高数二下练习题答案完整版全部.docx
《高数二下练习题答案完整版全部.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高数二下练习题答案完整版全部.docx（80页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
高数二下练习题答案完整版全部
高等数学II练习题
学院专业班级姓名学号
反常积分、定积分应用
（一）
1、求无穷限积分eaxdx（a0）o
0
eaxdx-（过程略）
0a
2xdx
2、求瑕积分
1jxr^i
xdx
1
X
mo
mo
mo
/2
1
1
X
2
3
X
2一3
00-3
佗
1
2
尼
3
2一3叫00-3
3、求由曲线y
2x与xy4所围成图形的面积。
2小
解：
y2x
xy4
2
S4（4y
x2或X8是两交点
y2y4
（4y
18
4、求由曲线xy
1和直线yx,x
2所围成的平面图形的面积。
2
1
3
S
x
—
dxIn2
1
x
2
或
1
121
3
S
2
2
xdxdx
In2（请自己画草图，体会两种不同的求法）
2
01x
2
5、抛物线yx4x3与其在点（0,3）和（3,0）处的切线所围成的图形的面积。
解:
过点（0,3）的切线方程为y34x，而过（3,0）处的切线方程为y2x3
3
故求的两切线交点为（_,3），则所要求图形的面为:
2
3/2
0
4x3
2
x4x3dx
3
3/2
2x6
4X
dx
3
6、设椭圆的参数方程为
x2cost,y.3sint，求椭圆的面积。
解：
由椭圆的对称性，椭圆的面积可表示为:
S4\dx4°,3sintd2cost
0J/2
83；sin2tdt
2、3
（简单的计算过程略，希望同学们自行补充完成）
2
7、在［0,1］上给定函数yx，问t取何值时，右图中曲边三角形
之和最小？
何时最大?
解：
设曲边三角形
t2
A（t）
4t3
3
t2
与ADBA的面积
OACO
\ydy
0或t
2
0,t
A（t）
4t2
2t,令A（t）
丄］时，
2
当t［丄,1］时，
2
当t［0
A（t）
A（t）
0,
0,
函数单调减少
函数单调增加
4*⑴t
学院
专业
高等数学II练习题
班级姓名
定积分应用
（二）
学号
1求由曲线y2
X2
围成的图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积。
解:
X22
2
dx
2、分别求由曲线
x,y
2x及x轴所围成的图形绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的
体积。
解：
绕X轴旋转而成的旋转体的体积
12222
VXox2dx1（2x）2dx
绕y轴旋转而成的旋转体的体积
1
Vy。
［（2
2
y）y]dy（4y
3、求由曲线
2
yx和直线x2、
_8
y2）
0所围成的平面图形分别绕x轴和y轴旋转的旋转
体的体积。
解：
图形绕X轴旋转而成的旋转体的体积
vx
图形绕
Vy
22232
xdx
05
y轴旋转而成的旋转体的体积
ydy8
22
4、求曲线yxsinx（x（0,））所围成的图形绕y轴旋转的旋转体体积。
（参考课本第214页（4）的（6.37）的做法，注意是按圆环体来分隔）
解：
图形绕y轴旋转的旋转体体积
22
V2xfxdx2xsinxdx2xcosx22xcosxdx
0000
234xsinx04sinxdx238
00
5、已知一抛物线过x轴上的两点A（1,0）,B（3,0）:
（1）求证：
两坐标轴与该抛物线所围图形D1的面积等于x轴与该抛物线所围图形D2的面
积。
（2）计算上述两个平面图形绕X轴旋转一周产生的两个旋转体的体积。
略。
（由于没给出抛物线二次项的系数a,本题大家可以随意选个非零的a来做）
6、求由曲线y.x,y0，x1所围成的图形绕直线x1旋转而成的旋转体的体积。
解：
12i8
V1y2dy12y2y4dy
0JJ0JJJ15
（注意旋转体界面圆的半径是1y2）
7、设某产品的边际成本MC
2x（万元/台）其中x表示产量，固定成本为C。
22（万
元），边际收益MR204x（万元/台），求：
（1）总成本函数和总收益函数；
（2）获得最大利润时的产量；（3）从最大利润时的产量又生产了4台，总利润的变化。
解：
（1）总成本函数为
xx
CMCdxC02
xdx
22
」x22x22
0
0
2
总收益函数为R
x
MRdx
0
x
204xdx
0
2x2
20x；
（2）由
（1），利润函数为
RC3x218x22
2
当3x180可求得驻点为x6，而
获得最利润；
x630，因此当产量x=6台时,
（3）
10
6...（略）
高等数学II练习题
学院专业班级姓名学号
定积分综合
一、选择题
1设函数f（x）在［a,b］上连续，则曲线yf（x）与直线xa,xb,y0所围成的平面
图形的面积等于
（C）
（A）
b
f（x）dx（B）
a
b
af（x）dx
b
（C）af（x）dx（D）
f（）（b
a）（ab）
2、设
114xdx，12
Jxdx，
丨3
4sinxdx，贝y
（D）
0
0
0
（A）
111213（B）
I3Il
12
（C）I1I3I2
（D）
121113
3、设
f（x）连续，f（x）x
1
20f（t）dt，则
f（x）
（B）
（A）
x
（B）x1
（C）
x2（D）x1
4、下列结果正确的是
（
B）
（A）
db2
（sintdt）daa
2
sina
（B）
db2
（sintdt）dba
sinb2
（C）
db2
（sintdt）dxa
2
sinx
（D）
db2
（sintdt）dxa
2xsinx2
5、设
fxt
fx2
0t2
2
dt，则f
2t2
x在［0,1］上
（
B）
（A）
单调增加
（B）单调减少
（C）有增有减
（D）无界
6、设
f（x）是连续函数
b
，贝Uf（x）dx
a
b
f（aba
x）dx=
（
A）
（A）
0
（B）1
（C）
ab
b
（D）
a
f（x）dx
7、若
f（x）是连续函数且为奇函数，则
x
0f（t）dt是
（
B）
（A）奇函数
（B）偶函数
（C）非奇非偶函数
（D）既奇既偶函数
8、下列反常积分发散的有
（
C）
（A）
dx
1dx
Inx,dxex
（D）0e
xdx
01x2
（B）0C
（C）
9、下列反常积分收敛的有
（D）
（A）
1dx
（B）
1dx
0x2
11nx
dx
（D）
1dx
10、由曲线yf（x）,yg（x）（f（x）
g（x）,a
xb）及直线xa，xb所围
图形绕
x轴旋转而成立体的体积是
b
（A）
[g（x）f（x）]2dx
（B）
22
[g（x）f（x）]dx
（C）
g2（x）dx
a
二、填空题
1、利用定积分的几何意义，填写下列定积分的结果:
（1）°、4x2dx=
（D）
[g（x）f（x）]dx
2、禾U用定积分的性质，填写下列各题:
：
（1x2）dx
51
0
2（X
1）dx
-4
1xarctanxdx
.3
x
3、设
0
f（t）dt
xsinx，则f（x）=sinxxcosx
4、已知
f（x）在（
）上连续，且f（0）2，且设F（x）
-2
3x
5、设y
2
y（x）由0costdt
cosx
yt2
edt
0所确定，则
6、设f（x）为连续函数且满足
x3
f（t）dt
x，则f（7）
7、求下列定积分
（1）
0
1（2x
2
QQ
1）dx=
1
200
2d
2x4dx
13
4x8sinxdx
4
eInx,dx
1x
sinxdx=
（8）
2cosxdx=
2
dx
8、若反常积分2冇收敛，k
.f（t）dt，则F（0）
sinx
3cos9x2
gobsinx
1
12
02cOSxdx
2
13x2x210
C（x）
；当产量由2个单位增至4个单位时，总成本的增量
高等数学II练习题
学院专业班级姓名学号一阶微分方程
1、求cosydx（1ex）sinydy0的通解。
x
解：
原方程可化为tanydydx
1e
V
积分，得In|cosy|ln（1e）C（其中C'为任意常数）
令CeC，不难看出C为任意常数，
故，方程的通解为cosyC（1ex）（C为任意常数）
2、求微分方程ydxx2dy4dy0,满足yx42的特解。
解：
原方程可化为3导一
yx24
1x2
积分得ln|y|—In||C（其中C'为任意常数）即
4x2
44Cx24C
ye，令Ce，不难看出c为任意常数，故原微分
x2
方程通解可表示为:
y4C乞"2，其中C为任意常数，当y42时,
x2x4
16
3
故满足条件的方程的特解为
3（x2）
2Uy
3、求微分方程（y6x）2y0的通解。
dx
解：
方程可化为：
-x-
dyy2
dy
y"ydy3lnyy3lny3y
eydyC）ey（eydyC）y（3dyC）
222y
yQC）7Cy3
4、微分方程xy
y■.y2x20的通解。
解：
当x>0时，原微分方程可等价为齐次微分方程
I2
y「y1X\X
设U—则有
X
—duu
对应的通解为uu21Cx
即y,y2x2Cx2（其中C为任意常数）
当x<0,易得原微分方程的通解为同样的形式。
综上所述,
微分方程xyyy2x20的通解为
y:
y2x2Cx2（其中c为任意常数）
5、求微分方程y——，满足yx12的特解。
yx
解：
令uy，则原微分方程变为
x
1.1.
2即红x2（lnxC）（其中C为任意常数）
2
由初始条件yxi2，代入上式，可求得C=2，所以原微分方程在此初始条件下的
特解为y22x2（lnx2）
6、求微分方程xyy
3的通解。
解：
易知原微分方程对应的齐次微分方程可表示成
-dy-dxyx
其通解为
yC（其中C为任意常数）
x
由常数变易法，令原微分方程的通解形式为y
，则
x
x2
代入
原微分方程，得
Cx3，积分得Cx3xC（其中C为任意常数）。
于是，所求微分方程的通解为
yC3（其中C为任意常数）
x
X2
f（x）。
7、设f（x）为连续函数，由0tf（t）dtxf（x）所确定,
解：
对积分方程两边求导数得
xf（x）2xf（x），
f（x）
f（x）xf（x）
2x
f（0）0
xdx
（
xdx
2xedx
C）
x2
eT（
x2
x2
x2
2xe2dx
C）
e2（2e2C）
x2
Cey
0时,
f（x）0代入上方程得
x2
故f（x）22e2
a，且当产量的数值等于
Q
a时,
相应的总成本为2a，求总成本C与产量Q的函数关
系。
解:
由题意得
C（Q）
C（Q）
Q
P（Q）dQ
e
1dQ
C（Q）
AQ
1
Q
a）-dQ
QQ
InQ
AQ
ZQ2a（A为常数）
a
a时,C（Q）
2a
C（Q）
Zq2a
a
1、求方程yy的通解。
高等数学II练习题
二阶微分方程
解：
特征方程为r2r，得特征根为
r10,a1
所以方程的通解
C2ex
2、求微分方程y
6y
（9
a2）y
0的通解，其中常数a
解：
特征方程为:
6r
9a2
0，求得特征根「1,2
ai
所以方程的通解
3xe
（CicosaxC2sinax）
3、求方程4y4y
00的特解。
o
解：
特征方程为4r
4r
0，解得特征根为
ri
所以方程的通解为
1
x
（GC2x）e2
y（C2
2C1
1-x
C2x）e2
2
把yx02，y
代入上二式，得
Ci
2,C2
故所求方程满足条件的解为
1
x
y（2x）e2
4、求微分方程yy
2y5sin
x的一个特解。
解:
特征方程为:
2故设微分方程的特解为
20,
Acosx
（Acosx
Bsinx）
Asinx
11,22
Bsinx,代入微分方程得
Bcosx）2（AcosxBsinx）
5sinx
2A0
2B5
A丄
2
3
2
1cosx
2
微分方程的一个特解为
3.sinx.
2
解:
特征方程为:
2560,11,26
齐次微分方程的通解为yC1exC2e6x
设非齐次微分方程的特解为
2A25（2A2XA）6（A2X2
A0AxA2x2,代入微分方程得
AiXA0）x23
A0
23
108
A
5
18
A2
1
6
6A21
10A26A0
2A?
5A16A03
6、设函数求微分方程y2y
xx
yxee满足初始条件yx01,x0
1的特解。
亠x亠6x12
5
23
yC1eC2ex
一X
6
18
108
非齐次微分方程的通解为
解：
特征方程为：
2210,121
齐次微分方程的通解为y（GC2x）ex
设非齐次微分方程的特解为x2（A0
Ax）ex，代入微分方程得
6Ax2A0x1
非齐次微分方程的通解为y
y（GC2C2X）exQx3
6
（GC2X）exx2（11x）ex
x）ex
Q当x0时,y1,y1
G1
GC21
C20
特解为yex
2X/1
xe（
2
6X）
高等数学II练习题
学院专业班级姓名学号
微分方程综合
、选择题
1、
下
列
各微
分
方
程中为
一阶线性微
分方程
的是
（B
）
（A）
xy
2
y
x
（B）
y
x4ysinx
（C）yyx
（d）（y）2
xy0
2、
满
足
方
程
x
f（x）20
f（t）dtx2的
解是
f（x）
（B
）
（A）
1e
2x
i
1
x-
（B）
ie
2x1
x-
2x1
（C）Cex-
（D）Ce2x
1
x—
2
2
2
2
2
2
3、已知
yi
cos
x,y2
3cos
x是方程y
2
y0的解，则y
C1y1C2y2
（C1,C2
为
任意常数）
（B）
（A）是方程的通解（B）是方程的解，但不是通解
4、具有特解
y1
3xe
y2
2xe3x的
二阶常系数
齐次线性方程是
（B）
（A）y9y0
（B）
y6y9y
0
（C）y9y0
（D）
y6y9y
0
5、微分方程
y
4y
29y
0,y|x
00,y|x0
15的特解是y
（C）
（C）是方程的一个特解
（D）不一定是方程的解.
（A）3（e2x1）cos5x（B）5（e2x1）cos3x
（C）3e2xsin5x
2x
（D）5esin3x
6、微分方程y
x
ye
1的一
个特解应具有形
式
（式
中a,b为常数）
（D
）
（A）
xae
b
（B）
axexb
（C）aex
bx
（D）axexbx
7、
微
分方
程
y4y
.2x.
4yxesinx
的
特
解应设为
（A）y（Ax3Bx2）e2xCsinx
32x
（B）yAxeBsinxCcosx
（D）
322x
y（AxBx）eCsinxDcosx
8、设微分方程y2y3yf（x）有特解y，则它的通解是
（A）
（A）yC1exC2e3xy*
x3x*
（C）yGxeC2xey
二、填空题
1、微分方程xyyy2x20的通解是
（B）yGexC2e3x
x3x*
（D）yGeC2ey
y,y2x2Cx2,其中C为任意常数
2、微分方程y
——，满足yx12的特解为
yx
y22x2（lnx2）
3、微分方程yytanxcosx的通解为
y（xC）cosx,其中C为任意常数
7、
（C1cos2x
9、
方程4y
12y
9y
方程y
10、方程y
2y
11、方程y
6y
y2y5y0
C2sin2x）为某方程的通解，其方程为
3
2x2
xe2（A0A-ixA2x）,
er（3x22）的特解可设为其中A0，A1，A2为待疋常数
1的特解可设为
A0AxA2X2（A。
，A1,A2为待定常数）
xex（Acos2xBsin2x）,其中A，B为待定常数
5yexsin2x的特解可设为
9y（x1）e3x的特解可设为
x2e3x（AxB）,其中A，B为常数
4、
微分方程
y
2y
3y
0的通解是
yGexC2e3x,其中C“C2为任意常数
5、
微分方程
y
6y
9y
0的通解是
y（C1C2x）e3x（C「C2为任意常数
）
6、
具有特解
y1
ex和
y
2xyy2y
e2x的二阶常系数齐次线性方程为
0
。
。
。
为常数”或者“其中。
。
。
。
为待定
注意：
特解的表达式里面出现的常数，可说成“其中。
常数”两者都可以。
高等数学II练习题
学院
专业
班级姓名
学号
空间解析几何、
多元函数概念和性质
一•选择题
1、
方程
22
xy4z80
表示
（D）
（A）平面
（B）柱面
（C）球
（D）抛物面
2、
函
数z
1的
定义域
.ln（xy）
（C）
（a）xy
0
（B）ln（xy）
0（C）xy1
（D）xy1
3、设
z,y
f（.x1）,
且当y1zx时，贝yf（y）=
（D）
（a）,y
1
（B）y
（C）y2
（d）y（y2）
4、若
f（x,y）
ln（x..x2y
2）（xy0）,则
f（xy,xy）=
（B）
（A）ln（x
y）
（B）2ln（、.x.y）
1
（C）—（1n「
xIny）
（D）2ln（xy）
2
二.填空题
1、方程x2y2=8表示表示空间的准线是xOv平面上的半径为，原点为圆心的圆，
母线平行于Oz轴的圆柱面22
222
（x1）（v3）（z2）14
2、若一球面以点（1,3,2）为球心且过原点，则其方程为一
3、球面：
x2y2z22x4y4z70的球心是（点2_2），半径R
4、zln（yx）—2的定义域{（x,V）|x2V2hVx0}
Jix2y2
（-）33xy
5、设函数f（x,y）x33y2，贝Uf（-^.xy）y
y
6、已知f（u,v,w）uwwuv，贝Uf（xy,xy,xy）=（x一y）xy一（xy）2x
y22
7、已知f（xy,丄）xy,则f（x,y）
x
x2xy2x2（1y）
（1y）21y
三.计算题
1、limS^
（x,y）（2,0）y
解：
Qsin（xy）xy
当（x,y）（2,0）时，皿2
y
2、
（xJjm（0,0）
xy
xy4
则原式=2
解:
—xy耸—2（、xyXy；；；（.：
y42）厂2
原式=
爲％）
（一xy4
2）
3、
（x,y）m（o,o）
22
1cos.xy
解:
Q1cos,x2
~1.2
y:
2（x
y2）
1/22、
原式=
（x,yl）m（0,0）
尹y）
x22y:
（xy）e
=limJy
升级会员 