42
3．设有下面四个命题
p：
若复数z满足1∈R，则z∈R；p：
若复数z满足z2∈R，则z∈R；
1z2
p3：
若复数z1,z2满足z1z2∈R，则z1=z2；其中的真命题为（）
p4：
若复数z∈R，则z∈R.
A.p1,p3
【答案】B
B．p1,p4
C．p2,p3
D．p2,p4
4．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{an}的公差为
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【解析】设公差为d，a4+a5=a1+3d+a1+4d=2a1+7d=24，
S=6a+6⨯5d=6a
+15d=48，联立⎧2a1+7d=24,解得d=4，故选C.
6121
⎨6a+15d=48
⎩1
秒杀解析：
因为S
=6（a1+a6）=3（a
+a）=48，即a+a
=16，则
623434
（a4+a5）-（a3+a4）=24-16=8，即a5-a3=2d=8，解得d=4，故选C.
5．函数f（x）在（-∞,+∞）单调递减，且为奇函数．若f
（1）=-1，则满足-1≤
值范围是（）
f（x-2）≤1的x的取
A．[-2,2]
【答案】D
B．[-1,1]
C．[0,4]D．[1,3]
【解析】因为f（x）为奇函数且在（-∞,+∞）单调递减，要使-1≤f（x）≤1成立，则x满足-1≤x≤1，
从而由-1≤x-2≤1得1≤x≤3，即满足-1≤f（x-2）≤1成立的x的取值范围为[1,3]，选D.
6．（1+
1）（1+x）6展开式中x2的系数为（）
x2
A．15B．20C．30D．35
【答案】C
【解析】因为（1+
1）（1+x）6=1⋅（1+x）6+
x2
1⋅（1+x）6，则（1+x）6展开式中含x2的项为
x2
1⋅C2x2=15x2，1
x2
选C.
⋅（1+x）6展开式中含x2的项为1
x2
⋅C4x4=15x2，故x2的系数为15+15=30，
7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这
些梯形的面积之和为（）
A．10B．12C．14D．16
【答案】B
【解析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为
2⨯（2+4）⨯2⨯1=12，故选B.
2
8．下面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n，那么
和两个空白框中，可以分别填入（）
A．A>1000和n=n+1B．A>1000和n=n+2
C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+2
【答案】D
【解析】由题意，因为3n-2n>1000，且框图中在“否”时输出，所以判定框内不能输入A>1000，故填A≤1000，又要求n为偶数且初始值为0，所以矩形框内填n=n+2，故选D.
9．已知曲线C1：
y=cosx，C2：
y=sin（2x+2π），则下面结论正确的是
3
（）
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到
π
的曲线向右平移
6
个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π个单位长度，
12
得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的1倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π个单位长度，
26
得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的1倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π个单位长度，
212
得到曲线C2
【答案】D
【解析】因为C1,C2函数名不同，所以先将C2利用诱导公式转化成与C1相同的函数名，则
2π2πππ1
C2:
y=sin（2x+
）=cos（2x+
3
3-2）=cos（2x+6），则由C1上各点的横坐标缩短到原来的2
π
倍变为y=cos2x，再将曲线向左平移12个单位长度得到C2，故选D.
10．已知F为抛物线C：
y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）
A．16B．14C．12D．10
【答案】A
11．设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（）
A．2x<3y<5zB．5z<2x<3yC．3y<5z<2xD．3y<2x<5z
【答案】D
235
【解析】令2x=3y=5z=k（k>1），则x=logk，y=logk，z=logk
2x2lgklg3lg9
∴=⋅=>1，则2x>3y，
3ylg23lgklg8
2x=2lgk⋅
lg5
=lg25<1，则2x<5z，故选D.
5zlg25lgklg32
12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：
已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：
N>100且该数列的前N项和为
2的整数幂.那么该款软件的激活码是（）
A．440B．330C．220D．110
【答案】A
【解析】由题意得，数列如下：
1,
1,2,
1,2,4,
1,2,4,,2k-1
则该数列的前1+2++k=
k（k+1）2
项和为
S⎛k（k+1）⎫=1+（1+2）++（1+2++2k-1）=2k+1-k-2，
ç2⎪
⎝⎭
要使k（k+1）>100，有k≥14，此时k+2<2k+1，所以k+2是第k+1组等比数列1,2,,2k的部
2
分和，设k+2=1+2++2t-1=2t-1，
所以k=2t-3≥14，则t≥5，此时k=25-3=29，
29⨯30
所以对应满足条件的最小整数N=+5=440，故选A.
2
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|=.
【答案】23
【解析】|a+2b|2=|a|2+4a⋅b+4|b|2=4+4⨯2⨯1⨯cos60+4=12，所以|a+2b|==2.
秒杀解析：
利用如下图形，可以判断出a+2b的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的
长度，则为2.
⎧x+2y≤1，
14.设x，y满足约束条件⎪2x+y≥-1则z=3x-2y的最小值为.
⎪x-y≤0，
【答案】-5
【解析】不等式组表示的可行域如图所示，
1111
易求得A（-1,1）,B（-,-）,C（,），
3333
由z=3x-2y得y=3x-在y轴上的截距越大，z就越小，
22
所以，当直线z=3x-2y过点A时，z取得最小值，所以z的最小值为3⨯（-1）-2⨯1=-5.
15.已知双曲线C：
x2-y2=
1（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双
a2b2
曲线C的一条渐近线交于M，N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为.
【答案】
3
【解析】
如图所示，作AP⊥MN，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则MN为双曲线的
b
渐近线y=
x上的点，且A（a,0），|AM|=|AN|=b，
a
而AP⊥MN，所以∠PAN=30，
b
|b|
点A（a,0）到直线y=
x的距离|AP|=，
a2
1+a2
在Rt△PAN中，cos∠PAN=|PA|，代入计算得a2=3b2，即a=
|NA|
3b，
由c2=a2+b2得c=2b，
c2b
所以e===.
a3
16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：
cm3）的最大值为.
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
共60分。
17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为
（1）求sinBsinC;
（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.
a2
.
3sinA
1
【解析】
（1）由题设得
a2
acsinB=，即
1csinB=a.
由正弦定理得
23sinA
1
sinCsinB=sinA.
23sinA
2
23sinA
故sinBsinC=.
3
18.（12分）如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且∠BAP=∠CDP=90.
（1）证明：
平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90，求二面角
购买1951年至今各地全部
A−PB−C的余弦值.
【解析】
（1）由已知∠BAP=∠CDP=90︒，得AB⊥AP，CD⊥PD.
由于AB//CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD.
又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.
（2）在平面PAD内作PF⊥AD，垂足为F，
由
（1）可知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PF，可得PF⊥平面ABCD.
以F为坐标原点，FA的方向为x轴正方向，|AB|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系
F-xyz.
由
（1）及已知可得A（,0,0），P（0,0,），
B（,1,0），C（-
2
22
1,0）.
2
所以PC=（-
1,-
22
2
），CB=（2,0,0），
PA=（,0,-
22
），AB=（0,1,0）.
设n=（x,y,z）是平面PCB的法向量，则
⎧n⋅⎧
⎪PC=0,⎪-
⎨即⎨
x+y-
22
z=0,
⎩
⎪⎩n⋅CB=0,
⎪2x=0,
可取n=（0,-1,-
2）.
设m=（x,y,z）是平面PAB的法向量，则
⎧⎪m⋅
PA=0,
⎧2x-2z=0,
⎪
⎨
即⎨22
⎪⎩m⋅AB=0,
⎪⎩y=0.
可取m=（1,0,1）.
n⋅m
则cos==-，
|n||m|3
所以二面角A-PB-C的余弦值为-.
3
19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：
cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ,σ2）．
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ-3σ,μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ-3σ,μ+3σ）之外的零件，学+科网就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.9810.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.059.95
1
经计算得x
16
xi=9.97，s==
≈0.212，其中xi为
16i=1
抽取的第i个零件的尺寸，i=1,2,⋅⋅⋅,16．
用样本平均数x作为μ的估计值μˆ，用样本标准差s作为σ的估计值σˆ，利用估计值判断是否
需对当天的生产过程进行检查？
剔除（μˆ-3σˆ,μˆ+3σˆ）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．
附：
若随机变量Z服从正态分布N（μ,σ2），则P（μ-3σ0.997416≈0.9592，≈0.09．
（ii）由x=9.97,s≈0.212，得μ的估计值为μˆ=9.97，σ的估计值为σˆ=0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在（μˆ-3σˆ,μˆ+3σˆ）之外，因此需对当天的生产过程进行检查.
剔除（μˆ-3σˆ,μˆ+3σˆ）之外的数据9.22，剩下数据的平均数为1（16⨯9.97-9.22）=10.02，因此μ的
15
估计值为10.02.
16
x2=16⨯0.2122+16⨯9.972≈1591.134，剔除（μˆ-3σˆ,μˆ+3σˆ）之外的数据9.22，剩下数据的样
i=1
本方差为1（1591.134-9.222-15⨯10.022）≈0.008，
15
因此σ的估计值为≈0.09.
20.（12分）已知椭圆C：
x
a2
+
y2
b2
=1（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，
），P4（1，
2
）中恰有三点在椭圆C上.
2
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：
l过定点.
【解析】
（1）由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知C经过P3，P4两点.
又由1+1
a2b2
>1+
a2
3
4b2
知，C不经过点P1，所以点P2在C上.
⎧1
因此⎪b2
=1,
解得⎧⎪a
=4,
⎨
⎪+=1,
⎨⎪b2=1.
⎪⎩a24b2
x2+2
故C的方程为
4
y=1.
（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，
如果l与x轴垂直，设l：
x=t，由题设知t≠0，且|t|<2，可得A，B的坐标分别为（t，
2
-
），（t，
）.
2
则k1+k2=2t-2t=-1，得t=2，不符合题设.
x22
从而可设l：
y=kx+m（m≠1）.将y=kx+m代入+y
4
（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0.
由题设可知∆=16（4k2-m2+1）>0.
=1得
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-
8km4k2+1
，x1x2=
4m2-4
4k2+1.
而k+k
=y1-1+y2-1
x1x2
=kx1+m-1+kx2+m-1
x1x2
=2kx1x2+（m-1）（x1+x2）.
x1x2
由题设k1+k2=-1，故（2k+1）x1x2+（m-1）（x1+x2）=0.
4m2-4-8km
即（2k+1）⋅+（m-1）⋅=0.
4k2+14k2+1
解得k=-m+1.
2
当且仅当m>-1时，∆>0，于是l：
y=-m+1x+m，即y+1=-m+1（x-2），
22
所以l过定点（2，-1）.
21.（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a-2）ex-x.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围.
【解析】
（1）f（x）的定义域为（-∞,+∞），f'（x）=2ae2x+（a-2）ex-1=（aex-1）（2ex+1），
（ⅰ）若a≤0，则f'（x）<0，所以f（x）在（-∞,+∞）单调递减.
（ⅱ）若a>0，则由f'（x）=0得x=-lna.
当x∈（-∞,-lna）时，f'（x）<0；当x∈（-lna,+∞）时，f'（x）>0，所以f（x）在（-∞,-lna）单调递减，在（-lna,+∞）单调递增.
综上，a的取值范围为（0,1）.
（二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4−4：
坐标系与参数方程]（10分）
⎧x=3cosθ,
⎩
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为⎨y=sinθ,
（θ为参数），直线l的参数方程为
⎧x=a+4t,
⎩
⎨y=1-t,（
t为参数）.
（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l距离的最大值为17，求a.
【解
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