若A⊆B,如图,∴
或
∴实数a的取值范围为
.
因混淆数学符号“∈”与“⊆”及集合“{0}”与“∅”致误
集合∅和{0}的关系表示正确的有______.(把正确的序号都填上)
①{0}=∅ ②{0}∈∅ ③{0}⊆∅ ④∅{0}
【错解】 ①②③④或①③④或①④等.
【错因分析】 出现此类错误的原因有两处:
(1)不清楚集合{0}与∅的关系;
(2)混淆数学符号“∈”与“⊆”的使用条件.
【防范措施】 1.注意∈与⊆的区别.
“∈”表示元素与集合之间的关系,“⊆”表示集合与集合间的关系.
2.注意{0}与∅的区别
“∅”是不含任何元素的集合,{0}是含有一个元素0的集合,故∅{0}.
【正解】 ∅没有任何元素,而{0}中有一个元素,显然∅≠{0},又∅是任何非空集合的真子集,故有∅{0},所以④正确,②③不正确.【答案】 ④
1.元素、集合间的关系用符号“∈”或“∉”表示,集合、集合间的关系用“⊆”、“
”、“=”或“≠”等表示.
2.处理集合间的关系时要注意以下三点:
(1)A⊆B隐含着A=B和A
B两种关系.
(2)注意空集的特殊性,在解题时,若未指明集合非空,则要考虑集合为空集的可能性.
(3)要注意数学思想在解题中的应用.如借助Venn图分析了集合的关系,其体现了数形结合的思想;又如在处理A⊆B的含参数范围时,分A=∅和A≠∅两类问题分别求解,其体现了分类讨论的数学思想.
1.已知P={1},Q={0,1,4},下列式子不正确的是( )
A.P
QB.P⊆QC.1∈PD.1⊆Q
【解析】 ∵P={1},Q={0,1,4},∴P⊆Q,P
Q及1∈P均正确.
【答案】 D
2.(2013·江苏高考)集合{-1,0,1}共有________个子集.
【解析】 集合{-1,0,1}的所有子集为:
∅,{-1},{0},{1},{-1,0},{-1,1},{0,1},{-1,0,1}共8个.【答案】 8
3.集合A={x,2},集合B={3,y},若A=B,则x=________,y=________.
【解析】 ∵A=B,∴A,B中元素相同,∴x=3,2=y.【答案】 3 2
4.已知集合A={x|1≤x<4},B={x|x<a},若A⊆B,求实数a的取值范围.
【解】 将集合A表示在数轴上(如图所示),
要满足A⊆B,表示数a的点必须在表示4的点处或在表示4的点的右边,所以所求a的集合为{a|a≥4}.
一、选择题
1.设M={菱形},N={平行四边形},P={四边形},Q={正方形},则这些集合之间的关系为( )
A.P⊆N⊆M⊆Q B.Q⊆M⊆N⊆P
C.P⊆M⊆N⊆QD.Q⊆N⊆M⊆P
【解析】 结合菱形、平行四边形、四边形及正方形的概念可知Q⊆M⊆N⊆P.
【答案】 B
2.已知集合A={0,1},则下列式子错误的是( )
A.0∈AB.{1}∈A
C.∅⊆AD.{0,1}⊆A
【解析】 ∵{1}⊆A,∴{1}∈A错误,其余均正确.【答案】 B
3.下列命题:
①空集没有子集;②任何集合至少有两个子集;
③空集是任何集合的真子集;④若∅
A,则A≠∅.
其中正确的有( )
A.0个B.1个
C.2个D.3个
【解析】①错,空集是任何集合的子集,有∅⊆∅;②错,如∅只有一个子集;
③错,空集不是空集的真子集;④正确,因为空集是任何非空集合的真子集.
【答案】 B
4.集合M={x∈N|x=5-2n,n∈N}的子集个数是( )
A.9B.8
C.7D.6
【解析】 由题意知集合M={1,3,5},故其子集的个数是23=8.【答案】 B
5.(2012·湖北高考)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0A.1B.2
C.3D.4
【解析】 由题意知:
A={1,2},B={1,2,3,4}.又A⊆C⊆B,则集合C可能为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}.【答案】 D
二、填空题
6.已知集合M={-1,0,1},N={x|x=ab,a,b∈M且a≠b},则能表示集合M与集合N的关系的Venn图是________.
【解析】 ∵M={-1,0,1},∴N={x|x=ab,a,b∈M且a≠b}={0,-1}
∴N
M.【答案】 ②
7.已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m2},若B⊆A,则实数m=________.
【解析】 集合A、B中均含有元素3,由B⊆A得B中另一元素m2一定与A中元素-1,2m-1中一个相等,故m2=2m-1,得m=1.【答案】 1
8.已知∅
{x|x2-x+a=0},则实数a的取值范围是________.
【解析】 ∵∅
{x|x2-x+a=0},∴Δ=(-1)2-4a≥0,∴a≤
.【答案】
三、解答题
9.(2014·三亚高一检测)设A={x|(x2-16)(x2+5x+4)=0},写出集合A的子集,并指出其中哪些是它的真子集.
【解】 由(x2-16)(x2+5x+4)=0得(x-4)(x+1)(x+4)2=0,
则方程的根为x=-4或x=-1或x=4.故集合A={-4,-1,4},
因此集合A的子集为:
∅,{-4},{-1},{4},{-4,-1},{-4,4},{-1,4},{-4,-1,4},真子集为:
∅,{-4},{-1},{4},{-4,-1},{-4,4},{-1,4}.
10.已知集合P={x|x=|x|,x∈N且x<2},Q={x∈Z|-2【解】 ∵x=|x|,∴x≥0.∵x∈N且x<2,∴集合P={0,1}.
又∵x∈Z且-2Q.
11.设集合A={x|-1≤x≤6},B={x|m-1≤x≤2m+1},已知B⊆A.
(1)求实数m的取值范围;
(2)当x∈N时,求集合A的子集的个数.
【解】
(1)①当m-1>2m+1,即m<-2时,B=∅符合题意;
②当m-1≤2m+1,即m≥-2时,B≠∅.由B⊆A,借助数轴如图所示,
得
解得0≤m≤
.所以0≤m≤
.
综合①②可知,实数m的取值范围为
.
(2)∵当x∈N时,A={0,1,2,3,4,5,6},∴集合A的子集的个数为27=128.