小数的初步认识知识点三部分知识点.docx
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小数的初步认识知识点三部分知识点
小数的初步认识知识点【三部分知识点】
小数的初步认识知识点【三部分知识点】
解析几何、复数、立体几何
知识点整理-------老刘祝大家周末愉快!
别忘记好好做周末卷哦!
一、直线和圆
1.直线倾斜角与斜率的存在性及其取值范围;
直线方向向量的意义(a=λ(1,k)或λ(0,1)(λ≠0))及其直线方程的向量式
((x-x0,y-y0)=λa(a为直线的方向向量)).
应用直线方程的点斜式、斜截式设直线方程时,一般可设直线的斜率为k,但你是否注意到直线垂直于x轴时,即斜率k不存在的情况?
2.知直线纵截距b,常设其方程为y=kx+b或x=0;知直线横截距x0,常设其方程为x=my+x0(直线斜率k存在时,m为k的倒数)或y=0.知直线过点(x0,y0),常设其方程为y=k(x-x0)+y0或x=x0.
注意:
(1)直线方程的几种形式:
点斜式、斜截式、两点式、截矩式、一般式、点方向式、点法向式.以及各种形式的局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截矩式呢?
)★好用的直线系:
与直线l:
Ax+By+C=0平行的直线可表示为Ax+By+C1=0;与直线l:
Ax+By+C=0垂直的直线可表示为Bx-Ay+C1=0;过点P(x0,y0)与直线l:
Ax+By+C=0平行的直线可表示为:
A(x-x0)+B(y-y0)=0;
过点P(x0,y0)与直线l:
Ax+By+C=0垂直的直线可表示为:
B(x-x0)-A(y-y0)=0.
(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.
直线两截距相等⇔直线的斜率为-1或直线过原点;
直线两截距互为相反数⇔直线的斜率为1或直线过原点;直线两截距绝对值相等⇔直线的斜率为±1或直线过原点.
(3)在解析几何中,研究两条直线的位置关系时,有可能这两条直线重合,而在立体几何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重合.
3.相交两直线的夹角:
夹角特指相交两直线所成的较小角,范围是(0,],
2夹角公式tanθ=|
k1-k21+k1k2
|=|
A1B2-A2B1A1A2+B1B2
|,
4.
点到直线的距离公式d=.
特别:
l1⊥l2⇔k1k2=-1(k1、k2都存在时)⇔A1A2+B1B2=0;
l1//l2⇔
=kAB=AB
;(k、k都存在时)⇔{{bk≠bAC≠AC
AB=ABk=k
l、l重合⇔{(k、k都存在时)⇔{b=bAC=AC或BC
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
1
2
11
2
2
1
1
2
1
2
2
2
1
1
2
=B2C1
.
5.圆的方程:
最简方程x2+y2=R2;标准方程(x-a)2+(y-b)2=R2;
一般式方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0);参数方程
{
x=Rcosθ
(θ为参数);
y=Rsinθ
直径式方程(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
注意:
(1)
在圆的一般式方程中,圆心坐标和半径分别是(-,-),R=22
(2)圆的参数方程为“三角换元”提供了样板,常用三角换元有:
x+y=1→x=cosθ,y=sinθ,
x+y=2→x=
2
2
2
2
.
22
θ,y=θ
,
x+y≤1→x=rcosθ,y=rsinθ(0≤r≤1),
x+y≤
2→x=rcosθ,y=rsinθ(0≤r≤
2
2
.
6.解决直线与圆的关系问题有“函数方程”和“数形结合思想”两种思路,等价转化求解,重要的是发挥“圆的平面几何性质(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)的作用!
”
(1)过圆x2+y2=R2上一点P(x0,y0)圆的切线方程是:
xx0+yy0=R2,过圆(x-a)2+(y-b)2=R2上一点P(x0,y0)圆的切线方程是:
(x-a)(x0-a)+(y-a)(y0-a)=R,
2
过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)上一点P(x0,y0)圆的切线方程是:
xx0+yy0+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0.
22
如果点P(x0,y0)在圆外,那么上述直线方程表示过点P两切线上两切点的“切点弦”方程.
如果点P(x0,y0)在圆内,那么上述直线方程表示与圆相离且垂直于O1P(O1为圆心)的直线方程,|O1P|⋅d=R2(d为圆心O1到直线的距离).
7.曲线C1:
f(x,y)=0与C2:
g(x,y)=0的交点坐标⇔方程组
{gf((xx,,yy))==00的解;
过两圆C1:
f(x,y)=0、C2:
g(x,y)=0交点的圆(公共弦)系为f(x,y)+λg(x,y)=0,当且仅当无平方项时,f(x,y)+λg(x,y)=0为两圆公共弦所在直线方程.
二、圆锥曲线
1.椭圆、双曲线、抛物线
2.圆锥曲线的几何性质:
圆锥曲线的对称性、圆锥曲线的范围、圆锥曲线的特殊点线、.重视“特征直角三角形、焦半径的最值、焦点弦的最值及其‘顶点、焦点、准线等相互之间与坐标系无关的几何性质’”,尤其是双曲线中焦半径最值、焦点弦最值的特点.注意:
等轴双曲线的意义和性质.
3.在直线与圆锥曲线的位置关系问题中,有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路,等价转化求解.特别是:
①直线与圆锥曲线相交的必要条件是他们构成的方程组有实数解,当出现一元二次方程时,务必“判别式≥0”,尤其是在应用韦达定理解决问题时,必须先有“判别式≥0”.
②直线与抛物线(相交不一定交于两点)、双曲线位置关系(相交的四种情况)的特殊性,应谨慎处理.
③在直线与圆锥曲线的位置关系问题中,常与“弦”相关,“平行弦”问题的关键是“斜率”、“中点弦”问题关键是“韦达定理”或“小小直角三角形”或“点差法”、“长度(弦长)”问题关键是长度(弦长)公式
(|AB|=|AB|=
|x2-x2|=
|a|
|AB|=y1-y2|=
|a|
④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”,那么可选择应用“斜率”为桥梁转化.(共线)
4.要重视常见的寻求曲线方程的方法(待定系数法、定义法、直接法、代入法、参数法、交轨法、向量法等),以及如何利用曲线的方程讨论曲线的几何性质(定义法、几何法、代数
法、方程函数思想、数形结合思想、分类讨论思想和等价转化思想等),这是解析几何的两类基本问题,也是解析几何的基本出发点.
注意:
①如果问题中涉及到平面向量,那么应从已知向量的特点出发,考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化,还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化.
②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.
③在与圆锥曲线相关的综合题中,常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.
三、复数
1、i的周期性:
i4=1,所以,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4nn∈Z)
i
4n
+i
4n+1
+i
4n+2
+i
4n+3
=0(n∈Z)
2、复数的代数形式:
a+bi(a,b∈R),a叫实部,b叫虚部,实部和虚部都是实数。
C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集。
NZQRC.
3、复数相等:
a+bi=c+di⇔a=c且b=d;a+bi=0⇔a=0且b=0
⎧实数(b=0)
⎪
4、复数的分类:
复数Z=a+bi⎨⎧一般虚数(b≠0,a≠0)
⎪虚数(b≠0)⎨
⎩纯虚数(b≠0,a=0)⎩
虚数不能比较大小,只有等与不等。
即使是3+i,6+2i也没有大小。
5、复数的模:
若向量OZ表示复数z,则称OZ的模r为复数z的模,
z=|a+bi|=
z1z2
z1z2
;
积或商的模可利用模的性质
(1)z1⋅zn=z1⋅z2⋅⋅zn,
(2)6、复数的几何意义:
=
(z
2
≠0)
7其中x轴叫做实轴,
y实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数
8、复数代数形式的加减运算
复数z1与z2的和:
z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.(a,b,c,d∈R)复数z1与z2的差:
z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.(a,b,c,d∈R)复数的加法运算满足交换律和结合律
数加法的几何意义:
复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R);OZ=OZ1+OZ
2
=(a,b)+(c,
d)=(a+c,b+d)=(a+c)+(b+d)i
复数减法的几何意义:
复数z1-z2的差(a-c)+(b-d)iZ2Z1=OZ1-OZ2,两个
复数的差z-z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.
=zB-zA.,z=AB=z9.特别地,z-zA为两点间的距离。
BABAB
|z-z1|=|z-z2|z对应的点的轨迹是线段Z1Z2的垂直平分线;|z-z0|=r,z对应的点的
轨迹是一个圆;|z-z1|+|z-z2|=2a(Z1Z2
|z-z1|-|z-z2|=2a(Z1Z22a),z对应的点的轨迹是双曲线。
z1-z2≤z1±z2≤z1+z2
10、显然有公式:
z1+z2
2
+z1-z2
2
=2z1
(
2
+z2
2
)
11、复数的乘除法运算:
复数的乘法:
z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.(a,b,c,d∈R)复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。
*
实数集R中正整数指数的运算律,在复数集C中仍然成立.即对z,z,z∈C及m,n∈N有:
123mnm+nmnmnnnnzz=z,(z)=z,(zz)=zz.
1212复数的除法:
z1z2
=(a+bi)÷(c+di)=
a+bic+di
=
ac+bdc+d
2
2
+
bc-adc+d
2
2
i(a,b,c,d∈R),分母实
数化是常规方法
12、共轭复数:
若两个复数的实部相等,而虚部是互为相反数时,这两个复数叫互为共轭复数;特别地,虚部不为0的两个共轭复数也叫做共轭虚数;
z=a+bi,z=a-bi(a,b∈R),两共轭复数所对应的点或向量关于实轴对称
。
z=|z|=
2
2
z⋅z=a+b∈R,z⋅z=z
1i
22
=z,z1±z2=z1±z2,z1⋅z2=z1⋅z2,
1+i1-i
⎛z1⎫z1
=⎪z⎝2⎭z2
1-i1+i
=-i
22
13、熟记常用算式:
=-i,(1+i)=2i,(1-i)=-2i,
=i,
14、复数的代数式运算技巧:
1+i
2
2
(1)①
(1+i)=2i
②
(1-i)=-2i
③1-i
=i
1-i
④1+i
=-i
ω=-
(2)“1”的立方根
12
±
32
i
的性质:
ω+
1=-1
1=ω
①ω=1②ω
32
=ω③1+ω+ω
2
=0④
ω
⑤ω
15、实系数一元二次方程的根问题:
(1)当∆=b2-4ac≥0时,方程有两个实根x1,x2。
(2)当∆=b2-4ac
此时有x1
2
2
=x2=x1x2=
ca
且x1,2=
-b±
2a
-∆i
。
注意两种题型:
(1)x1-x2
(2)x1+x2
四、直线、平面、简单多面体(后面的一并给你)
1.计算异面直线所成角
2.计算直线与平面所成的角3.计算二面角的大小主要有:
定义法(先作其平面角后计算大小)、公式法(cosθ=
S影S原
)、
向量法(两平面法向量的夹角)、
等价转换法等等.二面角平面角的主要作法有:
定义法(取点、作垂、构角)、三垂线法(两垂一连,关键是第一垂(过二面角一个面内一点,作另一个面的垂线))、垂面法.
4.计算距离的主要有:
定义法(先作垂线段后计算)、等积法、转换法(平行换点、换面)等.
5.空间平行垂直关系的证明,主要依据相关定义、公理、定理和空间向量进行,模式是:
线线关系
线面关系
面面关系,请重视线面平行关系、线面垂直关系(三垂线定理
及其逆定理)的桥梁作用.注意:
书写证明过程需规范.
特别声明:
①证明计算过程中,若有“中点”等特殊点线,则常借助于“中位线、重心”等知识转化.
②在证明计算过程中常将运用转化思想,将具体问题转化(构造)为特殊几何体(如三棱锥、正方体、长方体、三棱柱、四棱柱等)中问题,并获得去解决.③如果根据已知条件,在几何体中有“三条直线两两垂直”,那么往往以此为基础,建立空间直角坐标系,并运用空间向量解决问题.
6.直棱柱、正棱柱、平行六面体、长方体、正方体、正四面体、棱锥、正棱锥关于侧棱、侧面、对角面、平行于底的截面的几何体性质.
如长方体中:
对
角线长l=
,棱长总和为4(a+b+c),全(表)面积为
2
2
2
2
2(ab+bc+ca),(结合(a+b+c)=a+b+c+2ab+2bc+2ca可得关于他们的等量
关系,结合基本不等式还可建立关于他们的不等关系式),cos2α+cos2β+cos2γ=2
(1);如三棱锥中:
侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)⇔顶点在底上射影为底面外心,侧棱两两垂直(两对对棱垂直)⇔顶点在底上射影为底面垂心,斜高长相等(侧面与底面所成相等)且顶点在底上在底面内⇔顶点在底上射影为底面内心.
如正四面体和正方体中:
arccos
7.求几何体体积的常规方法是:
公式法、割补法、等积(转换)法、比例(性质转换)法等.注意:
补形:
三棱锥⇒三棱柱⇒平行六面体分割:
三棱柱中三棱锥、四三棱锥、三棱柱的体积关系是.
8.多面体是由若干个多边形围成的几何体.棱柱和棱锥是特殊的多面体.
正多面体的每个面都是相同边数的正多边形,以每个顶点为其一端都有相同数目的棱,这样的多面体只有五种,即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.关于多面体的概念间有如下关系:
⊃⊃⊃
{多面体}≠{简单多面体}≠{凸多面体}≠{正多面体};
⊃⊃⊃⊃{凸多面体}≠{棱柱}≠{直棱柱}≠{正棱柱}≠{正方体};
⊃⊃{凸多面体}≠{棱锥}≠{正棱锥}≠{正四面体}.
⊃
欧拉公式(V+F一E=2)是简单多面体的重要性质,在运用过程中应重视“各面的边数总和等于各顶点出发的棱数总和、等于多面体棱数的两倍”.“简单多面体各面的内角总和是(V-2)×3600”.
过一个顶点有n条棱,每个面是m边形的一般方法是什么?
看看-----很有趣!
如果让你画,你能画出来吗?
?
?
10.球是一种常见的简单几何体.球的位置由球心确定,球的大小仅取决于半径的大小.球包括球面及球面围成的空间区域内的所有的点.球面是到球心的距离等于定长(半径)的点的集合.球的截面是圆面,其中过球心的截面叫做大圆面.球面上两点间的距离,是过这两点的大圆在这两点间的劣弧长,计算球面距离的关键是“根据已知经纬度等条件,先寻求球面上两点间的弦长”,因为此弦长既是球面上两点间的弦长,又是大圆上两点间的弦长.注:
“经度是‘小小半径所成角’,纬度是‘大小半径的夹角’”.
球体积公式V=
43
πR,球表面积公式S=4πR,是两个关于球的几何度量公式.它们
32
都是球半径及的函数.解决球的相关问题务必注意球的几何性质(尤其是“球的半径、球心截面距、小圆半径构成直角三角形”;球与多面体相切或相接时,组合体的特殊关联关系).