高斯分布.ppt

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随机信号分析南京航空航天大学信息科学与技术学院常建平李海林概率论概率空间高斯分布随机变量的数字特征随机变量函数的分布多维随机变量（随机矢量）随机变量概率论概率论1随机矢量的数字特征数学期望矩相关理论特征函数一维随机变量一维随机变量二维随机变量二维随机变量nn维随机变量维随机变量随机矢量的函数随机矢量的函数条件数学期望条件数学期望随机变量关于某随机变量关于某个个给定值给定值的条件的条件数学期望数学期望随机变量关于另随机变量关于另一个一个随机变量随机变量的的条件数学期望条件数学期望离散型离散型连续型连续型数学期望的性质数学期望的性质23新新随机矢量的数字特征数学期望矩相关理论特征函数数学期望数学期望方差方差互相关互相关协方差协方差随机矢量的数字特征数学期望矩相关理论特征函数相关系数的引入相关系数的引入不相关、正交不相关、正交不相关、正交、独不相关、正交、独立之间的关系立之间的关系随机矢量的数字特征数学期望矩相关理论特征函数定义定义性质性质一维一维nn维维新新特征函数的定义（一维）变换是唯一的变换是唯一的存在存在2系数，系数，不是傅立叶变换不是傅立叶变换举例（一元特征函数）一元特征函数的性质一元特征函数的性质5、相互独立变量和的特征函数等于特征函数之积。

6、若随机变量X的n阶绝对矩存在，举例（一元特征函数的性质）例例1.311.31求二项分布的数学期望、方差和特征函数？

解：

方法一：

二项分布的分布律为计计算算很很难难举例（一元特征函数的性质）性质性质5举例（一元特征函数的性质）性质性质67、特征函数可由随机变量的各阶矩唯一地确定。

常用在理论推导中常用在理论推导中特征函数的定义（n维）对应关系特征函数的性质（n维）两种特殊情况一元一元多元多元n维随机变量维随机变量一维随机变量一维随机变量特征函数的性质（n维）对比1：

互推互推对比2：

一元特征函数性质一元特征函数性质5形式相似，内容不同形式相似，内容不同特征函数的性质（n维）6、边缘特征函数举例（多维）解：

边缘特征函数举例（多维）相关系数对对X举例（多维）对对Y举例（多维）对对X和和Y1随机矢量的数字特征数学期望矩相关理论特征函数一维随机变量一维随机变量二维随机变量二维随机变量nn维随机变量维随机变量随机矢量的函数随机矢量的函数条件数学期望条件数学期望随机变量关于某随机变量关于某个个给定值给定值的条件的条件数学期望数学期望随机变量关于另随机变量关于另一个一个随机变量随机变量的的条件数学期望条件数学期望离散型离散型连续型连续型数学期望的性质数学期望的性质23新新随机矢量的数字特征数学期望矩相关理论特征函数数学期望数学期望方差方差互相关互相关协方差协方差随机矢量的数字特征数学期望矩相关理论特征函数相关系数的引入相关系数的引入不相关、正交不相关、正交不相关、正交、独不相关、正交、独立之间的关系立之间的关系随机矢量的数字特征数学期望矩相关理论特征函数定义定义性质性质一维一维nn维维新新高斯分布概率论的总结和应用重要地位n在实际应用中，常常遇到大量随机变量的问题。

中心极限定理已证明，在满足一定条件下，大量随机变量和的极限分布是高斯分布。

因此，高斯分布占有特殊的地位，是科学技术领域中最常遇到的分布，也是无线电技术理论（包括噪声理论，信号检测理论，信息理论等）中最重要的概率分布。

内容组织描述描述方法方法特殊特殊性质性质概率密度概率密度特征函数特征函数一维一维n维维独立与不相关等价独立与不相关等价线性变换线性变换一维高斯分布相应的特征函数为要牢记要牢记求解过程见求解过程见P55例例1.30n维高斯分布举例（多维高斯）特殊性质1独立和不相关等价独立不相关独立的性质独立的性质？

证明证明特殊性质2线性变化高斯分布的线性变换后仍服从高斯分布。

高斯分布的线性变换后仍服从高斯分布。

Y特征函数定义特征函数定义线性变换代入线性变换代入A放入括号中放入括号中X特征函数定义特征函数定义X的高斯矢量特的高斯矢量特征函数形式征函数形式整理，整理，A和和U分开分开特殊性质2线性变化形式为高斯矢量的特征函数形式为高斯矢量的特征函数边缘分布边缘分布是线性变换的一种，仍服从高斯分布。

是线性变换的一种，仍服从高斯分布。

举例（特殊性质）解：

线性变换后服从高斯分布方差阵为对角阵内容组织描述描述方法方法特殊特殊性质性质概率密度概率密度特征函数特征函数一维一维n维维独立与不相关等价独立与不相关等价线性变换线性变换习题n必做题n1-26n1-28n1-30n选做题n1-25n1-32改变工作，是最好的休息！