(完整版)《概率论与数理统计》讲义.doc

1、第一章 随机事件和概率第一节 基本概念1、排列组合初步（1）排列组合公式 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。例11：方程的解是A 4 B 3 C 2 D 1例12：有5个队伍参加了甲A联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：mn某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由mn 种方法

2、来完成。例13：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？例14：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？例15：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A120种B140种 C160种D180种(4)一些常见排列 特殊排列 相邻 彼此隔开 顺序一定和不可分辨例16：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？3个舞蹈节目排在一起；3个舞蹈节目彼此隔开；3个舞蹈节目先后顺序一定

3、。例17：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？例18：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ 重复排列和非重复排列（有序）例19：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ 对立事件例110：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？例111：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？例112：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？ 顺序问题例113：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序）例114：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序）

4、例115：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序）2、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。例如：掷一枚硬币，出现正面及出现反面；掷一颗骰子，出现“1”点、“5”点和出现偶数点都是随机事件；电话接线员在上午9时到10时接到的电话呼唤次数（泊松分布）；对某一目标发射一发炮弹，弹着点到目标的距离为0.1米、0.5米及1米到3米之间都是随机事件（正态分布）。在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，

5、它具有如下性质：（1） 每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；（2） 任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示，例如（离散）。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，表示事件，它们是的子集。如果某个是事件A的组成部分，即这个在事件A中出现，记为。如果在一次试验中所出现的有，则称在这次试验中事件A发生。如果不是事件A的组成部分，就记为。在一次试验中，所出现的有，则称此次试验A没有发生。为必然事件，为不可能事件。（2）事件的关系与运算关系：如果事件A的组成

6、部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：如果同时有，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者，它表示A发生而B不发生的事件。A、B同时发生：AB，或者AB。AB=，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C 分配率：(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(

7、AC)(BC) 德摩根率： ，例116：一口袋中装有五只乒乓球，其中三只是白色的，两只是红色的。现从袋中取球两次，每次一只，取出后不再放回。写出该试验的样本空间。若表示取到的两只球是白色的事件，表示取到的两只球是红色的事件，试用、表示下列事件：（1）两只球是颜色相同的事件，（2）两只球是颜色不同的事件，（3）两只球中至少有一只白球的事件。 例117：硬币有正反两面，连续抛三次，若Ai表示第i次正面朝上，用Ai表示下列事件：（1）前两次正面朝上，第三次正面朝下的事件，（2）至少有一次正面朝上的事件，（3）前两次正面朝上的事件。3、概率的定义和性质（1）概率的公理化定义设为样本空间，为事件，对每一

8、个事件都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：1 0P(A)1， 2 P() =13 对于两两互不相容的事件，有常称为可列（完全）可加性。则称P(A)为事件的概率。（2）古典概型（等可能概型）1 ，2 。设任一事件，它是由组成的，则有P(A)= =例118：集合A中有100个数，B中有50个数，并且满足A中元素与B中元素关系a+b=10的有20对。问任意分别从A和B中各抽取一个，抽到满足a+b=10的a,b的概率。例119：5双不同颜色的袜子，从中任取两只，是一对的概率为多少？例120：在共有10个座位的小会议室内随机地坐上6名与会者，则指定的4个座位被坐满的概率是AB CD 例121：3白

9、球，2黑球，先后取2球，放回，2白的概率？（有序）例122：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的概率？（有序）例123：3白球，2黑球，任取2球，2白的概率？（无序）注意：事件的分解；放回与不放回；顺序问题。4、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯）（1）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)0时，P(A+B)=P(A)+P(B)例124：从0，1，9这十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率：A“三个数字中不含0或者不含5”。（2）减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B)当A=时，P()=1- P(B

10、)例125：若P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(A-B)=0.3，求P(A+B)和P(+).例126：对于任意两个互不相容的事件A与B， 以下等式中只有一个不正确，它是：(A) P(A-B)=P(A) (B) P(A-B)=P(A) +P()-1(C) P(-B)= P()-P(B) (D)P(AB)(A-B)=P(A) (E)p=P(A) -P()（3）条件概率和乘法公式定义 设A、B是两个事件，且P(A)0，则称为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如P(/B)=1P(/A)=1-P(B/A)乘法公式：更一般地，对事件

11、A1，A2，An，若P(A1A2An-1)0，则有。例127：甲乙两班共有70名同学，其中女同学40名，设甲班有30名同学，而女生15名，问在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率。例128：5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开就扔掉，问以下事件的概率？第一次打开；第二次打开；第三次打开。（4）全概公式设事件满足1两两互不相容，2，则有。此公式即为全概率公式。例129：播种小麦时所用的种子中二等种子占2，三等种子占1.5，四等种子占1，其他为一等种子。用一等、二等、三等、四等种子播种长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，试求种子所结的穗含有50颗以上麦粒

12、的概率。例130：甲盒内有红球4只，黑球2只，白球2只；乙盒内有红球5只，黑球3只；丙盒内有黑球2只，白球2只。从这三只盒子的任意一只中任取出一只球，它是红球的概率是：A0.5625B0.5C0.45D0.375 E 0.225例131：100个球，40个白球，60个红球，不放回先后取2次，第2次取出白球的概率？第20次取出白球的概率？（5）贝叶斯公式设事件，及满足1 ，两两互不相容，0，1，2，2 ，则，i=1，2，n。此公式即为贝叶斯公式。，（，），通常叫先验概率。，（，），通常称为后验概率。如果我们把当作观察的“结果”，而，理解为“原因”，则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“

13、由果朔因”的推断。例132：假定用甲胎蛋白法诊断肝癌。设表示被检验者的确患有肝癌的事件，表示诊断出被检验者患有肝癌的事件，已知，。现有一人被检验法诊断为患有肝癌，求此人的确患有肝癌的概率。5、事件的独立性和伯努利试验（1）两个事件的独立性设事件、满足，则称事件、是相互独立的（这个性质不是想当然成立的）。 若事件、相互独立，且，则有所以这与我们所理解的独立性是一致的。若事件、相互独立，则可得到与、与、与也都相互独立。（证明）由定义，我们可知必然事件和不可能事件与任何事件都相互独立。（证明） 同时，与任何事件都互斥。（2）多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(

14、A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。对于n个事件类似。两两互斥互相互斥。两两独立互相独立？例133：已知，证明事件、相互独立。例134：A，B，C相互独立的充分条件：（1）A，B，C两两独立（2）A与BC独立例135：甲，乙两个射手彼此独立地射击同一目标各一次，甲射中的概率为0.9，乙射中的概率为0.8，求目标没有被射中的概率。（3）伯努利试验定义 我们作了次试验，且满足u 每次试验只有两种可能结果，发生或不发生；u 次试验是重复进行的，即发生的概率每次均一样；u 每次试验是独立的，即每次试验发生与否与其他次试验发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努利试验。用表示每次试验发生的概率，则发生的概率为，用表示重伯努利试验中出现次的概率，。例136：袋中装有个白球及个黑球，从袋中任取a+b次球，每次放回，试求其中含a个白球，b个黑球的概率（a，b）。例137：做一系列独立试验，每次试验成功的概率为p，求在第n次成