习题：
A、B两木块叠放在竖直轻弹簧上，如图所示，已知木块A、B质量分别为0.42kg和0.40kg，
弹簧的劲度系数k=100N/m，若在木块A上作用一个竖直向上的力F，使A由静止开始以0.5m/s2的加速度竖直向上做匀加速运动（g=10m/s2）.
（1）使木块A竖直做匀加速运动的过程中，力F的最大值；
（2）若木块由静止开始做匀加速运动，直到A、B分离的过程中，弹簧的弹性势能减少了0.248J，求这一过程F对木块做的功.
即Fm=mA（g+a）=4.41N
可知，WF=9.64×10-2J
习题：
如图9所示，一劲度系数为k=800N/m的轻弹簧两端各焊接着两个质量均为m=12kg的物体A、B。
物体A、B和轻弹簧竖立静止在水平地面上，现要加一竖直向上的力F在上面物体A上，使物体A开始向上做匀加速运动，经0.4s物体B刚要离开地面，设整个过程中弹簧都处于弹性限度内，取g=10m/s2，求：
（1）此过程中所加外力F的最大值和最小值。
（2）此过程中外力F所做的功。
解：
（1）A原来静止时：
kx1=mg①
当物体A开始做匀加速运动时，拉力F最小，设为F1，对物体A有：
F1＋kx1－mg=ma②
当物体B刚要离开地面时，拉力F最大，设为F2，对物体A有：
F2－kx2－mg=ma③
对物体B有：
kx2=mg④
对物体A有：
x1＋x2＝
⑤
由①、④两式解得a=3.75m/s2，分别由②、③得F1＝45N，F2＝285N
（2）在力F作用的0.4s内，初末状态的弹性势能相等，由功能关系得：
WF=mg（x1＋x2）+
49.5J
习题：
在光滑水平面上有一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k，振子质量为M，振动的量大速度为v0．如图所示，当振子在最大位移为A的时刻把质量为m的物体轻放在其上，则
（1）要保持物体和振子一起振动，二者间动摩擦因数至少多大？
（2）一起振动时，二者经过平衡位置的速度多大?
习题：
如图所示，一弹簧振子．物块质量为m，它与水平桌面动摩擦因数为μ，开始用手按住物块，弹簧处于伸状态，然后放手，当弹簧回到原长时物块速度为v1，当弹簧再次回到原长时物块速度为v2，求这两次为原长运动过程中弹簧的最大弹性势能．
习题：
如图，水平弹簧一端固定，另一端系一质量为m的小球，弹簧的劲度系数为k，小球与水平面之间的摩擦系数为μ，当弹簧为原长时小球位于O点，开始时小球位于O点右方的A点，O与A之间的距离为
，从静止释放小球。
（已知弹簧的弹性势能的表达式为
）
（1）为使小球能通过O点，而且只能通过O点一次，试问μ值应在什么范围?
（2）在上述条件下，小球在O点左方的停住点B点与O点的最大距离
是多少?
五、弹簧中的动量和能量问题
习题：
某宇航员在太空站内做丁如下实验：
选取两个质量分别为mA=0.1kg、mB=0.20kg的小球A、B和一根轻质短弹簧，弹簧的一端与小球A粘连，另一端与小球B接触而不粘连．现使小球A和B之间夹着被压缩的轻质弹簧，处于锁定状态，一起以速度v0=0.10m/s做匀速直线运动，如图所示．过一段时间，突然解除锁定（解除锁定没有机械能损失），两球仍沿原直线运动．从弹簧与小球B刚刚分离开始计时，经时间t=3．0s两球之间的距离增加了s=2．7m，求弹簧被锁定时的弹性势能E0?
取A、B为系统,由动量守恒得:
（mA+mB）v0=mAvA+mBv;VAt+VBt=s
又A、B和弹簧构成系统，又动量守恒
解得:
习题：
在原子物理中，研究核子与核子关联的最有效途经是“双电荷交换反应”。
这类反应的前半部分过程和下面力学模型类似。
两个小球A和B用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态。
在它们左边有一垂直轨道的固定档板P，右边有一小球C沿轨道以速度v0射向B球，如图7所示，C与B发生碰撞并立即结成一个整体D。
在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变。
然后，A球与档板P发生碰撞，碰后A、D静止不动，A与P接触而不粘连。
过一段时间，突然解除销定（锁定及解除锁定均无机械能损失），已知A、B、C三球的质量均为m。
（1）求弹簧长度刚被锁定后A球的速度。
（2）求在A球离开档板P之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能。
解：
整个过程可分为四个阶段来处理．
（1）设Ｃ球与Ｂ球粘结成Ｄ时，D的速度为ｖ１，由动量守恒定律，得
ｍｖ０＝2ｍｖ１， ①
当弹簧压至最短时，Ｄ与Ａ的速度相等，设此速度为ｖ２，由动量守恒定律，得
2ｍｖ１＝3ｍｖ２， ②
联立①、②式得
ｖ１＝（1／3）ｖ０． ③
此问也可直接用动量守恒一次求出（从接触到相对静止）ｍｖ０＝3ｍｖ２，ｖ２＝（1／3）ｖ０．
（2）设弹簧长度被锁定后，贮存在弹簧中的势能为Ｅｐ，由能量守恒定律，得
（2ｍ）ｖ１２＝
（3ｍ）ｖ２２＋Ｅｐ， ④
撞击Ｐ后，Ａ与Ｄ的动能都为零，解除锁定后，当弹簧刚恢复到自然长度时，弹性势能全部转变成Ｄ的动能，设Ｄ的速度为ｖ３，有
Ｅｐ＝
（2ｍ）ｖ３２， ⑤
以后弹簧伸长，Ａ球离开挡板Ｐ，并获得速度．设此时的速度为ｖ４，由动量守恒定律，得
2ｍｖ３＝3ｍｖ４， ⑥
当弹簧伸到最长时，其弹性势能最大，设此势能为Ｅｐ′，由能量守恒定律，得
（2ｍ）ｖ３２＝
（3ｍ）ｖ４２＋Ｅｐ′， ⑦
联立③～⑦式得
Ｅｐ′＝
ｍｖ０２． ⑧
习题：
图中，轻弹簧的一端固定，另一端与滑块B相连，B静止在水平直导轨上，弹簧处在原长状态．另一质量与B相同的滑块A，从导轨上的P点以某一初速度向B滑行．当A滑过距离L1时，与B相碰，碰撞时间极短，碰后A、B紧贴在一起运动，但互不粘连．已知最后A恰好返回到出发点P并停止．滑块A和B与导轨的滑动摩擦因数都为μ，运动过程中弹簧最大形变量为L2，重力加速度为g。
求A从P点出发时的初速度v0．
习题：
如图所示，质量M=3.5kg的小车静止于光滑水平面上靠近桌子处，其上表面与水平桌面相平，小车长L=1.2m，其左端放有一质量为0.5kg的滑块Q。
水平放置的轻弹簧左端固定，质量为1kg的小物块P置于桌面上的A点并与弹簧的右端接触。
此时弹簧处于原长，现用水平向左的推力将P缓慢推至B点（弹簧仍在弹性限度内）时，推力做的功为WF=6J，撤去推力后，P沿桌面滑到小车上并与Q相碰，最后Q停在小车的右端，P停在距小车左端0.5m处。
已知AB间距L1=5cm，A点离桌子边沿C点距离L2=90cm，P与桌面间动摩擦因数
，P、Q与小车表面间动摩擦因数
。
（g=10m/s2）求：
（1）P到达C点时的速度VC。
（2）P与Q碰撞后瞬间Q的速度大小。
解：
（1）对P由A→B→C应用动能定理，得
（2）设P、Q碰后速度分别为v1、v2，小车最后速度为v，由动量守恒定律得，
由能量守恒得，
解得，
当
时，
不合题意，舍去。
即P与Q碰撞后瞬间Q的速度大小为
习题：
质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上.平衡时弹簧的压缩量为x0，如图所示.一物块从钢板正上方距离为3x0的
A处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连.它们到达最低点后又向上运动.已知物块质量为m时，它们恰能回到O点.若物块质量为2m，仍从A处自由落下，则物块与钢板回到O点时，还具有向上的速度.求物块向上运动到达的最高点与O点的距离.
解:
物块与钢板碰撞时的速度
①
设v1表示质量为m的物块与钢板碰撞后一起开始向下运动的速度，因碰撞时间极短，动量守恒mv0＝2mv1 ②
刚碰完时弹簧的弹性势能为EP。
当它们一起回到O点时，弹簧无形变，弹性势能为零，根据题给条件，这时物块与钢板的速度为零，由机械能守恒，
③
设v2表示质量为2m的物块与钢板碰撞后开始一起向下运动的速度，
则有2mv0＝3mv2 ④仍继续向上运动，设此时速度为v，则有
⑤ 在以上两种情况中，弹簧的初始压缩量都是x0，故有
⑥
当质量为2m的物块与钢板一起回到O点时，弹簧的弹力为零，物块与钢板只受到重力作用，加速度为g。
一过O点，钢板受到弹簧向下的拉力作用，加速度大于g。
由于物块与钢板不粘连，物块不可能受到钢板的拉力，其加速度仍为g。
故在O点物块与钢板分离，分离后,物块以速度v竖直上升，则由以上各式解得，物块向上运动所到最高点与O点的距离为
l＝v2/（2g）＝（1/2）x０
六、弹簧中的综合应用问题
练习：
如图所示，在光滑的水平面上有一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k，开始时，振子被拉到平衡位置O的右侧某处，此时拉力为F，然后轻轻释放振子，振子从初速度为零的状态开始向左运动，经过时间t后到达平衡位置O处，此时振子的速度为v，则在这过程中，振子的平均速度为（）
A.v/2B.F/（2kt）
C.vD.F/（kt）
习题：
如图1-4-8所示，离心机的光滑水平杆上穿着两个小球A、B，质量分别为2m和m，两球用劲度系数为k的轻弹簧相连，弹簧的自然长度为l．当两球随着离心机以角速度ω转动时，两球都能够相对于杆静止而又不碰两壁．求A、B的旋转半径rA和rB．
习题：
“加速度计”作为测定运动物体加速度的仪器，已被广泛地应用于飞机，潜艇、航天器等装置的制导系统中，如图所示是“应变式加速度计”的原理图，支架A、B固定在待测系统上，滑块穿在A、B间的水平光滑杆上，并用轻弹簧固定于支架A上，随着系统沿水平方向做变速运动，滑块相对于支架发生位移，滑块下增的滑动臂可在滑动变阻器上相应地自由滑动，并通过电路转换为电信号从1，2两接线柱输出．
巳知：
滑块质量为m，弹簧劲度系数为k，电源电动势为E，内阻为r、滑动变阻器的电阻随长度均匀变化，其总电阻R=4r，有效总长度L，当待测系统静止时，1、2两接线柱输出的电压U0=0．4E，取A到B的方向为正方向，
（1）确定“加速度计”的测量范围．
（2）设在1、2两接线柱间接入内阻很大的电压表，其读数为u，导出加速度的计算式。
（3）试在1、2两接线柱间接入内阻不计的电流表，其读数为I，导出加速度的计算式。
解：
（1）当待测系统静上时，1、2接线柱输出的电压u0=E·R12/（R+r）
由已知条件U0=0.4E可推知，R12=2r，此时滑片P位于变阻器中点，待测系统沿水平方向做变速运动分为加速运动和减速运动两种情况，弹簧最大压缩与最大伸长时刻，P点只能滑至变阻器的最左端和最右端，故有：
a1=kL/2m，a2=-kL/2m
所以“加速度计”的测量范围为[-k·L/2m，·L/2m]，
（2）当1、2两接线柱接电压表时，设P由中点向左偏移x，则与电压表并联部分
的电阻R1=（L/2-x）·4r/L
由闭合电路欧姆定律得：
I=E/（R+r）
故电压表的读数为：
U=I·R1
根据牛顿第二定律得:
k·x＝m·a
建立以上四式得:
a=kL/2m-5kLU/（4·E·m），
（3）当1、2两接线柱接电流表时，滑线变阻器接在1，2间的电阻被短路．设P由中点向左偏x，变阻器接入电路的电阻为：
R2=（L/2+x）·4r/L
由闭合电路欧姆定律得:
E=I（R2+r）
根据牛顿第二定律得:
k·x=m·a
联立上述三式得:
a=k·L（E-3I·r）/（4I·m·r）
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