利息理论第四章课后答案.docx
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利息理论第四章课后答案
利息理论第四章课后答案
1.某人借款1万元，年利率12%，采用分期还款方式，每年末还款2000元，剩余不足2000
元的部分在最后一次2000元还款的下一年偿还。
计算第5次偿还款后的贷款余额。
r
解：
.B5=10000⨯1.125-2000S0.12=4917.7
2.甲借款X，为期10年，年利率8%，若他在第10年末一次性偿还贷款本利和，其中的
利息部分要比分10年期均衡偿还的利息部分多468.05元，计算X。
解：
x（1.0810-1）-（
10x
-x）=468.05,x=700.14a100.08
3.一笔贷款每季末偿还一次，每次偿还1500元，每年计息4次的年名义利率为10%。
若第1年末的贷款余额为12000元，计算最初贷款额。
解：
104
B=L（1+）-1500S10=1200,L=16514.37
44
r
4
或L=12000v+1500a
4
4
1004
=16514.37
4.某人贷款1万元，为期10年，年利率为i，按偿债基金方式偿还贷款，每年末支出款为X，其中包括利息支出和偿债基金存款支出，偿债基金存款利率为2i，则该借款人每年需支出额为1.5X，计算i。
解：
10000=（x-10000i）S0.08
10000=（1.5x-20000i）S0.08⇒i=6.9
5.某贷款期限为15年，每年末偿还一次，前5年还款每次还4000元，中间5次还款每次还3000元，后5次还款每次还2000元，分别按过去法和未来法，给出第二次3000元还款之后的贷款余额表达式。
解：
过去法：
B7=1000（215+10+5）（1+i）-1000[4S5（1+i）+3S2]
r
7
2
=1000（2a+a+a（1+i）7-1000（4S）
r
未来法：
B7=30003+200053=1000（28+a3）
6.一笔贷款按均衡偿还方式分期偿还，若Bt，Bt+1，Bt+2，Bt+3为4个连续期间末的贷款余额，证明：
（1）（Bt-Bt+1）（Bt+2-Bt+3）（=Bt+1-Bt+2）
（2）Bt+B
t+3
2
Bt+1+Bt+2
解：
Bt=n-tBt+1=pan-t-1Bt+2=pan-t-2Bt+3=pan-t-3
（1）（Bt-Bt+1）（Bt+2-Bt+3）=p（-）（-a）
2
3
或=p2Vn-t-11n-t-1
或=p2（Vn-t-2a）2
2或=（Bt+1-Bt+2）
（2）Bt-Bt+1
7.某人购买住房，贷款10万元，分10年偿还，每月末还款一次，年利率满足（1+i）=1.5。
计算40次后的贷款余额。
解：
设月利率为i0,
4
（1+i0）⇒i0=0.8483
12
1
4
100000=p⋅a⇒p=1331.471
o
pB40=p⋅a=77103.8
8.某可调利率的抵押贷款额为23115元，为期10年，每季末还款1000元，初始贷款利率为年计息4次的年名义利率12%。
在进行完第12次还款后，贷款利率上调为每年计息4次的年名义利率14%，每季度末保持还款1000元，计算第24次还款后的贷款余额。
解：
i=
r
12%14%
=3%,j==3.5%44
12
B12=23115（1+3%）-1000S=18760B
r24
=18760（1+j）12-1000S12j=13752
9.某贷款分20年均衡偿还，年利率为9%，在哪一次偿还款中，偿还的利息部分最接近于偿还的本金部分。
解：
设k年时最接近，k年前贷款余额为an-k+1
利息ia=1-v令1—v
n-k+1
n-k+1
，本金：
1—（1—v
n-k+1
n-k+1
）
=1—（1—v），得1—v
n-k+1
=
1
2
⇒v
20-k+1
=
1
⇒k≈132
10.张某借款1000元，年利率为i，计划在第6年末还款1000元，第12年末还款1366.87元。
在第一次还款后第三年，他偿还了全部贷款余额，计算这次偿还额。
解：
1000=1000v+1366.87v
9
3
612
⇒v6=0.564447
1000（1+i）-1000（1+i）=1026.96
11.某贷款为期5年，每季末偿还一次，每季计息4次的年名义利率为10%，若第3次还款中的本金部分为100元，计算最后5次还款中的本金部分。
解：
还款本金：
Rv
n-k+1
第3次还款中的本金部分：
p3=Rv20-3+1=100⇒R=155.96
2345
则最后5次还款中的本金部分：
155.96v+v+v+v+v=724.59
（）
12某借款人每年末还款额为1，为期20年，在第7次偿还时，该借款人额外偿还一部分贷款，额外偿还的部分等于原来第8次偿还款中的本金部分，若后面的还款照原来进行，直至贷款全部清偿，证明整个贷款期节省的利息为1-v解：
第7次还款的额外部分为v
20-8+1
13
=v131，以后按原来进行偿还，即每次
还款按原计划进行，每次还1，到第20次还款时，已经不需要偿还1，设需偿还Xa
13720
=+v,v=X-1v⇒X=0（）0
13
则最后一次不要还了，有19+v，原利息为20那么节省的利息为1-v
13.某贷款为期35年，分期均衡偿还，没年末还款一次，第8次还款中的利息部分135元，
第22次还款中的利息部分为108元，计算第29次还款中的利息部分。
28
=135且R1-v14=108解：
R1-v
13
（）
（）
∴1+v14=
1357
即v=0.5108
7
则R1-v=72
（）
14.L、N两笔贷款额相等，分30年偿还，年利率为4%，L贷款每次还款额相等，N贷款的30次还款中，每次还款中所包含的本金部分相等，包含的另一部分是基于贷款余额所产生的利息，L贷款的偿还款首次超过N贷款偿还款的时间为t，计算t。
解：
设贷款额为w，p为N贷款中每次还款的本金部分。
30p=w⇒p=
w
（1）30
L贷款每次偿还额都相等，为
wa30i
wa30i
＞p+i⎡⎣w-（t-1）p⎤⎦
（2）
由
（1）
（2）得：
t=12.67≈13
15.某项贷款为125000元，期限为30年，每月末分期偿还，每次偿还额比前一次偿还额多0.2%，第一次偿还额为P，年利率为5%，计算P.
2
解：
125000=pυ+p（1+0.2%）υ+p（1+0.2%）
112
359
υ360
υ=
1
j=（1+i）=（1+5%）1+j
112
则p=493.85
16.某贷款为期五年，每半年末还款额为1。
每年计息2次的年名义利率为i，计算第8次还款中的本金部分。
解：
P8=v
n-k+1
=v10-8+1=v3=
⎛i⎫31+⎪⎝2⎭
17.甲借款人每年末还款3000元。
若第三次还款中的利息部分为2000元，每年计息4次的年名义利率为10%，计算第6次还款中的本金部分。
n-3+1
=2000∴vn-2=解;30001-v
（）
1
3
第6次还款中的本金部分为3000v
n-5
3000vn-2==13404.8883
v
18.某投资人购买一种确定年金，每季末可得500元，共10年，年利率为8%，计算该投资人的利息收入。
解：
设每季度利率为i
（1+i）
4
=1.08∴1+i=1.0194
ai500⨯40-500ai=6186.14
19.甲购买住宅，价值10万元，分期按月付款，为期30年，首次付款发生在购房第一月末，
年利率为5%,10年后。
每次付款额增加325.40元。
以便较快还完购房款，计算整个还款期间的利息支出。
解：
设每月利率为i.
（1+i）=1.05∴1+i=1.004100000=pa360i⇒p=530.00510000（0+i1）
120
12
-p（p+i=0
324）t
t≈120
20.乙贷款利率每年为5%，每年末还款一次，共10年，首期还款为200元，以后每期比前期增加10元，计算第5此还款中的利息部分。
解;L=200a10+10（Ia）9v=1860.86
rB4=L（1+i）-（200S4+10（IS）3）=1337.84
4
r
I5=iB4=5%⨯1337.84=66.89
21.某贷款分10年偿还，首年末偿还额为当年贷款利息P,第2年末偿还额为2P,第3年末偿还额为3P,以此类推,贷款利率为i证明:
证明：
L=p（Ia）10⇒iL=p
Ia10=a∞
1
⇒p=ip（Ia）10⇒（Ia）10==a∞
i
22.某贷款分10期偿还，首期偿还为10，第二期为9，依此类推，第10次还款为1，证明第6次还款中的利息部分：
5-a。
解L=，B5=（Da（Da105I6=iB5=i（Da=5-a55
23.甲借款2000元，年利率10%，每年末还款一次，首次还款额为400元，以后每次还款额为400元，以后每次比上次多4%，最后的还款零头在最后一次规则还款一年后偿还，计算
（1）第三年末的贷款余额（还款后）；
（2）第三次还款中的本金部分。
322
⎡⎤（1+10%）-400（1+10%）+（1+4%）（1+10%）（+1+4%）解：
（1）2000⎣⎦=1287.76
p
p
（2）B2=2000（1+10%）-400（+1+4%）[1+10%）（]=1564
r
2
r
（3）I3=iB2=1564⨯10%=156.4
P3=R3-I3=400⨯（1+4%）2-156.4=276.24
24.甲在一基金中投资，年利率为i。
首年末，甲从基金中提出当年所得利息的162.5%；第二年末，甲从基金中提出当年所得利息的2⨯162.5%，，至第六年末，甲从基金中提出当年所得利息的16⨯162.5%，基金投资全部取完，计算i。
解：
设在基金中投资为L
L（1+i-1.625）（1+i-2⨯1.625）（1+i-3⨯1.625）（1+i-16⨯1.625）=0
则i=
1
=0.04
16⨯1.625-1
25.某贷款额为
a
，采用连续还款公式每年还款为1，共25年，若年贷款利率为5%。
计
算第6年至第10年的利息支出额。
解：
⎰
10
6
δBtdt=⎰δ⎰υdsdt=⎰
6
10n-t
s
10
6
υ25-t-1δt
lnυ
=2.252
26.证明并解释：
t（1+i）-=
a
n
t
a
t
n
解：
a1+i）-s=
t
1-υn
δ
υ+
-t
1-υ-t
δ
=a
n-t
tt
∴（1+i）-=n-t
a
n
a
n
27.某贷款为1，期限为10年，采取连续还款方式，每年的还款额使得这10年的贷款呈线性关系，即连续由1减至0，贷款年利率按δ=0.1计，计算：
（1）前5年还款中的本金部分；
（2）前5年还款中的利息部分。
解：
Bt=1-
t10
（1）B0-B5=1-1-
⎛⎝5⎫
⎪=0.510⎭
⎛
t⎫
（2）I5=
1-⎪dt=0.375⎰0δBtdt=⎰00.1⨯
⎝10⎭
55
28.某人借款为1万元，为期25年，年利率5%，采用偿债基金还款方式，偿债基金存款利率为4%，计算第13次付款中净利息与第9年偿债基金增长额之和。
解：
10000=DS25
0.04
NI13=Li-jDSj=355.68
k-18
NP9=D（1+j）=D（1+4%）=328.62
NI13+NP9=355.68+328.62=684.3
29.某人借款1万元，为期10年，年利率为5%，采用偿债基金法偿还贷款，偿债基金存款利率为3%,还款在每年末进行。
在第5次还款前，贷款人要求借款人一次性偿还贷款余额，计算借款人在第5年末的总的支出款（包括利息和本金）。
解：
由NB5=L-DS
5j
DS10j=L得
NB5=
La10j
a5j=5368.8
pa100.0=10000∴p=1295.25p+NB=66645
30．甲借款1万元，年利率10%，其偿债金年存款利率为8%。
第10年末，偿债基金积累额为5000元，第11年末，甲的还款支出额为1500元，计算：
（1）第11次还款中的利息部分；
（2）第11次还款中的本金部分；（3）第11次的净利息支出；（4）第11年的净本金支出额；（5）第11年末的偿债基金积累额。
解：
（1）iL=1000
（2）1500-1000=500（3）1000-400=600（4）=1500-600=900（5）5000+900=590031.证明：
an=
sn1+isnj
证明：
an=
anj
1+i-janj
⇒
1an=
1+（i-j）anj
anj
111+isnj
=i+-j=i+=
anjsnjsnj
则
an=
snj1+isnj
32.某项贷款为1万元，年利率为9%。
借款人在年末支付利息，且每年初向偿债基金存款X
元，存款利率为7%，第10年末偿债基金积累额达1万元计算X。
100.07=10000⇒x=676.43解：
xs
33甲借款人分10年偿还贷款，贷款利率为5%，每年还款1000元，贷款额的一半用分期偿还方式，贷款额的另一半按偿债基金方式还款，偿债基金存款利率为4%，计算贷款额。
L=p1a100.05⎧
⎪1+0.01a100.04L解：
⎨p2==L⎪aa100.04⎩
⇒p1+p2=
La100.05
+L
1+0.01a100.04
a100.04
=103
⇒2L=7610.48
34.某人借款12000元，为期10年，前5年每年计息2次的年名义利率12%，后5年为每年计息2次的年名义利率10%，借款人每半年末支付款项为1000元一部分作为贷款利息，领一部分作为偿债基金存款，偿债基金年名义存款利率为8%，每年计息两次，计算在第10年末，贷款额与偿债基金积累额之差。
解：
偿债基金积累额为：
5）
（2）⎤（n20.0852⎡（103-0.06L）s1+0.08）+（103-0.05L）s=9787.2（0.08⎦⎣
12000-9787.2=2292.8
35.某人每年末支付36000元偿还贷款，共31年，贷款额为40万元，若借款人按偿债基金法计算（偿债基金存款利率为3%），计算贷款人的贷款利率。
解：
（36000-400000i）s310.03=400000⇒i=0.07
36.甲借款10万元，期限为20年，已知：
（1）按偿债基金法还款，偿债基金存款利率为3%；
（2）首期支出款为X，发生在第1年末；
（3）以后每年末还款支出额比前一年增加50元，直至贷款期末；（4）贷款年利率为5%。
计算X。
55
解：
X-5%⨯10s0.03+50（IS）0.03=10
（）
X=8295.4
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