系数第一个带隙宽度第一个带隙宽度第二个带隙宽度第二个带隙宽度补充习题补充习题一维周期势场中电子的波函数应当满足布洛赫定理。

一维周期势场中电子的波函数应当满足布洛赫定理。

如果晶格常数为如果晶格常数为a,电子的波函数为电子的波函数为求电子在这些态中的波矢求电子在这些态中的波矢根据布洛赫定理根据布洛赫定理一维情形布洛赫定理一维情形布洛赫定理1）电子的波函数）电子的波函数电子的波矢电子的波矢2）电子的波函数）电子的波函数电子的波矢电子的波矢3）电子的波函数）电子的波函数电子的波矢电子的波矢4）电子的波函数）电子的波函数电子的波矢电子的波矢4.4用紧束缚近似求出面心立用紧束缚近似求出面心立方晶格和体心立方晶格方晶格和体心立方晶格s态原态原子能级相对应的能带子能级相对应的能带函数函数面心立方晶格面心立方晶格s态原子能级相对应的能带函数态原子能级相对应的能带函数任选取一个格点为原点任选取一个格点为原点最近邻格点有最近邻格点有12个个s原子态波函数具有球对称性原子态波函数具有球对称性12个最邻近格点的位置个最邻近格点的位置类似的表示共有类似的表示共有12项项归并化简后得到面心归并化简后得到面心立方立方s态原子能级相对应的能带态原子能级相对应的能带对对于于体体心心立立方方格格子子，任任选选取一个格点为原点取一个格点为原点有有8个最邻近格点个最邻近格点最近邻格点的位置最近邻格点的位置类似的表示共有类似的表示共有8项项归并化简后得到归并化简后得到体心立方体心立方s态原子能级相对应的能带态原子能级相对应的能带只只计计入入最最近近邻邻格格点点原原子子的的相相互互作作用用时时，s态态原原子子能能级级相相对对应的能带函数表示为应的能带函数表示为4.7一维单原子链，原子间距一维单原子链，原子间距a，总长度为总长度为LNa1）用紧束缚近似方法求出与原子用紧束缚近似方法求出与原子s态能级相对应的能带函数态能级相对应的能带函数2）求出其能带密度函数求出其能带密度函数的表达式的表达式3）如每个原子如每个原子s态中只有一个电子，计算态中只有一个电子，计算T=0K时的费密能级时的费密能级和和处的能态密度处的能态密度对于一维情形对于一维情形,任意选取一个格点为原点任意选取一个格点为原点有两个最近邻的格点，坐标为：

有两个最近邻的格点，坐标为：

a和和a能带密度函数能带密度函数的计算的计算对于一维格子，波矢为对于一维格子，波矢为具有相同的能量，此具有相同的能量，此外考虑到电子自旋有外考虑到电子自旋有2种取向，在种取向，在dk区间的状态数区间的状态数能带密度能带密度T=0K的费密能级计算的费密能级计算总的电子数总的电子数其中其中T=0K的费密能级的费密能级T=0K费密能级处的能态密度费密能级处的能态密度由于能带的交叠，能带由于能带的交叠，能带1中的部分电子转移到能带中的部分电子转移到能带2中，而中，而在能带在能带1中形成空穴，讨论中形成空穴，讨论时的费密能级时的费密能级其中其中为能带为能带1的带顶，的带