高三数学理上期中试题含答案.docx

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高三数学理上期中试题含答案

2016-2017年高三数学（理）上期中试题（含答案）

兰州一中2016-2017-1学期高三年级期中考试

数学试题（理科）

第I卷（选择题共60分）

一、选择题：

本大题共12小题，每小题分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1若集合,,则（）

ABD

2已知复数，若是实数，则实数的值为（）

A．B．．D．

3以下判断正确的是（）

函数为上可导函数，则是为函数极值点的充要条

命题“”的否定是“”

“”是“函数是偶函数”的充要条

D命题“在中，若，则”的逆命题为假命题

4一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示（单位：

），则该几何体的体积为（　　）

A．1203B．1003．803D．603

由曲线，直线及坐标轴所围成图形的面积为

（）

ABD

6设等差数列的前项和为，若,,，则（）

ABD

7我国古代数学典籍《九算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：

“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？

”现用程序框图描述，如图所示，则输出的结果（）

ABD

8设，则（）

ABD

9已知函数，则的图象大致为（）

ABD

10函数的图象向右平移个单位后，与函数的

图象重合，则的值为（）

A&nt;BD

11椭圆:

的左、右焦点分别为,焦距为若直线=与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率等于（）

ABD

12已知定义在R上的函数满足：

且，，则方程在区间上的所有实根之和为（）

ABD

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：

本大题共4小题，每小题分，共20分

13已知向量

14已知，则

1已知满足约束条若的最小值为,则

16在中，内角的对边分别为,已知,，

则面积的最大值为

三、解答题：

本大题共6小题，共70分解答应写出字说明、证明过程或演算步骤

17．（本小题满分12分）

已知函数

（Ⅰ）求的最小正周期及对称中心；

（Ⅱ）若，求的最大值和最小值

18．（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱中，，是棱上

的一点，是的延长线与的延长线的交点，且∥平面．

（Ⅰ）求证：

；

（Ⅱ）求二面角的平面角的正弦值．

19．（本小题满分12分）

随着苹果7手机的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是一部分大学生可望而不可及，因此“国美在线”推出无抵押分期付款的购买方式，某店对最近100位采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如下表所示

付款方式分1期分2期分3期分4期分期

频数32

10

已知分3期付款的频率为01，并且销售一部苹果7手机，顾客分1期付款，其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为100元；分4期或期付款，其利润为2000元，以频率作为概率

（Ⅰ）求，的值，并求事：

“购买苹果7手机的3位顾客中，至多有1位分4期付款”的概率；

（Ⅱ）用表示销售一部苹果7手机的利润，求的分布列及数学期望

20．（本小题满分12分）

已知抛物线：

，直线交于两点，是线段的中点，过点作轴的垂线交于点

（Ⅰ）证明：

抛物线在点的切线与平行；

（Ⅱ）是否存在实数，使以为直径的圆经过点？

若存在，求的值；若不存在，说明理由

21．（本小题满分12分）

已知函数．

（Ⅰ）当时，求的单调区间；

（Ⅱ）若函数在其定义域内有两个不同的极值点

（ⅰ）求的取值范围；

（ⅱ）设两个极值点分别为，证明:

．

请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22（本小题满分10分）选修4-4：

坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为．

（Ⅰ）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）设为曲线上一点，为曲线上一点，求的最小值．

23（本小题满分10分）选修4—：

不等式选讲

已知函数，且的解集为．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，且，求证：

．兰州一中2016-2017-1学期期中考试

高三数学试题参考答案（理科）

一、选择题（本题共12小题，每小题分，共60分。

）

题号12346789101112

答案ADBAABDB

二、填空题（本大题共4小题，每小题分，共20分）

13．14．1．16．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出字说明，证明过程或演算步骤．）

17．（本小题满分12分）

已知函数

（Ⅰ）求的最小正周期及对称中心；

（Ⅱ）若，求的最大值和最小值

解：

（Ⅰ）…4分

∴的最小正周期为，……分

令，则，

∴的对称中心为……6分

（Ⅱ）∵∴8分

∴∴10分

∴当时，的最小值为；当时，的最大值为……12分

18．（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱中，，是棱上

的一点，是的延长线与的延长线的交点，且∥平面．

（Ⅰ）求证：

；

（Ⅱ）求二面角的平面角的正弦值．

解：

（Ⅰ）连接交于，连接

∵∥平面，面，面面

∴∥……………2分

又∵为的中点，

∴为中点∴为中点……………4分

∴∴……………分

（Ⅱ）∵在直三棱柱中，

∴……………6分

以为坐标原点，以,所在直线建立空间直角坐标系如图所示。

由（Ⅰ）知为中点

∴点坐标分别为

，，，设平面的法向量

∵且

∴取∴……………8分

同理：

平面的法向量……………10分

设二面角平面角为

则，∴……………12分

19．（本小题满分12分）

随着苹果7手机的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是一部分大学生可望而不可及，因此“国美在线”推出无抵押分期付款的购买方式，某店对最近100位采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如下表所示

付款方式分1期分2期分3期分4期分期

频数32

10

已知分3期付款的频率为01，并且销售一部苹果7手机，顾客分1期付款，其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为100元；分4期或期付款，其利润为2000元，以频率作为概率

（Ⅰ）求，的值，并求事：

“购买苹果7手机的3位顾客中，至多有1位分4期付款”的概率；

（Ⅱ）用表示销售一部苹果7手机的利润，求的分布列及数学期望

解：

（Ⅰ）由，得因为所以………3分

………6分

（Ⅱ）设分期付款的分期数为，则

…8分

的所有可能取值为1000，100，2000

………10分

所以的分布列为10001002000

P030402

………12分

20．（本小题满分12分）

已知抛物线：

，直线交于两点，是线段的中点，过点作轴的垂线交于点

（Ⅰ）证明：

抛物线在点的切线与平行；

（Ⅱ）是否存在实数，使以为直径的圆经过点，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由

解：

（Ⅰ）解法一：

设，，把代入得，

得．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∵，点的坐标为．　　　　　………………………2分

∵　∴，　　　　　　　　　　　　　　　　　

即抛物线在点处的切线的斜率为．　　　　　　　　　　　………………………4分

∵直线:

的的斜率为，∴．　　　　　　　……………………6分

解法二：

设，，把代入得，

得．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∵，点的坐标为．　　　　　……………………2分

设抛物线在点处的切线的方程为，

将代入上式得，　　　　　　　………………………4分

直线与抛物线相切，，，即．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………………6分

（Ⅱ）假设存在实数，存在实数使为直径的圆经过点．

是的中点，．　　　　　　　　　　　　

由（Ⅰ）知　

轴，．　…………………8分

∵　　　　　　　　　　　

．　　　　……………………10分

，∴，

故，存在实数使为直径的圆经过点．　　　　　………………12分

21．（本小题满分12分）

已知函数

（Ⅰ）当时，求的单调区间；

（Ⅱ）若函数在其定义域内有两个不同的极值点

（ⅰ）求的取值范围；

（ⅱ）设两个极值点分别为，证明:

．

解：

（Ⅰ）当时，；

函数的定义域为，

当时，；当时，

所以，在上单调递减；在上单调递增………………4分

（Ⅱ）（ⅰ）依题意，函数的定义域为，

所以方程在有两个不同根

即，方程在有两个不同根

（解法一）转化为，函数与函数

的图像在上有两个不同交点，如图

可见，若令过原点且切于函数图像的直线斜率为，

只须………………6分

令切点，所以，又，所以，

解得，，于是，

所以………………8分

（解法二）令，从而转化为函数有两个不同零点，

而（）

若，可见在上恒成立，所以在单调增，

此时不可能有两个不同零点………………分

若，在时，，在时，，

所以在上单调增，在上单调减，

从而………………6分

又因为在时，，在在时，，于是只须：

，即，所以………………7分

综上所述，………………8分

（ⅱ）由（i）可知分别是方程的两个根，

即，，

不妨设，作差得，，即

原不等式等价于

令，则，………………10分

设，，

∴函数在上单调递增，

∴，

即不等式成立，

故所证不等式成立．………………12分

请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22（本小题满分10分）选修4-4：

坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）设为曲线上一点，为曲线上一点，求的最小值．

解：

（1）由消去参数得，曲线的普通方程得．．．．．3分

由得，曲线的直角坐标方程为．．．．分

（2）设，则点到曲线的距离为

．．．．．．．．．．．8分

当时，有最小值0，所以的最小值为0．．．．．．．．．．．．．10分

23（本小题满分10分）选修4—：

不等式选讲

已知函数，且的解集为．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，且，求证：

．

解：

（Ⅰ）因为，

所以等价于，

由有解，得，且其解集为．

又的解集为，故．．．．．．．．．．．．分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又，∴≥=9．

（或展开运用基本不等式）