精校版北京文数高考试题文档版含答案.docx

1、精校版北京文数高考试题文档版含答案绝密启用前2016 年普通高等学校招生全国考试数学（文）（北京卷） 本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合 A = x | 2 x 4, B = x | x 5 ，则 A B =（A）x|2x5（2）复数1+ 2i =2 - i（B）x|x 5（C）x|2x3（D）x|x 5（A）i（B）1+i（C） -i （D）

2、1- i（3）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为（A）8（B）9（C）27（D）36（4）下列函数中，在区间(-1,1)上为减函数的是（A） y =11- x（B）y = cos x（C）y = ln(x +1)（D）y = 2- x（5）圆（x+1）2+y2=2 的圆心到直线 y=x+3 的距离为（A）1 （B）2 （C） （D）2（6）从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率为（A） 15（B） 25（C） 825（D） 925（7）已知 A（2，5），B（4，1）.若点 P（x，y）在线段 AB 上，则 2xy 的最大值为（A）1 （B）3 （C）7 （D）8学生

3、序号12345678910立定跳远（单位：米）1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030 秒跳绳（单位：次）63a7560637270a1b65（8）某学校运动会的立定跳远和 30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为 10 名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.在这 10 名学生中，进入立定跳远决赛的有 8 人，同时进入立定跳远决赛和 30 秒跳绳决赛的有 6 人， 则（A）2 号学生进入 30 秒跳绳决赛 （B）5 号学生进入 30 秒跳绳决赛（C）8 号学生进入 30 秒跳绳决赛 （D）9 号学生进入 30 秒跳绳决赛第二部分（非选择

4、题共 110 分）二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（9）已知向量a=(1, 3), b = ( 3,1)，则 a 与 b 夹角的大小为 .（10）函数 f (x) =x x -1(x 2) 的最大值为 .（11）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为 .x2 y2 (12) 已知双曲线 a2 - b2 = 1 （a0，b0）的一条渐近线为 2x+y=0，一个焦点为（,0），则 a= ；b= .(13)在ABC 中， A = 23，a=c，则 b = .c(14)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出 19 种商品，第二天售出 13 种商品，第三天售出

5、18 种商品；前两天都售出的商品有 3 种，后两天都售出的商品有 4 种，则该网店第一天售出但第二天未售出的商品有 种；这三天售出的商品最少有 种.三、解答题（共 6 题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） （15）（本小题 13 分）已知an是等差数列，bn是等比数列，且 b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4.（）求an的通项公式； （）设 cn= an+ bn，求数列cn的前 n 项和.（16）（本小题 13 分）已知函数 f（x）=2sin x cos x+ cos 2x（0）的最小正周期为.（）求 的值； （）求 f（x）的单调递增区间.（17）（本小题 1

6、3 分）某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过 w 立方米的部分按 4 元/立方米收费，超出 w 立方米的部分按 10 元/立方米收费，从该市随机调查了 10000 位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：（I）如果 w 为整数，那么根据此次调查，为使 80%以上居民在该月的用水价格为 4 元/立方米，w 至少定为多少？（II）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当 w=3 时，估计该市居民该月的人均水费.（18）（本小题 14 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PC平面 ABCD， ABDC, DC AC（I）求证： DC 平面PAC ； （II

7、）求证： 平面PAB 平面PAC ；(III)设点 E 为 AB 的中点，在棱 PB 上是否存在点 F，使得 PA平面CEF ?说明理由. （19）（本小题 14 分） x2 + y2 =已知椭圆 C： a2 b2 1过点 A（2,0），B（0,1）两点. （I）求椭圆 C 的方程及离心率；（II）设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N，求证： 四边形 ABNM 的面积为定值. （20）（本小题 13 分） 设函数 f (x) = x3 + ax2 + bx + c.（I）求曲线 y = f (x).在点(0, f (0)处

8、的切线方程；（II）设a = b = 4 ，若函数 f (x)有三个不同零点，求 c 的取值范围；（III）求证： a2 - 3b0 是 f (x)有三个不同零点的必要而不充分条件.2016 年普通高等学校招生全国统一考试数学(文)(北京卷)参考答案一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）（1）C （2）A （3）B （4）D （5）C （6）B （7）C （8）B 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（9）6（10）2 （11） 32（12）1 2（13）1 （14）16 29三、解答题（共 6 小题，共 80 分）（15）（共 13 分）解：（I）等比数

9、列b 的公比q = b3 = 9 = 3 ，b2 3所以b = b2 = 1 ， b = b q = 27 1 q 4 3设等差数列an 的公差为d 因为a1 = b1 = 1， a14 = b4 = 27 ，所以1+13d = 27 ，即d = 2 所以an = 2n -1（ n = 1， 2 ， 3 ， ）（II）由（I）知， an= 2n -1， bn= 3n-1 因此c = a + b = 2n -1+ 3n-1 n n n从而数列cn的前n 项和nS = 1+ 3 + + (2n -1)+1+ 3 + + 3n-1= n(1+ 2n -1) + 1- 3n2 1- 3= 2 + 3n

10、 -12（16）（共 13 分）解：（I）因为 f (x) = 2sin x cos x +cos 2x= sin 2x + cos 2x = 2 sin 2x + 4 ，所以 f (x)的最小正周期T = 2 = 依题意， 2 = ，解得 = 1 （II）由（I）知 f (x) =2 sin 2x + 4 函数 y = sin x 的单调递增区间为 2k - , 2k + （ k Z ）由2k - 2x + 2k + ，2 4 22 2 得 k - 3 x k + 8 8所以 f (x)的单调递增区间为 k - 3 , k + （ k Z ） 8 8 （17）（共 14 分）解：（I）由用水

11、量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间0.5,1， (1,1.5， (1.5, 2， (2, 2.5， (2.5,3内的频率依次为0.1 ， 0.15 ， 0.2 ， 0.25 ， 0.15 所以该月用水量不超过3 立方米的居民占85 %，用水量不超过2 立方米的居民占45 % 依题意， w 至少定为3 （II）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：组号12345678分组2, 4(4, 6(6,8(8,10(10,12(12,17(17, 22(22, 27频率0.10.150.20.250.150.050.050.05根据题意，该市居民该月的人均

12、水费估计为：4 0.1+ 6 0.15 + 8 0.2 +10 0.25 +12 0.15 +17 0.05 + 22 0.05 + 27 0.05= 10.5 （元）（18）（共 13 分）解：（I）因为PC 平面 ABCD ，所以PC DC 又因为DC AC ，所以DC 平面PAC （II）因为 AB/DC ， DC AC ， 所以 AB AC 因为PC 平面 ABCD ， 所以PC AB 所以 AB 平面PAC 所以平面PAB 平面PAC （III）棱PB上存在点F ，使得PA/ 平面CEF 证明如下： 取PB中点F ，连结EF， CE ， CF 又因为E 为 AB的中点， 所以EF/P

13、A 又因为PA 平面CEF ， 所以PA/ 平面CEF （19）（共 14 分）解：（I）由题意得， a = 2 ， b = 1x2 2所以椭圆C 的方程为 + y4= 1又c = = 3 ，所以离心率e = = a 2（II）设P(x , y )（ x 0 ， y 0 且c - 32 0 时，存在 x (-4, -2)， x -2, - 2 ，27x - 2 ,0 ，使得 f (x ) = f (x1) = f (x ) = 0 2 3 3 3 1 2 3由 f (x)的单调性知，当且仅当c 0, 32 时，函数 f (x) = x3 + 4x2 + 4x + c 有三个不同零点 27 （I

14、II）当 = 4a2 -12b 0 ， x (-, +) ，0此时函数 f (x)在区间(-, +)上单调递增，所以 f (x)不可能有三个不同零点 当 = 4a2 -12b = 0 时， f (x) = 3x2 + 2ax + b 只有一个零点，记作 x 当 x (-, x0 ) 时， f (x) 0 ， f (x)在区间(-, x0 )上单调递增； 当 x (x0 , +) 时， f (x) 0 ， f (x)在区间(x0 , +)上单调递增所以 f (x)不可能有三个不同零点综上所述，若函数 f (x)有三个不同零点，则必有 = 4a2 -12b 0 故 a2 - 3b 0 是 f (x)有三个不同零点的必要条件当 a = b = 4 ， c = 0 时， a2 - 3b 0 ， f (x) = x3 + 4x2 + 4x = x (x + 2)2 只有两个不同零点， 所以a2 - 3b 0 不是 f (x)有三个不同零点的充分条件因此a2 - 3b 0 是 f (x)有三个不同零点的必要而不充分条件