2、斯卢茨基方程
尽管希克斯需求函数或补偿需求函数不可以直接观察到,我们将看到,它的偏导数〔即马歇尔需求关于价格和收入的偏导数,可以从可观察到的事实计算出来。
这个关系称为斯卢茨基方程：
例题：
以柯布-道格拉期函数来检验斯卢茨基方程：
3、斯卢茨基方程分解：
<1>需求变化分解
斯卢茨基方程将由价格变动△pi引起的需求变动,分解为两种独立的效应：
替代效应和收入效应：
<2>斯卢茨基分解与希克斯分解的区别
第一种希克斯补偿性需求是我们先前定义的自然而然的扩展,即如果我们变动收入水平来恢复原来的效用水平,那么商品的需求将会发生什么样的变化。
第二种补偿需求的概念称为斯卢茨基补偿〔Slutskycompensation。
当价格从p变为p+△p时,相应调整收入使得恰好能买得起原来的消费水平,这就是斯卢茨基补偿.
第十章〔重点
Ø补偿变动和等价变动〔P170
Ø消费者剩余〔P173
1、补偿变动和等价变动
两种效用变化的度量方法,都是对价格变化的福利效应的合理度量。
第一种衡量方法称为等价变动。
这种方法使用当前价格作为基础价格,它求解的是在现行价格水平下,收入变化多少在效用上等价于拟定的变化。
第二种衡量方法称为补偿变动。
这种方法使用新价格作为基础价格,它求解的是收入应该变动多少,才能补偿价格的变动对消费者的影响。
〔补偿发生在政策变化之后,因此补偿变化使用变化之后的价格。
2、消费者剩余
衡量福利变化的经典工具就是消费者剩余。
如果x
作为价格的函数是某种物品的需求,那么与价格从p0变化到p′相关的消费者剩余为：
上式就是需求曲线左侧位于价格线p0和p′之间的面积。
可以证明当消费者的偏好可用拟线性效用函数表示时,消费者的剩余是一种精确衡量福利变动的方法。
更准确地说,当效用是拟线性的,补偿变化等于等价变化,而且这两种变化都等于消费者剩余的积分。
对于一般形式的效用函数来说,补偿变化不等于等价变化,消费者剩余就不再是福利变动的精确衡量方法。
然而,即使效用不是拟线性的,消费者的剩余也是更准确衡量方法的合理近似。
3、近似的消费剩余图形分析
如果我们研究的商品是正常商品,希克斯需求曲线的导数就会大于马歇尔需求曲线的导数,如图10.2所示。
由此可知马歇尔需求曲线左侧的面积以希克斯需求曲线左侧的面积为界。
在我们描述的情形中p0>p′,因此所有的面积都是正的。
由此可知,EV>CS>CV,其中CS表示消费者剩余。
第十一章〔简单了解
Ø风险规避及表示、风险溢价、阿罗·普拉特系数〔P188-189图形
1、风险规避
风险规避：
由于消费者偏好于获得抽彩的预期值,即如果彩票的期望效用
小于彩票期望值批x+<1-p>y的效用。
这种行为被称为风险规避行为。
2、阿罗.普拉特绝对风险规避度量
如果我们将期望效用函数二阶导数标准化,即用二阶导数除以一阶导数,我们得到了一种合理的衡量风险厌恶程度的方法,这种方法称为阿罗．普拉特的〔绝对风险规避的衡量方法。
绝对风险规避倾向随财政增加而递减,即当你变得更富有时,你将愿意接受以绝对美数量表示的更多赌博。
3、阿罗.普拉特相对风险规避度量
和以前一样,我们也可以问：
给定一定的财富水平,一个消费者在什么条件下才愿意比另一个消费者接受更多的较小相对博彩。
回顾前面使用过的类似分析,我们发现合适的度量是阿罗．普拉特的相对风险规避度量。
相对风险规避行为却随着财富的变化而更为不确定性。
4、普拉特定理
令A和B表示财富w的两个期望效用函数,它们都是可微的、递增的而且凹的函数,则下列性质是等价的。
第十三章
Ø求竞争企业的供给函数〔P230
Ø从单个企业推导行业的供给函数〔P232例子
Ø市场均衡：
加入税收因素,均衡价格、均衡产量如何变化〔P233+P243-P245
1、供给函数
由于竞争性企业将市场价格视为给定的,它的利润最大化问题非常简单。
它选择的产量y必然是下列问题的解：
反供给函数,以p表示,它衡量为使企业供给既定数量的产品市场价格必须为多少。
根据一阶条件可知,反供给函数为：
供给函数给出了在每个价格水平下的利润最大化的产量。
因此,供给函数y
必定恒等地满足一阶条件：
也必须满足二阶条件：
2、行业供给函数
行业供给函数是行业内所有企业供给函数之和。
如果yi
表示第i个企业的供给函数,企业总数为m个,则行业供给函数：
行业的反供给函数就是行业供给函数的反函数：
它给出了行业愿意供给某给定数量的最低价格。
由于每个企业选择的产量水平都要满足价格等于边际成本这个条件,产量相同的企业的边际成本必定也是相同的。
行业供给函数衡量行业产量和生产该产量的共同边际成本之间的关系。
例子：
不同成本函数
例：
相同成本函数
3、市场均衡
行业供给曲线衡量在任何价格水平下行业的总产量供给。
行业需求函数衡量在任何价格水平下对该行业产品的总需求。
均衡价格是需求量等于供给量时的价格。
例：
相同的成本函数厂商
4、加入税收因素后的均衡分析
需求价格pd是某商品需求者支付的价格；供给价格ps是该商品供给者得到的价格；它们之间的差额就是税收t或补贴。
〔1考虑数量税
的例题
〔2中级微观经济学中的关于加入税收因素后的均衡
在图23.6中,最初均衡时有PD=PS。
现在政府开始对生产者征税,这将使短期供给曲线向上移动,移动距离等于单位税额；在新的均衡状态下,需求者支付的价格上升为PD′,生产者得到的价格下降为PS′=PD′-t。
注意,这只是短期的情形,即行业中的企业数量固定不变。
在长期,由于该行业可以自由进出,行业的长期供给曲线是一条水平线,其高度为PD=PS=minAC。
因此,在长期,行业供给曲线向上移动意味着生产者将全部的税额转嫁给消费者。
稍微总结一下我们得到的结论：
在一个可以自由进出的行业中,征税会使消费者支付的价格上升,上升额度小于单位税额,这是因为生产者也承担了部分单位税额。
但在长期,征税会迫使某些企业退出该行业,因此供给减少,从而消费者承担了全部的税收。
第十四章
Ø垄断的均衡〔P248-249
Ø比较静态分析〔P251-252
Ø三种价格歧视〔P257,注意P263二级价格歧视的图形分析,好像也提到了三级价格歧视的公式和弹性之间的关系
1、垄断的均衡
〔1高级微观例题
垄断企业的利润最大化问题可以写为
令p表示反需求函数——为了销售出y单位产品必须索要的价格。
那么垄断企业销售y单位产品,它期望得到的销售收入为r=py。
我们可以这样提出垄断企业的利润最大化问题：
垄断企业的最优产量可用图14.1表示。
边际收入曲线为
。
由于根据假设可知
边际收入曲线必定位于反需求曲线的下方。
当y=0时,销售额外一单位产品带来的边际收入恰好就是p<0>。
然而,当y>0时,销售额外一单位产品带来的边际收入必定小于产品价格,这是因为增加销量的唯一方法是降低价格,这种价格的降低会影响边际以内的所有销售数量的收入。
垄断企业的最优产量必定位于边际收入曲线与边际成本曲线相交之处。
为了满足二阶条件,边际收入曲线必定从上方穿过边际成本曲线。
我们通常假定利润最大化的产量水平是唯一的。
给定产量水平,比如y*,企业索要的价格将为p.
〔2中级微观题：
垄断企业的利润最大化问题可以表示为
2、比较静态分析〔数学推导
我们从标准的比较静态计算可知,dy/dc的符号与一阶条件关于c的导数的符号相同。
容易看出,这个符号为负,因此我们可以断言：
当边际成本增加时,追求利润最大化的企业总是会减少产量。
我们更关注成本变化对价格的效应。
使用连锁法则可知：
由此表达式,可以容易看出上述两种特殊情形意味着什么。
如果需求是线性的,那么
如果需求函数的价格弹性是常数ε,
在线性需求曲线的情形下,成本增加之后有一半的成本转嫁到价格之上。
在需求函数的价格弹性为常数的情形,价格上升数额大于成本上升数额——需求越是缺乏弹性,转嫁的成本越多。
3、三类价格岐视
粗略地讲,价格歧视就是向消费者销售某种商品时,不同数量段制定不同的价格,这里的消费者可以是同一个消费者群体也可以是不同的消费者群体。
价格歧视的传统分类要归功于庇古〔Pigou,1920。
〔1第一类价格歧视,是卖方对每单位商品都索要不同的价格,使得每单位商品的价格等于消费者对该单位商品的最大支付意愿。
这种价格歧视也称为完全价格歧视。
〔2第二类价格歧视,
1定义：
是指价格根据购买的商品数量不同而不同,但不是对人的歧视——同一人购买不同的数量也要支付不同的价格。
这种价格歧视也称为非线性定价。
每个消费者面对的是相同的价目表,但是这个价目表中规定购买的数量不同价格也不同。
数量折扣或奖励是最常见的例子。
〔14.4式和〔14.15式是说企业会向低需求消费者索要他们的最高支付意愿,企业会向高需求消费者索要能诱使他们消费x2而不是x1的最高价格。
这意味着低需求消费者对商品的边际评价大于商品的边际成本。
因此他购买的数量是无效率的较小数量。
〔14.17式是说在最优的非线性价格上,高需求消费者的边际支付意愿等于边际成本。
因此高需求消费者消费的数量从社会角度看是最优数量。
2图形分析
价格歧视中的自我选择问题可以借助图形进行分析。
图14.3画出了两个消费者的需求曲线；为简单起见,假设边际成本为零。
图14.3A画出的是不存在自我选择问题的价格歧视。
企业将分别向高需求消费者和低需求消费者出售xho单位和xlo单位产品,售价分别等于这两个消费者各自的消费者剩余,也就是各自需求曲线下方的面积。
因此,高需求的消费者支付A+B+C,消费xho单位产品；低需求消费者支付A,消费xlo单位产品。
这种策略是可行的,但它是最优的吗？
答案是否定的：
如果垄断企业提供给低需求消费者稍微小一点的消费束,该企业损失的利润相当于图14.3B中黑色三角形区域那么大,但是却获得了相当于阴影梯形面积那么大的利润。
稍微减少提供给低需求消费者的消费束不会对利润的一阶条件产生影响,这是因为在xlo处边际支付意愿等于零。
然而,它在非边际上增加了利润,因为高需求消费者的支付意愿在这一点上大于零。
在低需求消费者的利润最大化的消费水平xlm处〔图14.3C,进一步降低价格使得从低需求消费者身上获得利润的边际下降p1,正好等于从高需求消费者身上获得利润的边际增加p2-p1。
〔注意,这一结论也可从〔14.18式推知。
最终的结果是低需求消费者支付A从而消费xlm,因此,他的消费者剩余为零；高需求消费者消费量为xho,这正是社会最优数量。
高需求消费者为此支付的钱数等于A+C+D,这使得他得到了消费者剩余B.
〔3第三类价格歧视,是指不同的消费者群体支付的价格不同,但是同一个消费者群体中的消费者对每单位商品支付的价格相同。
这也许是最常见的价格歧视的情形；常见的例子有对学生打折,或者一周内按照日期实施不同的价格。
第十五章
Ø了解基本博弈相关概念,通过讨价还价模型〔P292理解序贯博弈,会求解纳什均衡
1、囚徒困境
这个博弈中仍然有两个选手R和C,但是现在他们的利益只是部分冲突。
每个选手都有两个策略：
合作和背叛。
在最初版本的故事中,R和C是同案犯。
他们可以选择合作拒绝承认罪行,或者选择背叛从而供出另一方。
奥曼Aumann<1987>介绍了一个极其简单的囚犯的困境。
在这个博弈中,每个选手向仲裁人宣称：
"给我1000元,"或者"给对方3000元"。
注意,这里涉及的金钱来自第三方而不是就行博弈的选手；囚犯的困境是个变和博弈。
表15.2给出了Aumann版本的囚犯困境的收益矩阵,收益的单位为1000元。
2、纳什均衡
〔1定义
一个自然的一致性要求是,每个选手对于对方行为的信念和对方实际行为是一样的。
与实际频率一致的预期有时称为合理预期。
纳什均衡就是一种合理预期的均衡。
更正式地说：
〔2纳什均衡的计算
下面的博弈称为"性别大战〔Battleofthesexes"。
该博弈背后的故事是这样的。
Rhonda行选手和Calvin列选手〔以下简称R和C在讨论这学期是选择微观经济学还是宏观经济学课程。
如果都选择微观经济学,那么R的效用为2,C的效用为1；如果都选择宏观经济学,那么R的效用为1,C的效用为2；如果他们选择不同的课程,那么他们的效用都为零。
下面我们计算出这个博弈的所有纳什均衡解。
首先,我们寻找纯策略纳什均衡。
方法是系统地检验针对各种策略选择的最优反应。
假设C认为R会选择上。
C选择左的收益为1,选择右的收益为0,因此C会选择左,也就是说C对R选择上的最优反应是选择左。
另一方面,如果C选择左,容易看出R的最优反应是选择上。
这个推理过程表明〔上,左是一个纳什均衡。
类似地,〔下,右也是一个纳什均衡。
3、优势策略
令r1和r2为行的两个策略。
如果无论列选手怎么选择,行选手的r1的收益都严格大于r2的,那么我们说：
与r2相比,r1是优势策略。
如果行选手的r1的收益都至少与列选手的所有选择的收益一样大,而且严格大于列选手的某些选择的收益,那么我们说,与r2相比,r1是弱优势策略。
优势策略均衡是指选手们的一个策略选择组合比如,该策略组合要能使得：
与行选手的任何其他策略相比,r1是〔弱优势策略；与列选手的任何其他策略相比,c1是〔弱优势策略。
囚犯困境博弈拥有优势策略均衡,这个优势策略均衡是〔背叛,背叛。
如果我认为你合作,那么我选择背叛对我有利；如果我认为你背叛,我选择背叛仍然对我有利。
显然,优势策略均衡是纳什均衡,但是并非所有的纳什均衡都是优势策略均衡。
优势策略均衡〔如果存在的话,是个让人信服的博弈解,因为每个选手都有唯一的最优选择。
4、序贯博弈
在很多情形下,选手至少在某个选择上有先后顺序之分,一个选手可能在它决定自己的选择之前,知道其他选手的选择。
经济学家对这种博弈很感兴趣,因为很多经济博弈就有这样的结构：
例如,垄断企业在决定具体产量时,事先已知道消费者的选择；或者,在双头垄断的情形下,一个寡头在决定自己的产量决策前已知道对手的资本投资情况；等等。
为了描述这样的序贯博弈,有必要引入一个新的工具,即博弈树。
这是个树状图,它表明了每个时点上的每个选手的选择。
每个选手的收益是用博弈树的"树叶"表示,如图15.1所示。
这个博弈树是扩展形式的一部分,扩展形式是描述博弈的另外一种方法。
5、讨价还价模型
两个选手A和B要分1元钱。
他们同意最多花费三天时间协商如何分配。
第一天,A提出分配方案,B可以选择接受或不接受,如果B不接受,B需要在第二天提出分配方案。
如果A不接受,那么在第三天A需要提出最终分配方案。
如果他们在三天之内无法达成协议,这两个选手都只能得到零元钱。
A和B的耐心程度不同：
对于未来的收入,A和B分别用α和β的日贴现率贴现。
比如第二天的1元钱,在A和B看来分别只相当于现在的α元和β元。
最后,我们假设如果某个选手在两个分配方案之间无差异,他将会选择对手更喜欢的那个方案。
其中的思想在于,他的对手可能提出只分配给他任意小的钱,从而使他更偏好于某个选择,这个假设能让我们把这样的"任意小的数字"近似为零。
可以证明,这个讨价还价博弈存在着唯一一个子博弈完美均衡。
使用逆向归纳的思想,我们从博弈的最后阶段〔第三天的博弈开始分析。
在这个时点上,A提出的分配方案是"若不接受就滚远点"。
显然,A此时的最优策略是分配给B能接受的尽量小的数额〔根据假设,这个数额可以视为零。
因此,如果博弈实际进行了三天,A将会得到1元,B得到零元〔即任意小的数额。
现在回到上一步即第二天的博弈,当轮到B提出分配方案时,此时B应该认识到A的选择将是拒绝B提出的方案,这样A能确保自己得到1元钱。
第三天的1元钱对A来说,只相当于第二天的α元,因此如果B提出的分配方案中,分配给A的钱数小于α元,那么A必定会拒绝这个方案。
对于B来说,他当然偏好现在的1-α元胜于第三天的0元,所以他会提出分配α元给A,于是A会接受。
因此,如果博弈在第二天终止,那么A得到α元,B得到1-α元。
现在回到第一天。
在这个时点上,A提出分配方案。
A认识到只要B拒绝,那么B在第二天就能得到1-α元。
因此,为了避免将博弈拖到第二天,A提出的方案中,分配给B的现值不能小于1-α元。
因此,他承诺分配β<1-α>元给B。
B发现这个方案他刚好能接受,博弈结束。
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