(完整版)《概率论与数理统计》讲义.doc

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第一章随机事件和概率

第一节基本概念

1、排列组合初步

（1）排列组合公式

从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。

从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。

例1．1：

方程的解是

A． 4B．3C．2D．1

例1．2：

有5个队伍参加了甲A联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？

（2）加法原理（两种方法均能完成此事）：

m+n

某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。

（3）乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：

m×n

某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n种方法来完成，则这件事可由m×n种方法来完成。

例1．3：

从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？

例1．4：

6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？

例1．5：

用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法

A．120种 B．140种 C．160种 D．180种

（4）一些常见排列

①特殊排列

②相邻

③彼此隔开

④顺序一定和不可分辨

例1．6：

晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：

分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？

①3个舞蹈节目排在一起；

②3个舞蹈节目彼此隔开；

③3个舞蹈节目先后顺序一定。

例1．7：

4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？

例1．8：

5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？

①重复排列和非重复排列（有序）

例1．9：

5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？

②对立事件

例1．10：

七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？

例1．11：

15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？

例1．12：

有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？

③顺序问题

例1．13：

3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？

（有序）

例1．14：

3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？

（有序）

例1．15：

3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？

（无序）

2、随机试验、随机事件及其运算

（1）随机试验和随机事件

如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。

试验的可能结果称为随机事件。

例如：

掷一枚硬币，出现正面及出现反面；掷一颗骰子，出现“1”点、“5”点和出现偶数点都是随机事件；电话接线员在上午9时到10时接到的电话呼唤次数（泊松分布）；对某一目标发射一发炮弹，弹着点到目标的距离为0.1米、0.5米及1米到3米之间都是随机事件（正态分布）。

在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：

（1）每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；

（2）任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示，例如（离散）。

基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。

一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。

通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是的子集。

如果某个是事件A的组成部分，即这个在事件A中出现，记为。

如果在一次试验中所出现的有，则称在这次试验中事件A发生。

如果不是事件A的组成部分，就记为。

在一次试验中，所出现的有，则称此次试验A没有发生。

为必然事件，Ø为不可能事件。

（2）事件的关系与运算

①关系：

如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：

如果同时有，，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：

A=B。

A、B中至少有一个发生的事件：

AB，或者A+B。

属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者，它表示A发生而B不发生的事件。

A、B同时发生：

AB，或者AB。

AB=Ø，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。

基本事件是互不相容的。

-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为。

它表示A不发生的事件。

互斥未必对立。

②运算：

结合率：

A（BC）=（AB）CA∪（B∪C）=（A∪B）∪C

分配率：

（AB）∪C=（A∪C）∩（B∪C）（A∪B）∩C=（AC）∪（BC）

德摩根率：

，

例1．16：

一口袋中装有五只乒乓球，其中三只是白色的，两只是红色的。

现从袋中取球两次，每次一只，取出后不再放回。

写出该试验的样本空间。

若表示取到的两只球是白色的事件，表示取到的两只球是红色的事件，试用、表示下列事件：

（1）两只球是颜色相同的事件，

（2）两只球是颜色不同的事件，

（3）两只球中至少有一只白球的事件。

例1．17：

硬币有正反两面，连续抛三次，若Ai表示第i次正面朝上，用Ai表示下列事件：

（1）前两次正面朝上，第三次正面朝下的事件，

（2）至少有一次正面朝上的事件，

（3）前两次正面朝上的事件。

3、概率的定义和性质

（1）概率的公理化定义

设为样本空间，为事件，对每一个事件都有一个实数P（A），若满足下列三个条件：

1°0≤P（A）≤1，

2°P（Ω）=1

3°对于两两互不相容的事件，，…有

常称为可列（完全）可加性。

则称P（A）为事件的概率。

（2）古典概型（等可能概型）

1°，

2°。

设任一事件，它是由组成的，则有

P（A）==

例1．18：

集合A中有100个数，B中有50个数，并且满足A中元素与B中元素关系a+b=10的有20对。

问任意分别从A和B中各抽取一个，抽到满足a+b=10的a,b的概率。

例1．19：

5双不同颜色的袜子，从中任取两只，是一对的概率为多少？

例1．20：

在共有10个座位的小会议室内随机地坐上6名与会者，则指定的4个座位被坐满的概率是

A． B． C． D．

例1．21：

3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的概率？

（有序）

例1．22：

3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的概率？

（有序）

例1．23：

3白球，2黑球，任取2球，2白的概率？

（无序）

注意：

事件的分解；放回与不放回；顺序问题。

4、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯）

（1）加法公式

P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）

当P（AB）＝0时，P（A+B）=P（A）+P（B）

例1．24：

从0，1，…，9这十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率：

A＝“三个数字中不含0或者不含5”。

（2）减法公式

P（A-B）=P（A）-P（AB）

当BA时，P（A-B）=P（A）-P（B）

当A=Ω时，P（）=1-P（B）

例1．25：

若P（A）=0.5,P（B）=0.4,P（A-B）=0.3，求P（A+B）和P（+）.

例1．26：

对于任意两个互不相容的事件A与B，以下等式中只有一个不正确，它是：

（A）P（A-B）=P（A）（B）P（A-B）=P（A）+P（∪）-1

（C）P（-B）=P（）-P（B）（D）P[（A∪B）∩（A-B）]=P（A）

（E）p[]=P（A）-P（∪）

（3）条件概率和乘法公式

定义设A、B是两个事件，且P（A）>0，则称为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为。

条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。

例如P（Ω/B）=1P（/A）=1-P（B/A）

乘法公式：

更一般地，对事件A1，A2，…An，若P（A1A2…An-1）>0，则有

…………。

例1．27：

甲乙两班共有70名同学，其中女同学40名，设甲班有30名同学，而女生15名，问在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率。

例1．28：

5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开就扔掉，问以下事件的概率？

①第一次打开；②第二次打开；③第三次打开。

（4）全概公式

设事件满足

1°两两互不相容，，

2°，

则有

。

此公式即为全概率公式。

例1．29：

播种小麦时所用的种子中二等种子占2％，三等种子占1.5％，四等种子占1％，其他为一等种子。

用一等、二等、三等、四等种子播种长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，试求种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率。

例1．30：

甲盒内有红球4只，黑球2只，白球2只；乙盒内有红球5只，黑球3只；丙盒内有黑球2只，白球2只。

从这三只盒子的任意一只中任取出一只球，它是红球的概率是：

A．0.5625 B．0.5 C．0.45 D．0.375 E．0.225

例1．31：

100个球，40个白球，60个红球，不放回先后取2次，第2次取出白球的概率？

第20次取出白球的概率？

（5）贝叶斯公式

设事件，，…，及满足

1°，，…，两两互不相容，>0，1，2，…，，

2°，，

则

，i=1，2，…n。

此公式即为贝叶斯公式。

，（，，…，），通常叫先验概率。

，（，，…，），通常称为后验概率。

如果我们把当作观察的“结果”，而，，…，理解为“原因”，则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。

例1．32：

假定用甲胎蛋白法诊断肝癌。

设表示被检验者的确患有肝癌的事件，表示诊断出被检验者患有肝癌的事件，已知，，。

现有一人被检验法诊断为患有肝癌，求此人的确患有肝癌的概率。

5、事件的独立性和伯努利试验

（1）两个事件的独立性

设事件、满足，则称事件、是相互独立的（这个性质不是想当然成立的）。

若事件、相互独立，且，则有

所以这与我们所理解的独立性是一致的。

若事件、相互独立，则可得到与、与、与也都相互独立。

（证明）

由定义，我们可知必然事件和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。

（证明）

同时，Ø与任何事件都互斥。

（2）多个事件的独立性

设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，

P（AB）=P（A）P（B）；P（BC）=P（B）P（C）；P（CA）=P（C）P（A）

并且同时满足P（ABC）=P（A）P（B）P（C）

那么A、B、C相互独立。

对于n个事件类似。

两两互斥→互相互斥。

两两独立→互相独立？

例1．33：

已知，证明事件、相互独立。

例1．34：

A，B，C相互独立的充分条件：

（1）A，B，C两两独立

（2）A与BC独立

例1．35：

甲，乙两个射手彼此独立地射击同一目标各一次，甲射中的概率为0.9，乙射中的概率为0.8，求目标没有被射中的概率。

（3）伯努利试验

定义我们作了次试验，且满足

u每次试验只有两种可能结果，发生或不发生；

u次试验是重复进行的，即发生的概率每次均一样；

u每次试验是独立的，即每次试验发生与否与其他次试验发生与否是互不影响的。

这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努利试验。

用表示每次试验发生的概率，则发生的概率为，用表示重伯努利试验中出现次的概率，

，。

例1．36：

袋中装有α个白球及β个黑球，从袋中任取a+b次球，每次放回，试求其中含a

个白球，b个黑球的概率（a≤α，b≤β）。

例1．37：

做一系列独立试验，每次试验成功的概率为p，求在第n次成