离散数学考前复习ppt.ppt

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离散数学数学与信息科学学院v第一部分数理逻辑v第二部分集合论v第三部分图论v第四部分抽象代数离散数学第一部分数理逻辑数理逻辑是用数学方法研究推理中前提和结论之间的形式关系的学科。

推理是由一个或几个判断推出一个新判断的思维形式。

数学方法是指建立一套表意符号体系，对具体事物进行抽象的形式研究的方法。

v第一章命题逻辑v第二章一阶谓词逻辑第一部分数理逻辑v1.1命题和命题联结词v1.2命题公式及其赋值v1.3等值演算与联结词完备集v1.4析取范式与合取范式v1.5推理的形式结构v1.6自然推理系统P第一章命题逻辑1.命题：

能判断真假的陈述句。

包含两层意思：

（1）必须是陈述句。

（2）能够确定（分辨）其真值。

1.1命题和命题联结词1.1命题和命题联结词2.命题的真值：

判断结果注意：

此处不纠缠具体命题的真假问题，只是将其作为数学概念来处理。

真值：

真用T或1表示，假用F或0表示。

3.命题和真值的符号化1.1命题和命题联结词1.1命题和命题联结词原子命题：

不能被分解为更简单的陈述句复合命题：

原子命题通过联结词联结而成例：

2是有理数是不对的；2是偶素数；2或4是素数；如果2是素数，则3也是素数；2是素数当且仅当3也是素数。

p：

2是有理数，q：

2是偶数，r：

2是素数，s：

3是素数，t：

4是素数。

1.1命题和命题联结词4、命题联结词ppTFFT1.1命题和命题联结词pqpqFFFFTFTFFTTT王化不但成绩好而且品德好。

pq：

1.1命题和命题联结词pqpqFFFFTTTFTTTT1.1命题和命题联结词开关坏了或灯泡坏了。

pq：

例：

1.张晓婧爱唱歌或爱听音乐。

2.张晓婧是内蒙人或是陕西人。

3.张晓婧只能挑选202或203房间。

1.1命题和命题联结词注意：

当排斥或两边的情况实际根本不可能同时发生的时候，排斥或也可抽象为。

但为了方便起见一般不这样抽象。

pqpqFFTFTTTFFTTT有位父亲对儿子说：

“如果我去书店，就一定给你买电脑报“。

问：

在什么情况下，父亲算失信呢？

1.1命题和命题联结词注意：

“只要p，就q，因为p，所以q”，“p仅当q”，只有q，才p“，”除非q才p“，”除非q，否则非p“都可抽象为pq。

p，q可以没有任何内在联系。

例：

1.如果336，那么雪是白的。

2.除非我能工作完成了，我才去看电影。

3.只要天下雨，我就回家。

4.我回家仅当天下雨。

pq的逻辑关系为q是p的必要条件或p是q的充分条件。

1.1命题和命题联结词pqpqFFTFTFTFFTTT1.1命题和命题联结词pq的逻辑关系为p与q互为充要条件例：

1.3是有理数当且仅当加拿大位于亚洲。

2.两圆的面积相等，则他们的半径相等，反之亦然。

pqpqFFFFTTTFTTTF1.1命题和命题联结词例：

今天第一节课上离散数学或数据结构。

例：

p：

北京比天津人口多q：

224r：

乌鸦是黑色的1.1命题和命题联结词5、语句形式化1.1命题和命题联结词例：

2是有理数是不对的；2是偶素数；2或4是素数；如果2是素数，则3也是素数；2是素数当且仅当3也是素数。

p：

2是有理数，q：

2是偶数，r：

2是素数，s：

3是素数，t：

4是素数。

p不对；q且r；r或t；如果r，则s；r当且仅当s。

1.1命题和命题联结词命题常元：

表示具体确定内容的命题。

命题变元：

表示不确定具体内容的命题。

1.2命题公式及其赋值1.2命题公式及其赋值同时约定：

（1）最外层的括号可以省去。

（2）不影响运算次序的括号也可以省去。

1.2命题公式及其赋值1.2命题公式及其赋值1.2命题公式及其赋值1.2命题公式及其赋值1.2命题公式及其赋值1.3命题公式的等值式基本等值式（基本等值式（A，B，C为任意命题公式）为任意命题公式）1.3命题公式的等值式1.3命题公式的等值式因A，B，C可以代入任意的命题公式，故以上等值式称为等值式模式。

由已知的等值式推演出另外一些等值式的过程为等值演算。

1.3命题公式的等值式等值演算的应用：

1.验证等值式2.判定公式的类型3.解决工作生活中的判断问题1.3命题公式的等值式甲、已、丙3人根据口音对王教授是哪人进行了判断：

甲说：

王教授不是苏州人，是上海人已说：

王教授不是上海人，是苏州人丙说：

王教授既不是上海人，也不是杭州人结果3人中有一人全对，一人对一半，一人全错。

问王教授是哪人？

联结词的完备集n个命题变元可以形成22n个不同的真值函数对于每个真值函数，都可以找到许多与之等值的命题公式，而每个命题公式对应唯一的与之等值的真值函数。

定义.设S是一个联结词集合，如果任何n（n1）元真值函数都可以由仅含S中的联结词构成的公式表示，则称S是联结词完备集。

联结词的完备集1.4析取范式与合取范式定义：

命题变元及其否定统称为文字。

仅由有限个文字构成的析取式称为简单（质）析取式。

仅由有限个文字构成的合取式称为简单（质）合取式。

注意：

单个文字既是简单析取式又是简单合取式。

讨论：

设A为含n个文字的简单析取式若A中同时含pi和pi，则？

若A为永真式，则？

若A为永真式，则A中必同时含有pi和pi，反之亦然。

同理有，若A为简单合取式，A为永假式的充要条件是A中同时含有pi和pi。

定理1.一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含有某个命题变元及其他的否定。

一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含有某个命题变元及其他的否定。

1.4析取范式与合取范式定义：

由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式。

由有限个简单析取式构成的合取式称为合取范式。

析取范式与合取范式称为范式。

注意：

单个文字、简单析取式、简单合取式都既是析取范式又是合取范式。

1.4析取范式与合取范式定理2.一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式为矛盾式。

一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式为重言式。

定理3.任一命题公式都存在与之等值的析取范式和合取范式。

范式的求法：

消去公式中的蕴涵、等价和异或联结词使用双重否定律和德摩根律，将公式中出现的否定词移到命题变元之前。

利用分配律、结合律将公式化为合（析）取范式。

范式形式不唯一。

1.4析取范式与合取范式定义：

在含有n个命题变元的简单合（析）取式中，若每个命题变元和它的否定式不同时出现，而二者之一必出现且仅出现一次，且第i个命题变元或它的否定是出现在从左算起的第i位上（字典序），称这样的简单合（析）取式为极小（大）项。

性质：

n个变元可以形成2n个极小（大）项；每个极小（大）项有且仅有一个成真（假）赋值；每组赋值下仅有一个极小（大）项为真（假）；所有极小（大）项的析（合）取为真（假）；1.4析取范式与合取范式将极小项的成真赋值对应的二进制数转化为十进制数为i，将对应的极小项记为mi。

将极大项的成假赋值对应的二进制数转化为十进制数为i，将对应的极大项记为Mi。

定义：

设由n个命题变元构成的析（合）取范式中所有的简单合（析）取式都是极小（大）项，则称该析取范式为主析（合）取范式。

1.4析取范式与合取范式定理.任何命题公式都存在与之等值的主析取范式和主合取范式，并且是唯一的。

1.4析取范式与合取范式公式法：

求析取范式用同一律补进未出现的命题变元消去永假或重复出现的变元和极小项将极小项按下标从小到大排列真值表法：

列出公式及各极小项的真值表，将每组赋值下公式及极小项真值都为真的极小项进行析取。

主析取范式的求法：

1.公式法2.真值表法1.4析取范式与合取范式应用：

1.求公式的成真、成假赋值成真赋值为析取范式中所含极小项的编码的二进制数成假赋值为合取范式中所含极大项的编码的二进制数由主析取范式可以直接求主合取范式：

1求出主析取范式中未包含的极小项2求出与1中求出的极小项下标相同的极大项3做2中极大项之合取1.4析取范式与合取范式3.判断两公式是否等值若A，B共含有n个命题变元，按n个命题变元求出A与B的主析取范式A、B，若AB，则AB.2.判断公式的类型设A含有n个命题变元A为重言式当且仅当A的主析取范式含全部2n个极小项；A为矛盾式当且仅当A的主析取范式不含任何极小项，此时记为0；A为可满足式当且仅当A的主析取范式中至少含一个极小项。

例：

要在A，B，C中挑选2名出国进修，选派时满足下列条件：

若A去，则C同去若B去，则C不能去若C不去，则A或B可以去问有几种选派方案，分别是什么？

4.解决实际问题1.4析取范式与合取范式1.5推理的形式结构注意：

推理正确实际是排除前提真结论假的情况推理是否正确与前提的排列顺序无关推理正确并不能保证B一定为真1.5推理的形式结构推理的形式结构1.5推理的形式结构例：

若下午温度超过30度，则王晓燕必去游泳。

若她去游泳，她就不会去看电影。

所以若王晓燕没去看电影，下午温度必超过了30度。

p：

温度超过30度q：

王晓燕去游泳r：

王晓燕去看电影1.5推理的形式结构1.5推理的形式结构注意：

以上都是蕴含式模式若某推理的形式结构与某定律一致，则推理正确成立的等值式可产生两条定律推理定律可产生相应的推理规则1.5推理的形式结构1.6自然推理系统P定义.一个形式系统I由以下4部分组成：

非空的字母表，记作A（I）A（I）中符号构成的合式公式集，记作E（I）E（I）中特殊的公式组成的公理集，记作Ax（I）推理规则集，记作R（I）任给的前提，应用规则得到结论（可能真）任给的公理，应用规则得到结论（永真）1.6自然推理系统P1.6自然推理系统P例：

若小王是理科生，则他的数学成绩一定很好。

如果小王不是理科生，他一定是文科生。

小王的数学成绩不好。

所以小王是文科生。

p：

小王是理科生q：

小王是文科生r：

小王的数学成绩很好1.6自然推理系统P例：

如果小张和小王去看电影，则小李也去看电影。

小赵不去看电影或小张去看电影。

小王去看电影。

所以，当小赵去看电影时，小李也去。

p：

小张去看电影q：

小王去看电影r：

小李去看电影s：

小赵去看电影1.6自然推理系统P2.归谬法将结论的否定作为前提引入，能推出矛盾来，则推理正确例：

如果马会飞或羊不吃草，则母鸡就会是飞鸟。

如果母鸡是飞鸟，那么烤熟的鸭子还会跑。

烤熟的鸭子不会跑。

所以羊吃草。

p：

马会飞q：

羊吃草r：

母鸡是飞鸟s：

烤熟的鸭子会跑1.6自然推理系统P所有的人总是要死的。

苏格拉底是人。

所以苏格拉底是要死的。

p:

q:

r:

第二章谓词逻辑第二章谓词逻辑v2.1一阶逻辑命题符号化v2.2一阶逻辑公式及解释v2.3一阶逻辑等值式与置换规则v2.4一阶逻辑前束范式v2.5一阶逻辑的推理理论2.1一阶逻辑命题符号化1.个体词所研究对象中可以独立存在的具体的或抽象的客体（事物）表示具体的或特定的客体表示抽象或泛指的客体个体变项的取值范围称为个体域，用D表示宇宙间一切事物组成的称为全总个体域2.谓词用来刻划个体词性质及个体词之间相互关系的词2是有理数x是无理数小王与小李同岁x与y具有关系L是有理数是无理数与同岁与具有关系LF：

G：

H：

L：

2.1一阶逻辑命题符号化3.量词：

个体词之间的数量关系

（1）全称量词“一切的”，“所有的”，“每一个”，“任意的”，“凡”，“都”记作4.符号化确定个体域确定个体词、量词和谓词确定联结词2.1一阶逻辑命题符号化例：

所有的人都是要死的。

有的人用左手写字。

注意：

全称量词的特性谓词必须作为蕴涵式的前件引入存在量词的特性谓词必须作为合取式的合取项引入同一命题，不同的个体域符号化的形式可能不同未指明个体域即为全总个体域2.1一阶逻辑命题符号化例：

在美国留学的学生未必都是亚洲人。

有的兔子比所有的乌龟跑的快。

对任意的整数x，都存在整数y使得xy10。

注意：

多个量词出现时，顺序一般不能随便换有些命题符号化形式不唯一2.1一阶逻辑命题符号化2.2一阶逻辑公式及解释2.2一阶逻辑公式及解释合式公式也称谓词公式，简称公式2.2一阶逻辑公式及解释2.2一阶逻辑公式及解释2.2一阶逻辑公式及解释2.2一阶逻辑公式及解释定理.闭式在任何解释下都变成命题。

2.2一阶逻辑公式及解释2.2一阶逻辑公式及解释定理.重言式的代换