（D）{x|x<2或x>5}
（A）i（B）1+i（C）-i（D）1-i
（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为
（A）8
（B）9
（C）27
（D）36
（4）下列函数中，在区间（-1,1）
上为减函数的是
（A）y=
1
1-x
（B）y=cosx
（C）y=ln（x+1）
（D）y=2-x
（5）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为
（A）1（B）2（C）（D）2
（6）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为
（A）1
5
（B）2
5
（C）8
25
（D）9
25
（7）已知A（2，5），B（4，1）.若点P（x，y）在线段AB上，则2x−y的最大值为
（A）−1（B）3（C）7（D）8
学生序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
立定跳远（单位：
米）
1.96
1.92
1.82
1.80
1.78
1.76
1.74
1.72
1.68
1.60
30秒跳绳（单位：
次）
63
a
75
60
63
72
70
a−1
b
65
（8）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.
在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则
（A）2号学生进入30秒跳绳决赛（B）5号学生进入30秒跳绳决赛
（C）8号学生进入30秒跳绳决赛（D）9号学生进入30秒跳绳决赛
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
（9）已知向量a=（1,3）,b=（3,1）
，则a与b夹角的大小为.
（10）函数f（x）=
xx-1
（x≥2）的最大值为.
（11）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为.
x2y2
（12）已知双曲线a2-b2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（
0），则a=；
b=.
（13）在△ABC中，∠A=2π
3
，a=
c，则b=.
c
（14）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：
第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售
出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店
①第一天售出但第二天未售出的商品有种；
②这三天售出的商品最少有种.
三、解答题（共6题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
（15）（本小题13分）
已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4.
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和.
（16）（本小题13分）
已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω>0）的最小正周期为π.
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间.
（17）（本小题13分）
某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米
的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：
（I）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？
（II）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费.
（18）（本小题14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC,DC⊥AC
（I）求证：
DC⊥平面PAC；
（II）求证：
平面PAB⊥平面PAC；
（III）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF?
说明理由.
（19）（本小题14分）
x2+y2=
已知椭圆C：
a2b21过点A（2,0），B（0,1）两点.
（I）求椭圆C的方程及离心率；
（II）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：
四边形ABNM的面积为定值.
（20）（本小题13分）
设函数f（x）=x3+ax2+bx+c.
（I）求曲线y=f（x）.在点（0,f（0））处的切线方程；
（II）设a=b=4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围；
（III）求证：
a2-3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件.
2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）参考答案
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
（1）C
（2）A（3）B（4）D（5）C（6）B（7）C（8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
π
（9）
6
（10）2（11）3
2
（12）12
（13）1（14）1629
三、解答题（共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：
（I）等比数列{b}的公比q=b3=9=3，
b23
所以b=b2=1，b=bq=27．
1q43
设等差数列{an}的公差为d．因为a1=b1=1，a14=b4=27，所以1+13d=27，即d=2．
所以an=2n-1（n=1，2，3，⋅⋅⋅）．
（II）由（I）知，an
=2n-1，bn
=3n-1．
因此c=a+b=2n-1+3n-1．
nnn
从而数列{cn}的前n项和
n
S=1+3+⋅⋅⋅+（2n-1）+1+3+⋅⋅⋅+3n-1
=n（1+2n-1）+1-3n
21-3
=2+3n-1
2
（16）（共13分）
解：
（I）因为f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx
=sin2ωx+cos2ωx
⎛π⎫
=2sinç⎝2ωx+4⎪⎭，
所以f（x）的最小正周期T=2π=π．
π
依题意，ω
2ωω
=π，解得ω=1．
⎛π⎫
（II）由（I）知f（x）=
2sinç⎝2x+4⎪⎭．
函数y=sinx的单调递增区间为⎡2kπ-π,2kπ+π⎤（k∈Z）．
⎢⎣
由2kπ-π≤2x+π≤2kπ+π，
242
22⎥⎦
得kπ-3π≤x≤kπ+π．
88
所以f（x）的单调递增区间为⎡kπ-3π,kπ+π⎤（k∈Z）．
⎣⎢88⎥⎦
（17）（共14分）
解：
（I）由用水量的频率分布直方图知，
该市居民该月用水量在区间[0.5,1]，（1,1.5]，（1.5,2]，（2,2.5]，（2.5,3]内的频率依次为0.1，0.15，0.2，0.25，0.15．
所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%．依题意，w至少定为3．
（II）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
分组
[2,4]
（4,6]
（6,8]
（8,10]
（10,12]
（12,17]
（17,22]
（22,27]
频率
0.1
0.15
0.2
0.25
0.15
0.05
0.05
0.05
根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：
4⨯0.1+6⨯0.15+8⨯0.2+10⨯0.25+12⨯0.15+17⨯0.05+22⨯0.05+27⨯0.05
=10.5（元）．
（18）（共13分）
解：
（I）因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥DC．
又因为DC⊥AC，
所以DC⊥平面PAC．
（II）因为AB//DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC．
因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB．
所以AB⊥平面PAC．
所以平面PAB⊥平面PAC．
（III）棱PB上存在点F，使得PA//平面CEF．证明如下：
取PB中点F，连结EF，CE，CF．
又因为E为AB的中点，所以EF//PA．
又因为PA⊄平面CEF，所以PA//平面CEF．
（19）（共14分）
解：
（I）由题意得，a=2，b=1．
x22
所以椭圆C的方程为+y
4
=1．
又c==3，
所以离心率e==．
a2
（II）设P（x,y）（x<0，y<0），则x2+4y2=4．
000000
又A（2,0），B（0,1），所以，
直线PA的方程为y=
y0x0-2
（x-2）．
令x=0，得y
=-2y0
，从而BM=1-y
=1+
2y0．
x0-2x0-2
直线PB的方程为y=y0-1x+1．
x0
令y=0，得xN
=-x0
y-1
，从而AN=2-xN
=2+
x0．
y-1
00
所以四边形ABNM的面积
S=1AN⋅BM
2
=1⎛2+
x0⎫⎛1+
2y0⎫
ç
⎝y0
⎪ç
⎭⎝x0
-2⎪
=
x2+4y2+4xy-4x-8y+4
000000
2（x0y0-x0-2y0+2）
=2x0y0-2x0-4y0+4
x0y0-x0-2y0+2
=2．
从而四边形ABNM的面积为定值．
（20）（共13分）
解：
（I）由f（x）=x3+ax2+bx+c，得f'（x）=3x2+2ax+b．因为f（0）=c，f'（0）=b，
所以曲线y=f（x）在点（0,f（0））处的切线方程为y=bx+c．
（II）当a=b=4时，f（x）=x3+4x2+4x+c，
所以f'（x）=3x2+8x+4．
令f'（x）=0，得3x2+8x+4=0，解得x=-2或x=-2．
3
f（x）与f'（x）在区间（-∞,+∞）上的情况如下：
x
（-∞,-2）
-2
⎛ç-2,-2⎫⎪
⎝3⎭
-2
3
⎛-2,+∞⎫
ç⎝3⎪⎭
f'（x）
+
0
-
0
+
f（x）
c
c-32
27
所以，当c>0且c-32<0时，存在x∈（-4,-2），x∈⎛-2,-2⎫，
27
x∈⎛-2,0⎫，使得f（x）=f（x
1
）=f（x）=0．
2ç⎝
3⎪⎭
3ç⎝3⎪⎭
123
由f（x）的单调性知，当且仅当c∈⎛0,32⎫时，函数f（x）=x3+4x2+4x+c有三个不同零点．
⎝ç27⎪⎭
（III）当∆=4a2-12b<0时，f'（x）=3x2+2ax+b>0，x∈（-∞,+∞），
0
此时函数f（x）在区间（-∞,+∞）上单调递增，所以f（x）不可能有三个不同零点．当∆=4a2-12b=0时，f'（x）=3x2+2ax+b只有一个零点，记作x．
当x∈（-∞,x0）时，f'（x）>0，f（x）在区间（-∞,x0）上单调递增；当x∈（x0,+∞）时，f'（x）>0，f（x）在区间（x0,+∞）上单调递增．所以f（x）不可能有三个不同零点．
综上所述，若函数f（x）有三个不同零点，则必有∆=4a2-12b>0．故a2-3b>0是f（x）有三个不同零点的必要条件．
当a=b=4，c=0时，a2-3b>0，f（x）=x3+4x2+4x=x（x+2）2只有两个不同零点，所以a2-3b>0不是f（x）有三个不同零点的充分条件．
因此a2-3b>0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．
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