高数二下练习题答案完整版全部.docx
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高数二下练习题答案完整版全部
高等数学II练习题
学院专业班级姓名学号
反常积分、定积分应用
(一)
1、求无穷限积分eaxdx(a0)o
0
eaxdx-(过程略)
0a
2xdx
2、求瑕积分
1jxr^i
xdx
1
X
mo
mo
mo
/2
1
1
X
2
3
X
2一3
00-3
佗
1
2
尼
3
2一3叫00-3
3、求由曲线y
2x与xy4所围成图形的面积。
2小
解:
y2x
xy4
2
S4(4y
x2或X8是两交点
y2y4
(4y
18
4、求由曲线xy
1和直线yx,x
2所围成的平面图形的面积。
2
1
3
S
x
—
dxIn2
1
x
2
或
1
121
3
S
2
2
xdxdx
In2(请自己画草图,体会两种不同的求法)
2
01x
2
5、抛物线yx4x3与其在点(0,3)和(3,0)处的切线所围成的图形的面积。
解:
过点(0,3)的切线方程为y34x,而过(3,0)处的切线方程为y2x3
3
故求的两切线交点为(_,3),则所要求图形的面为:
2
3/2
0
4x3
2
x4x3dx
3
3/2
2x6
4X
dx
3
6、设椭圆的参数方程为
x2cost,y.3sint,求椭圆的面积。
解:
由椭圆的对称性,椭圆的面积可表示为:
S4\dx4°,3sintd2cost
0J/2
83;sin2tdt
2、3
(简单的计算过程略,希望同学们自行补充完成)
2
7、在[0,1]上给定函数yx,问t取何值时,右图中曲边三角形
之和最小?
何时最大?
解:
设曲边三角形
t2
A(t)
4t3
3
t2
与ADBA的面积
OACO
\ydy
0或t
2
0,t
A(t)
4t2
2t,令A(t)
丄]时,
2
当t[丄,1]时,
2
当t[0
A(t)
A(t)
0,
0,
函数单调减少
函数单调增加
4*⑴t
学院
专业
高等数学II练习题
班级姓名
定积分应用
(二)
学号
1求由曲线y2
X2
围成的图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积。
解:
X22
2
dx
2、分别求由曲线
x,y
2x及x轴所围成的图形绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的
体积。
解:
绕X轴旋转而成的旋转体的体积
12222
VXox2dx1(2x)2dx
绕y轴旋转而成的旋转体的体积
1
Vy。
[(2
2
y)y]dy(4y
3、求由曲线
2
yx和直线x2、
_8
y2)
0所围成的平面图形分别绕x轴和y轴旋转的旋转
体的体积。
解:
图形绕X轴旋转而成的旋转体的体积
vx
图形绕
Vy
22232
xdx
05
y轴旋转而成的旋转体的体积
ydy8
22
4、求曲线yxsinx(x(0,))所围成的图形绕y轴旋转的旋转体体积。
(参考课本第214页(4)的(6.37)的做法,注意是按圆环体来分隔)
解:
图形绕y轴旋转的旋转体体积
22
V2xfxdx2xsinxdx2xcosx22xcosxdx
0000
234xsinx04sinxdx238
00
5、已知一抛物线过x轴上的两点A(1,0),B(3,0):
(1)求证:
两坐标轴与该抛物线所围图形D1的面积等于x轴与该抛物线所围图形D2的面
积。
(2)计算上述两个平面图形绕X轴旋转一周产生的两个旋转体的体积。
略。
(由于没给出抛物线二次项的系数a,本题大家可以随意选个非零的a来做)
6、求由曲线y.x,y0,x1所围成的图形绕直线x1旋转而成的旋转体的体积。
解:
12i8
V1y2dy12y2y4dy
0JJ0JJJ15
(注意旋转体界面圆的半径是1y2)
7、设某产品的边际成本MC
2x(万元/台)其中x表示产量,固定成本为C。
22(万
元),边际收益MR204x(万元/台),求:
(1)总成本函数和总收益函数;
(2)获得最大利润时的产量;(3)从最大利润时的产量又生产了4台,总利润的变化。
解:
(1)总成本函数为
xx
CMCdxC02
xdx
22
」x22x22
0
0
2
总收益函数为R
x
MRdx
0
x
204xdx
0
2x2
20x;
(2)由
(1),利润函数为
RC3x218x22
2
当3x180可求得驻点为x6,而
获得最利润;
x630,因此当产量x=6台时,
(3)
10
6...(略)
高等数学II练习题
学院专业班级姓名学号
定积分综合
一、选择题
1设函数f(x)在[a,b]上连续,则曲线yf(x)与直线xa,xb,y0所围成的平面
图形的面积等于
(C)
(A)
b
f(x)dx(B)
a
b
af(x)dx
b
(C)af(x)dx(D)
f()(b
a)(ab)
2、设
114xdx,12
Jxdx,
丨3
4sinxdx,贝y
(D)
0
0
0
(A)
111213(B)
I3Il
12
(C)I1I3I2
(D)
121113
3、设
f(x)连续,f(x)x
1
20f(t)dt,则
f(x)
(B)
(A)
x
(B)x1
(C)
x2(D)x1
4、下列结果正确的是
(
B)
(A)
db2
(sintdt)daa
2
sina
(B)
db2
(sintdt)dba
sinb2
(C)
db2
(sintdt)dxa
2
sinx
(D)
db2
(sintdt)dxa
2xsinx2
5、设
fxt
fx2
0t2
2
dt,则f
2t2
x在[0,1]上
(
B)
(A)
单调增加
(B)单调减少
(C)有增有减
(D)无界
6、设
f(x)是连续函数
b
,贝Uf(x)dx
a
b
f(aba
x)dx=
(
A)
(A)
0
(B)1
(C)
ab
b
(D)
a
f(x)dx
7、若
f(x)是连续函数且为奇函数,则
x
0f(t)dt是
(
B)
(A)奇函数
(B)偶函数
(C)非奇非偶函数
(D)既奇既偶函数
8、下列反常积分发散的有
(
C)
(A)
dx
1dx
Inx,dxex
(D)0e
xdx
01x2
(B)0C
(C)
9、下列反常积分收敛的有
(D)
(A)
1dx
(B)
1dx
0x2
11nx
dx
(D)
1dx
10、由曲线yf(x),yg(x)(f(x)
g(x),a
xb)及直线xa,xb所围
图形绕
x轴旋转而成立体的体积是
b
(A)
[g(x)f(x)]2dx
(B)
22
[g(x)f(x)]dx
(C)
g2(x)dx
a
二、填空题
1、利用定积分的几何意义,填写下列定积分的结果:
(1)°、4x2dx=
(D)
[g(x)f(x)]dx
2、禾U用定积分的性质,填写下列各题:
:
(1x2)dx
51
0
2(X
1)dx
-4
1xarctanxdx
.3
x
3、设
0
f(t)dt
xsinx,则f(x)=sinxxcosx
4、已知
f(x)在(
)上连续,且f(0)2,且设F(x)
-2
3x
5、设y
2
y(x)由0costdt
cosx
yt2
edt
0所确定,则
6、设f(x)为连续函数且满足
x3
f(t)dt
x,则f(7)
7、求下列定积分
(1)
0
1(2x
2
QQ
1)dx=
1
200
2d
2x4dx
13
4x8sinxdx
4
eInx,dx
1x
sinxdx=
(8)
2cosxdx=
2
dx
8、若反常积分2冇收敛,k
.f(t)dt,则F(0)
sinx
3cos9x2
gobsinx
1
12
02cOSxdx
2
13x2x210
C(x)
;当产量由2个单位增至4个单位时,总成本的增量
高等数学II练习题
学院专业班级姓名学号一阶微分方程
1、求cosydx(1ex)sinydy0的通解。
x
解:
原方程可化为tanydydx
1e
V
积分,得In|cosy|ln(1e)C(其中C'为任意常数)
令CeC,不难看出C为任意常数,
故,方程的通解为cosyC(1ex)(C为任意常数)
2、求微分方程ydxx2dy4dy0,满足yx42的特解。
解:
原方程可化为3导一
yx24
1x2
积分得ln|y|—In||C(其中C'为任意常数)即
4x2
44Cx24C
ye,令Ce,不难看出c为任意常数,故原微分
x2
方程通解可表示为:
y4C乞"2,其中C为任意常数,当y42时,
x2x4
16
3
故满足条件的方程的特解为
3(x2)
2Uy
3、求微分方程(y6x)2y0的通解。
dx
解:
方程可化为:
-x-
dyy2
dy
y"ydy3lnyy3lny3y
eydyC)ey(eydyC)y(3dyC)
222y
yQC)7Cy3
4、微分方程xy
y■.y2x20的通解。
解:
当x>0时,原微分方程可等价为齐次微分方程
I2
y「y1X\X
设U—则有
X
—duu
对应的通解为uu21Cx
即y,y2x2Cx2(其中C为任意常数)
当x<0,易得原微分方程的通解为同样的形式。
综上所述,
微分方程xyyy2x20的通解为
y:
y2x2Cx2(其中c为任意常数)
5、求微分方程y——,满足yx12的特解。
yx
解:
令uy,则原微分方程变为
x
1.1.
2即红x2(lnxC)(其中C为任意常数)
2
由初始条件yxi2,代入上式,可求得C=2,所以原微分方程在此初始条件下的
特解为y22x2(lnx2)
6、求微分方程xyy
3的通解。
解:
易知原微分方程对应的齐次微分方程可表示成
-dy-dxyx
其通解为
yC(其中C为任意常数)
x
由常数变易法,令原微分方程的通解形式为y
,则
x
x2
代入
原微分方程,得
Cx3,积分得Cx3xC(其中C为任意常数)。
于是,所求微分方程的通解为
yC3(其中C为任意常数)
x
X2
f(x)。
7、设f(x)为连续函数,由0tf(t)dtxf(x)所确定,
解:
对积分方程两边求导数得
xf(x)2xf(x),
f(x)
f(x)xf(x)
2x
f(0)0
xdx
(
xdx
2xedx
C)
x2
eT(
x2
x2
x2
2xe2dx
C)
e2(2e2C)
x2
Cey
0时,
f(x)0代入上方程得
x2
故f(x)22e2
a,且当产量的数值等于
Q
a时,
相应的总成本为2a,求总成本C与产量Q的函数关
系。
解:
由题意得
C(Q)
C(Q)
Q
P(Q)dQ
e
1dQ
C(Q)
AQ
1
Q
a)-dQ
QQ
InQ
AQ
ZQ2a(A为常数)
a
a时,C(Q)
2a
C(Q)
Zq2a
a
1、求方程yy的通解。
高等数学II练习题
二阶微分方程
解:
特征方程为r2r,得特征根为
r10,a1
所以方程的通解
C2ex
2、求微分方程y
6y
(9
a2)y
0的通解,其中常数a
解:
特征方程为:
6r
9a2
0,求得特征根「1,2
ai
所以方程的通解
3xe
(CicosaxC2sinax)
3、求方程4y4y
00的特解。
o
解:
特征方程为4r
4r
0,解得特征根为
ri
所以方程的通解为
1
x
(GC2x)e2
y(C2
2C1
1-x
C2x)e2
2
把yx02,y
代入上二式,得
Ci
2,C2
故所求方程满足条件的解为
1
x
y(2x)e2
4、求微分方程yy
2y5sin
x的一个特解。
解:
特征方程为:
2故设微分方程的特解为
20,
Acosx
(Acosx
Bsinx)
Asinx
11,22
Bsinx,代入微分方程得
Bcosx)2(AcosxBsinx)
5sinx
2A0
2B5
A丄
2
3
2
1cosx
2
微分方程的一个特解为
3.sinx.
2
解:
特征方程为:
2560,11,26
齐次微分方程的通解为yC1exC2e6x
设非齐次微分方程的特解为
2A25(2A2XA)6(A2X2
A0AxA2x2,代入微分方程得
AiXA0)x23
A0
23
108
A
5
18
A2
1
6
6A21
10A26A0
2A?
5A16A03
6、设函数求微分方程y2y
xx
yxee满足初始条件yx01,x0
1的特解。
亠x亠6x12
5
23
yC1eC2ex
一X
6
18
108
非齐次微分方程的通解为
解:
特征方程为:
2210,121
齐次微分方程的通解为y(GC2x)ex
设非齐次微分方程的特解为x2(A0
Ax)ex,代入微分方程得
6Ax2A0x1
非齐次微分方程的通解为y
y(GC2C2X)exQx3
6
(GC2X)exx2(11x)ex
x)ex
Q当x0时,y1,y1
G1
GC21
C20
特解为yex
2X/1
xe(
2
6X)
高等数学II练习题
学院专业班级姓名学号
微分方程综合
、选择题
1、
下
列
各微
分
方
程中为
一阶线性微
分方程
的是
(B
)
(A)
xy
2
y
x
(B)
y
x4ysinx
(C)yyx
(d)(y)2
xy0
2、
满
足
方
程
x
f(x)20
f(t)dtx2的
解是
f(x)
(B
)
(A)
1e
2x
i
1
x-
(B)
ie
2x1
x-
2x1
(C)Cex-
(D)Ce2x
1
x—
2
2
2
2
2
2
3、已知
yi
cos
x,y2
3cos
x是方程y
2
y0的解,则y
C1y1C2y2
(C1,C2
为
任意常数)
(B)
(A)是方程的通解(B)是方程的解,但不是通解
4、具有特解
y1
3xe
y2
2xe3x的
二阶常系数
齐次线性方程是
(B)
(A)y9y0
(B)
y6y9y
0
(C)y9y0
(D)
y6y9y
0
5、微分方程
y
4y
29y
0,y|x
00,y|x0
15的特解是y
(C)
(C)是方程的一个特解
(D)不一定是方程的解.
(A)3(e2x1)cos5x(B)5(e2x1)cos3x
(C)3e2xsin5x
2x
(D)5esin3x
6、微分方程y
x
ye
1的一
个特解应具有形
式
(式
中a,b为常数)
(D
)
(A)
xae
b
(B)
axexb
(C)aex
bx
(D)axexbx
7、
微
分方
程
y4y
.2x.
4yxesinx
的
特
解应设为
(A)y(Ax3Bx2)e2xCsinx
32x
(B)yAxeBsinxCcosx
(D)
322x
y(AxBx)eCsinxDcosx
8、设微分方程y2y3yf(x)有特解y,则它的通解是
(A)
(A)yC1exC2e3xy*
x3x*
(C)yGxeC2xey
二、填空题
1、微分方程xyyy2x20的通解是
(B)yGexC2e3x
x3x*
(D)yGeC2ey
y,y2x2Cx2,其中C为任意常数
2、微分方程y
——,满足yx12的特解为
yx
y22x2(lnx2)
3、微分方程yytanxcosx的通解为
y(xC)cosx,其中C为任意常数
7、
(C1cos2x
9、
方程4y
12y
9y
方程y
10、方程y
2y
11、方程y
6y
y2y5y0
C2sin2x)为某方程的通解,其方程为
3
2x2
xe2(A0A-ixA2x),
er(3x22)的特解可设为其中A0,A1,A2为待疋常数
1的特解可设为
A0AxA2X2(A。
,A1,A2为待定常数)
xex(Acos2xBsin2x),其中A,B为待定常数
5yexsin2x的特解可设为
9y(x1)e3x的特解可设为
x2e3x(AxB),其中A,B为常数
4、
微分方程
y
2y
3y
0的通解是
yGexC2e3x,其中C“C2为任意常数
5、
微分方程
y
6y
9y
0的通解是
y(C1C2x)e3x(C「C2为任意常数
)
6、
具有特解
y1
ex和
y
2xyy2y
e2x的二阶常系数齐次线性方程为
0
。
。
。
为常数”或者“其中。
。
。
。
为待定
注意:
特解的表达式里面出现的常数,可说成“其中。
常数”两者都可以。
高等数学II练习题
学院
专业
班级姓名
学号
空间解析几何、
多元函数概念和性质
一•选择题
1、
方程
22
xy4z80
表示
(D)
(A)平面
(B)柱面
(C)球
(D)抛物面
2、
函
数z
1的
定义域
.ln(xy)
(C)
(a)xy
0
(B)ln(xy)
0(C)xy1
(D)xy1
3、设
z,y
f(.x1),
且当y1zx时,贝yf(y)=
(D)
(a),y
1
(B)y
(C)y2
(d)y(y2)
4、若
f(x,y)
ln(x..x2y
2)(xy0),则
f(xy,xy)=
(B)
(A)ln(x
y)
(B)2ln(、.x.y)
1
(C)—(1n「
xIny)
(D)2ln(xy)
2
二.填空题
1、方程x2y2=8表示表示空间的准线是xOv平面上的半径为,原点为圆心的圆,
母线平行于Oz轴的圆柱面22
222
(x1)(v3)(z2)14
2、若一球面以点(1,3,2)为球心且过原点,则其方程为一
3、球面:
x2y2z22x4y4z70的球心是(点2_2),半径R
4、zln(yx)—2的定义域{(x,V)|x2V2hVx0}
Jix2y2
(-)33xy
5、设函数f(x,y)x33y2,贝Uf(-^.xy)y
y
6、已知f(u,v,w)uwwuv,贝Uf(xy,xy,xy)=(x一y)xy一(xy)2x
y22
7、已知f(xy,丄)xy,则f(x,y)
x
x2xy2x2(1y)
(1y)21y
三.计算题
1、limS^
(x,y)(2,0)y
解:
Qsin(xy)xy
当(x,y)(2,0)时,皿2
y
2、
(xJjm(0,0)
xy
xy4
则原式=2
解:
—xy耸—2(、xyXy;;;(.:
y42)厂2
原式=
爲%)
(一xy4
2)
3、
(x,y)m(o,o)
22
1cos.xy
解:
Q1cos,x2
~1.2
y:
2(x
y2)
1/22、
原式=
(x,yl)m(0,0)
尹y)
x22y:
(xy)e
=limJy