自有课件《概率统计简明教程》第二版(第6章随机变量的函数)一维随机变量、多元随机变量的函数及其分布.ppt

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第六章随机变量的函数及其分布概率统计简明教程概率统计简明教程概率统计简明教程概率统计简明教程第二版第二版第二版第二版第一节第一节一维随机变量的函数及其分布一维随机变量的函数及其分布第二节第二节多元随机变量的函数的分布多元随机变量的函数的分布第六章第六章随机变量的函数及其分随机变量的函数及其分布布第六章随机变量的函数及其分布概率统计简明教程概率统计简明教程概率统计简明教程概率统计简明教程第二版第二版第二版第二版在分析及解决实际问题时，经常用到一些随机变量经在分析及解决实际问题时，经常用到一些随机变量经过过运算或变换运算或变换而而得到得到的某些的某些新变量新变量随机变量的函数随机变量的函数，它们它们也是随机变量也是随机变量。

随机变量的函数随机变量的函数例如：

已知圆轴截面半径例如：

已知圆轴截面半径r的分布，的分布，求所需钢材截面积。

求所需钢材截面积。

又如：

射击靶子上的目标又如：

射击靶子上的目标O时，实际击中的点时，实际击中的点的坐标的坐标（X,Y）是二维随机变量，考虑此点是二维随机变量，考虑此点（X,Y）到点到点O的距离的距离Z，则，则是二维随机变量是二维随机变量（X,Y）的的函数，它是一个新的随机变量。

函数，它是一个新的随机变量。

第六章随机变量的函数及其分布概率统计简明教程概率统计简明教程概率统计简明教程概率统计简明教程第二版第二版第二版第二版问题：

问题：

随机变量的函数随机变量的函数定义定义第六章随机变量的函数及其分布概率统计简明教程概率统计简明教程概率统计简明教程概率统计简明教程第二版第二版第二版第二版第一节第一节一维随机变量的函数及其分布一维随机变量的函数及其分布一、离散型随机变量一、离散型随机变量二、连续型随机变量二、连续型随机变量第六章随机变量的函数及其分布概率统计简明教程概率统计简明教程概率统计简明教程概率统计简明教程第二版第二版第二版第二版则函数则函数Y=g（X）也是离散型随机变量，可能的取值是也是离散型随机变量，可能的取值是g（x1）,g（x2）,g（xk）,，则，则Y=g（X）的分布律为：

的分布律为：

一、一、一、一、XX为离散型随机变量为离散型随机变量为离散型随机变量为离散型随机变量

（1）若若g（xk）互不相同，则事件互不相同，则事件Y=yk=g（xk）等价于事件等价于事件X=xk，从而，从而Y=g（X）的概率分布为：

的概率分布为：

（2）若若g（xk）值中有相同，则要把相对的值进行合并，并将值中有相同，则要把相对的值进行合并，并将对应的概率对应的概率pk相加。

相加。

设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为第六章随机变量的函数及其分布概率统计简明教程概率统计简明教程概率统计简明教程概率统计简明教程第二版第二版第二版第二版若某些若某些g（xi）相同，比如相同，比如g（xi1）g（xi2）=g（xil）=yi,（i=1,2,）则事件则事件Y=yi=g（xi）等价于事件等价于事件X=xi1X=xi2X=xil从而从而有：

有：

一、一、一、一、XX为离散型随机变量为离散型随机变量为离散型随机变量为离散型随机变量第六章随机变量的函数及其分布概率统计简明教程概率统计简明教程概率统计简明教程概率统计简明教程第二版第二版第二版第二版1.找出找出Y=g（X）的所有可能取值；的所有可能取值；2.找出每个找出每个Y=g（X）取值所对应的取值所对应的X取值，将对取值，将对应概率相加；应概率相加；3.列出概率分布律。

列出概率分布律。

已知随机变量已知随机变量X的概率分布，设函数的概率分布，设函数Y=g（X），求求Y的概率分布。

的概率分布。

离散型随机变量的函数分布律的求法：

离散型随机变量的函数分布律的求法：

离散型随机变量的函数分布律的求法：

离散型随机变量的函数分布律的求法：

一、一、一、一、XX为离散型随机变量为离散型随机变量为离散型随机变量为离散型随机变量第六章随机变量的函数及其分布概率统计简明教程概率统计简明教程概率统计简明教程概率统计简明教程第二版第二版第二版第二版求以下随机变量的分布律：

求以下随机变量的分布律：

例例1（P75）设设X的的分布律为分布律为概率概率第六章随机变量的函数及其分布概率统计简明教程概率统计简明教程概率统计简明教程概率统计简明教程第二版第二版第二版第二版设设X为连续型随机变量，已知为连续型随机变量，已知X的分布函数的分布函数FX（x）和密度函数和密度函数fX（x），设随机变量，设随机变量X的函数的函数Y=g（X），要求，要求Y的分布函数的分布函数FY（y）和密度函数和密度函数fY（y）.二、二、二、二、XX为连续型随机变量为连续型随机变量为连续型随机变量为连续型随机变量分布函数法分布函数法方法方法1：

方法方法2：

反函数法反函数法（当具有单调性时当具有单调性时）第六章随机变量的函数及其分布概率统计简明教程概率统计简明教程概率统计简明教程概率统计简明教程第二版第二版第二版第二版注：

解注：

解g（x）y时要考虑时要考虑y的不同取值范围。

的不同取值范围。

分布函数法的一般步骤分布函数法的一般步骤分布函数法的一般步骤分布函数法的一般步骤二、二、二、二、XX为连续型随机变量为连续型随机变量为连续型随机变量为连续型随机变量分布函数法分布函数法方法方法1：

（1）首先求首先求Y=g（X）的分布函数的分布函数这里这里G=x|g（x）y

（2）对所得的分布函数求导，得对所得的分布函数求导，得Y=g（X）的密度函数为的密度函数为fY（y）=FY（y）第六章随机变量的函数及其分布概率统计简明教程概率统计简明教程概率统计简明教程概率统计简明教程第二版第二版第二版第二版例例2（P76）设随机变量设随机变量X为服从区间为服从区间（0,1）上的均匀分布，求上的均匀分布，求X2的密度函数。

的密度函数。

例例3（P77）设随机变量设随机变量X为服从正态分布为服从正态分布N（0,1），试求随机，试求随机变量的函数的变量的函数的Y=|X|的密度函数的密度函数FY（y）。

分布函数法分布函数法方法方法1：

二、二、二、二、XX为连续型随机变量为连续型随机变量为连续型随机变量为连续型随机变量第六章随机变量的函数及其分布概率统计简明教程概率统计简明教程概率统计简明教程概率统计简明教程第二版第二版第二版第二版谢谢!

作业作业:

习题六习题六1；3

（1）.第六章随机变量的函数及其分布概率统计简明教程概率统计简明教程概率统计简明教程概率统计简明教程第二版第二版第二版第二版第一节第一节一维随机变量的函数及其分布一维随机变量的函数及其分布一、离散型随机变量一、离散型随机变量二、连续型随机变量二、连续型随机变量第六章第六章随机变量的函数及其分布随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布概率统计简明教程概率统计简明教程概率统计简明教程概率统计简明教程第二版第二版第二版第二版则函数则函数Y=g（X）也是离散型随机变量，可能的取值是也是离散型随机变量，可能的取值是g（x1）,g（x2）,g（xk）,，则，则Y=g（X）的分布律为：

的分布律为：

一、一、一、一、XX为离散型随机变量为离散型随机变量为离散型随机变量为离散型随机变量

（1）若若g（xk）互不相同，则事件互不相同，则事件Y=yk=g（xk）等价于事件等价于事件X=xk，从而，从而Y=g（X）的概率分布为：

的概率分布为：

（2）若若g（xk）值中有相同，则要把相对的值进行合并，并将值中有相同，则要把相对的值进行合并，并将对应的概率对应的概率pk相加。

相加。

设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为复习复习复习复习第六章随机变量的函数及其分布概率统计简明教程概率统计简明教程概率统计简明教程概率统计简明教程第二版第二版第二版第二版设设X为连续型随机变量，已知为连续型随机变量，已知X的分布函数的分布函数FX（x）和密度函数和密度函数fX（x），设随机变量，设随机变量X的函数的函数Y=g（X），要求，要求Y的分布函数的分布函数FY（y）和密度函数和密度函数fY（y）.二、二、二、二、XX为连续型随机变量为连续型随机变量为连续型随机变量为连续型随机变量分布函数法分布函数法方法方法1：

方法方法2：

反函数法反函数法（当具有单调性时当具有单调性时）复习复习复习复习第六章随机变量的函数及其分布概率统计简明教程概率统计简明教程概率统计简明教程概率统计简明教程第二版第二版第二版第二版注：

解注：

解g（x）y时要考虑时要考虑y的不同取值范围。

的不同取值范围。

分布函数法的一般步骤分布函数法的一般步骤分布函数法的一般步骤分布函数法的一般步骤二、二、二、二、XX为连续型随机变量为连续型随机变量为连续型随机变量为连续型随机变量分布函数法分布函数法方法方法1：

（1）首先求首先求Y=g（X）的分布函数的分布函数这里这里G=x|g（x）y

（2）对所得的分布函数求导，得对所得的分布函数求导，得Y=g（X）的密度函数为的密度函数为fY（y）=FY（y）复习复习复习复习其实：

分布函数涉及的积分可以不用真正计算出来其实：

分布函数涉及的积分可以不用真正计算出来其实：

分布函数涉及的积分可以不用真正计算出来其实：

分布函数涉及的积分可以不用真正计算出来。

第六章随机变量的函数及其分布概率统计简明教程概率统计简明教程概率统计简明教程概率统计简明教程第二版第二版第二版第二版例例2（P76）设随机变量设随机变量X为服从区间为服从区间（0,1）上的均匀分布，求上的均匀分布，求X2的密度函数。

的密度函数。

分布函数法分布函数法第六章随机变量的函数及其分布概率统计简明教程概率统计简明教程概率统计简明教程概率统计简明教程第二版第二版第二版第二版另解：

不将分布函数计算结果出来另解：

不将分布函数计算结果出来例例2（P76）设随机变量设随机变量X为服从区间为服从区间（0,1）上的均匀分布，上的均匀分布，求求X2的密度函数。

的密度函数。

（2）再由分布函数求密度函数再由分布函数求密度函数.于是，于是，Y的密度函数为的密度函数为分布函数法分布函数法第六章随机变量的函数及其分布概率统计简明教程概率统计简明教程概率统计简明教程概率统计简明教程第二版第二版第二版第二版例例2（P76）设随机变量设随机变量X为服从区间为服从区间（0,1）上的均匀分布，上的均匀分布，求求X2的密度函数。

的密度函数。

例例3（P77）设随机变量设随机变量X为服从正态分布为服从正态分布N（0,1），试求，试求随机变量的函数的随机变量的函数的Y=|X|的密度函数的密度函数FY（y）。

分布函数法分布函数法方法方法1：

二、二、二、二、XX为连续型随机变量为连续型随机变量为连续型随机变量为连续型随机变量分布函数法，但是不将分布函数计算结果出来。

分布函数法，但是不将分布函数计算结果出来。

第六章随机变量的函数及其分布概率统计简明教程概率统计简明教程概率统计简明教程概率统计简明教程第二版第二版第二版第二版二、二、二、二、XX为连续型随机变量为连续型随机变量为连续型随机变量为连续型随机变量方法方法2：

反函数法反函数法（当具有单调性时当具有单调性时）注：

当注：

当注：

当注：

当yy=gg（xx）不是单调函数时，则只能用分布不是单调函数时，则只能用分布不是单调函数时，则只能用分布不是单调函数时，则只能用分布函数法求解。

函数法求解。

函数法求解。

函数法求解。

第六章随机变量的函数及其分布概率统计简明教程概率统计简明教程概率统计简明教程概率统计简明教程第二版第二版第二版第二版证明证明随机变量随机变量X的概率密度为的概率密度为结论结论解法一：

解法一：

反函数法反函数法于是，于是，第六章随机变量的函数及其分布概率统计简明教程概率统计简明教程概率统计简明教程概率统计简明教程第二版第二版第二版第二版证明证明首先求首先求Y的分布函数的分布函数:

从而，求导数得：

从而，求导数得：

结论结论解法二：

解法二：

分布函数法分布函数法第六章随机变量的函数及其分布概率统计简明教程概率统计简明教程概率统计简明教程概率统计简明教程第二版第二版第二版第二版例例4（P78）设随机变量设随机变量X为服从为服从=1=1的指数分布，求随