沪教版初一下数学详细讲义详细版.doc
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第十二章实数
第1讲实数的概念
【知识要点】
1.无理数：
无限不循环小数叫做无理数,也就是不能用两整数比表示的数.
无理数可分为正无理数和负无理数.只有符号不同的两个无理数是互为相反数.
2.实数：
有理数和无理数统称为实数.
3.实数分类：
【学习目标】
理解无理数、实数的概念
【典型例题】
【例1】下列表述是否正确,并说明理由：
（1）一个实数,不是正数,就是负数.
（2）有限小数都是有理数,无限小数都是无理数.
（3）一个有理数不是整数,就是负数.（4）一个无理数,不是正数就是负数.
（5）一个实数不是有理数,就是无理数.
【分析】利用实数、有理数、无理数的概念.
【解答】因为零是实数,但它既不是正数也不是负数,在
（1）的实数分类中并没有把零包括在内,所以
（1）不正确.
无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数,而无限循环小数是有理数,所以
（2）不正确.
因为零是有理数,它既不是正数也不是负数,在（3）的有理数分类中没有把零包括在内,所以（3）不正确.
无理数可分为正无理数和负无理数,所以（4）正确.
实数是有理数与无理数的统称,所以（5）正确.
【注】零在实数中仍是正、负数的分界点,不可忽视.
【例2】选择题：
（1）在实数范围内,有一个数不是正实数,这个数一定是
（A）负实数（B）负有理数（C）非正实数（D）非负实数
（2）实数（两个11之间依次多一个0）中,无理数的个数有（）
（A）2个（B）3个（C）4个（D）5个
【解答】
（1）按实数可以分为正实数,零,负实数,非正实数,即零或负实数,选（C）.
（2）判断无理数应根据无理数的概念“无限不循环小数是无理数”来断定,应选（B）.
【例3】分别将下列各数填入相应的横线上：
（每两个3之间1的个数依次多1）
有理数是
无理数是
【分析】有理数是能表示为形式的数,无理数是无限不循环小数,分别用这两条标准去检验上面的数得出正确结果.
【解答】有理数是：
无理数是：
（每两个3之间1的个数依次多1）.
【基础训练】
1.实数可以分为和两类.
2．有理数可以分为和;但按符号来分还可以分为、和.
3．叫无理数.
4．,无理数有个,它们是
5．写出在2和3之间的一个无理数.
第2讲数的开方
（1）平方根和开平方
【知识要点】
1.平方根
如果一个数的平方根等于,那么这个数叫做的平方根,也可叙述为：
“如果,那么就叫做的平方根.”
2.开平方
求一个数的平方根的运算叫做开平方,叫做被开方数.
3.平方根的性质
一个正数有两个平方根,它们互为相反数.正数的两个平方根可以用“”表示,其中表示的正平方根（又叫算术平方根）,读作“根号”;表示的负平方根,读作“负根号”.
零的平方根记作,.
因为任何一个正数、负数或零的平方都不是负数,所以负数没有平方根.
4.开平方与平方的关系
开平方与平方互为逆运算,根据平方根的意义,“如果,那么叫做的平方根”,记作,我们得到：
（1）一个正数的平方根的平方等于这个数,即：
当时,
（2）一个正数的平方的正平方根等于这个数,即：
当时,
一个负数的平方的正平方根等于这个数的相反数,即：
当时,
【学习目标】
1.理解平方根与开平方的概念;
2.理解开平方与平方互为逆运算的关系;
3.掌握平方根的性质,分清平方根与算术平方根的区别,并知道它们之间的联系.
【典型例题】
例1判断下列说法是否正确：
（1）1的平方根是1.
（2）-16的平方根是.（3）的平方根是9.
（4）.（5）-7是49的平方根（6）的平方根是
【解答】
（1）不正确.因为1是正数,1的平方根有两个,是.
（2）不正确.因为-16是负数,负数没有平方根.
（3）不正确.应该是的平方是9.
（4）不正确.表示81的正的平方根.它是一个正数,=9,而.
（5）正确.因为根据平方根的概念,-7是49的平方根,但反过来说,49的平方根是-7就错了.
（6）不正确.,的平方根即为4的平方根,所以的平方根应是.
【点评】解答这道题目是对巩固和掌握平方根的概念和性质不可忽视的基本训练.
【例2】求下列各式的值：
（1）
（2）（3）（4）
【分析】求的值就是求144的正的平方根（即144的算术平方根）;求的值就是求的负的平方根（即的算术根的相反数）;求的值就是求0.01的平方根;求的值就是求的算术平方根的相反数.搞清各式的符号语言的意义,是得到正确解的关键.
【解答】
（1）
（2）
（3）（4）
【例3】求下列各数的平方根：
（1）0.64
（2）（3）0（4）
【解答】
（1）的平方根是即：
（2）
（3）
（4）
【点评】运用平方运算求一个非负数的平方根是常用的方法.用符号语言表示一个非负数的平方根,应由不习惯到习惯,这对加深平方根概念和性质的理解有好处.
【例4】已知的平方根是,的平方根是,求的平方根.
【分析】由已知得：
=,即：
①,②,
解由方程①和②组成的方程组得和的值,再求的平方根.
【解答】由已知得解得的平方根是.
【基础训练】
1.下列说法正确的是（）
（A）因为3的平方是9,所以9的平方根是3
（B）因为-3的平方是9,所以9的平方根是-3
（C）因为的底数为-3,所以没有平方根
（D）因为-9是负数,所以-9没有平方根
2.下列各数是否有平方根,如果有,有几个？
并说明理由.
（1）
（2）-8（3）0（4）
3.已知与互为相反数,求的值
4.求下列各数的平方根和算术平方根
（1）0.0009
（2）（3）
5.求值.
（1）
（2）（3）
（4）（5）（6）
【提高训练】
1.一个数的算术平方根为,比这个数大2的数是（）
（A）（B）（C）（D）
2.,则的取值范围为（）
（A）（B）（C）（D）
3.若,则
4.已知,求的值.
5.已知一个正数的平方根是和,求的值.
6.已知为实数,求的最小值和取得最小值时的值.
第2讲数的开方
（2）立方根和开立方
【知识要点】
1.立方根
与平方根类似,有：
如果一个数的立方等于,那么这个数叫做的立方根,用“”表示,读作“三次根号”,中的叫做被开方数,“3”叫做根指数;也可叙述为“如果,那么就叫做的立方根”,记作.
2.开立方
求一个数的立方根的运算叫做开立方.开立方与立方互为逆运算.
3.立方根的性质
我们已学过正数的立方是一个正数,负数的立方是一个负数,零的立方等于零,由立方运算可知正数有一个正立方根,负数有一个负立方根,零的立方根是零,也就是说任意一个数都有立方根,而且只有一个立方根.
类似于平方与开平方之间的关系,根据立方根的意义,可以得到
.（以上是实数）
方法与技能：
一个数的立方根记作“”,根指数3不能忽略.
由于,有,,有,可见.一般地,如果>0则,,如果把非负数的立方根叫做算术立方根,那么负数的立方根可以由它的相反数的算术立方根的相反数来表示,也就是把“—”号提到根号外面来.
典型剖析
【学习目标】
1.理解立方根与开立方的概念;
2.理解开立方与立方互为逆运算的关系;
【典型例题】
【例1】求下列各式的值：
（1）
（2）（3）（4）
【分析】由立方根的意义,如果,那么就叫做的立方根,记作,可知的立方根的立方：
.
【解答】
（1）
（2）
也可以这样求：
（3）
（4）
【例2】判断题（对的打“√”,错的打“×”）
（1）1的立方根是.
（2）任何数都有立方根.
（3）如果,那么.
（4）两个互为相反数的立方根也是互为相反数.
（5）一个数的立方根和平方根都是它本身,这个数是0或1.
（6）的平方根是.
【解答】
（1）（×）.1的立方根是1.
（2）（√）.任何实数都有唯一的立方根,记作.
（3）（√）.因为是的立方根,则;同理,.由可推出,即..
（4）（√）.,两个互为相反数的立方根也互为相反数.
（5）（×）如果一个数的立方根是它本身,则
或.如果一个数的平方根是它本身,则,则,所以或1.
（6）（√）.,它的平方根为.
【例3】若<0,则______________.
【解答】<0,.
【例4】求下列各数的立方根
（1）0.216
（2）（3）
【分析】运用立方运算求一个数的立方根是常用的方法,求带分数的立方根,要先将带分数化为假分数.用这个性质有,但对于平方根来说不能适用,因为复数没有平方根.
【解答】
（1）
的立方根是0.6,即.
（2）,而
的立方根是,即.
（3）
的立方根是,即;
的立方根是,即.
【基础训练】
1.判断
（1）的立方根是和（）
（2）的的立方根是没有意义的（）
（3）的立方根是（）
（4）的立方根是4（）
（5）是的立方根（）
2.下列说法正确的是（）
（A）一个数的立方根有两个,且它们互为相反数
（B）任何一个数必有立方根和平方根
（C）一个数的立方根必与这个数同号
（D）负数没有立方根
3.求下列各数的立方根：
4.求下列各式的值：
5.计算：
【能力提高】
1.设,则的立方根=.
2.若求的值.
3.已知是的算术平方根,是的立方根,
求的立方根.
4.解方程：
5.立方根有如下性质：
（1）计算：
的值.
（2）设用含的代数式表示.
第2讲数的开方
（3）次方根
【知识要点】
1.次方根
如果一个数的次方（是大于1的整数）等于,那么这个数叫做的次方根,也可叙述为“如果（是大于1的整数）,那么就叫做的次方根”,记作.平方根和立方根是次方根的特例.
2.开次方
求一个数的次方根的运算叫做开次方,叫做被开方数,叫做根指数.
次方根简称为“方根”;开次方简称“开方”.
3.次方根的性质
由于次方根包含
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