量子力学与统计力学课件第3章.ppt
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2引引言言经经典典力力学学中中物物质质运运动动的的状状态态总总用用坐坐标标、动动量量、角角动动量量、动动能能、势势能能、转转动动能能等等力力学学量量以以决决定定论论的的方方式式描述。
描述。
而而量量子子力力学学的的第第一一个个惊惊人人之之举举就就是是引引入入了了波波函函数数这这样样一一个个基基本本概概念念，以以概概率率的的特特征征全全面面地地描描述述了了微微观观粒粒子子的的运运动动状状态态。
但但并并不不能能作作为为量量子子力力学学中中的的力力学学量量。
于于是是，又又引引入入了了一一个个重重要要的的基基本本概概念念算算符符，用用它它表表示示量量子子力力学学中中的的力力学学量量。
算算符符与与波波函函数数作作为为量量子子力力学学的的核核心心概概念相辅相成、贯穿始终。
念相辅相成、贯穿始终。
这这部部分分是是量量子子力力学学的的重重要要基基础础理理论论之之一一，也也是是我我们们学习中的重点。
学习中的重点。
4Chapter3.TheDynamicalvariableinQuantumMechanicsp3.1力学量的算符表示力学量的算符表示operatorfordynamicalvariablep3.2动量算符与角动量算符动量算符与角动量算符momentumoperatorandangularmomentumoperatorp3.3厄米算符本征函数的正交性厄米算符本征函数的正交性OrthonormalityforeigenfunctionofHermiteanoperatorsp3.4力学量算符与力学量的关系力学量算符与力学量的关系RelationshipbetweenOperatoranddynamicalvariablep3.5算符的对易关系算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件测不准关系测不准关系OperatorcommuteTheHeisenbergUncertaintyPrinciplep3.6力学量随时间的变化力学量随时间的变化守恒律守恒律ThedynamicalvariablewithrespecttotimeTheconservationlaws讲讲授授内内容容5学习内容学习内容11坐标算符、动量算符的表示形式及它们间的对易关系；坐标算符、动量算符的表示形式及它们间的对易关系；22角动量算符的表示形式及相关的对易关系；角动量算符的表示形式及相关的对易关系；33动量算符本征函数的两种归一化：
箱归一化和动量算符本征函数的两种归一化：
箱归一化和函数归函数归一一化化；44角动量算符的共同本征函数及所对应的本征值；角动量算符的共同本征函数及所对应的本征值；55量子力学的力学量与厄米算符量子力学的力学量与厄米算符的关系的关系；厄米算符的本征函；厄米算符的本征函数组成正交完备集；数组成正交完备集；66在什么情况下力学量具有确定值；力学量可能值、概率、在什么情况下力学量具有确定值；力学量可能值、概率、平均值的计算方法，两个力学量同时具有确定值的条件；平均值的计算方法，两个力学量同时具有确定值的条件；77不确定关系及其应用；不确定关系及其应用；88守恒量的判断方法。
守恒量的判断方法。
6重重点点掌掌握握内内容容一个基本概念：
一个基本概念：
厄米算符（作用及其基本性质）；厄米算符（作用及其基本性质）；两个假设：
两个假设：
力学量用厄米算符表示；力学量用厄米算符表示；状态用厄米算符本征态表示，力学量状态用厄米算符本征态表示，力学量算符的本征值为力学量的可测值算符的本征值为力学量的可测值三个力学量计算值：
三个力学量计算值：
确定值、可能值、平均值；确定值、可能值、平均值；四个力学量算符的本征态及本征值：
四个力学量算符的本征态及本征值：
坐标算符，动量坐标算符，动量算符，角动量算符及能量算符（哈密顿算算符，角动量算符及能量算符（哈密顿算符）及它们的本征值。
符）及它们的本征值。
一个关系：
一个关系：
力学量算符间的对易关系（特别是坐标力学量算符间的对易关系（特别是坐标算符与动量算符的对易关系，角动量算符算符与动量算符的对易关系，角动量算符对易关系）对易关系）三个定理三个定理:
共同本征态定理（包括逆定理）共同本征态定理（包括逆定理）不确定关系不确定关系力学量守恒定理力学量守恒定理8对一函数作用得到另一函数的运算符号对一函数作用得到另一函数的运算符号,量子力学量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号，记为中的算符是作用在波函数上的运算符号，记为。
Ex.1表示力学量的算符及其表示力学量的算符及其与力学量测量值的关系与力学量测量值的关系（11）算符的定义）算符的定义称为算符称为算符12（2
（2）力学量算符）力学量算符表示力学量的算符必须是对波函数进行有物理意义表示力学量的算符必须是对波函数进行有物理意义运算的符号。
运算的符号。
哈密顿算符哈密顿算符动量算符动量算符坐标算符坐标算符例如当波函数为例如当波函数为时时其中其中13Ex.动能算符动能算符角动量算符角动量算符将第二章中构造将第二章中构造HarmiltonHarmilton算符算符的方法加以推广，的方法加以推广，便提出一个构造一般便提出一个构造一般力学量算符的基本假设力学量算符的基本假设。
若量子力学中的力学量若量子力学中的力学量在经典力学中有相应的力在经典力学中有相应的力学量学量，则表示该力学量的算符，则表示该力学量的算符由经典表示由经典表示中将动量中将动量换成动量算符换成动量算符而得出。
而得出。
（3）力学量算符规则）力学量算符规则即构造力学量算符的规则：
即构造力学量算符的规则：
14（11）以上所述力学量算符规则是对坐标表象而）以上所述力学量算符规则是对坐标表象而言；对于动量表象，表示力学量言；对于动量表象，表示力学量FF的算符是将经典的算符是将经典表示表示中的坐标变量中的坐标变量换成坐标算符换成坐标算符（22）对于只在量子理论中才有，而在经典力学）对于只在量子理论中才有，而在经典力学中没有的力学量，其算符如何构造的问题另外讨论。
中没有的力学量，其算符如何构造的问题另外讨论。
即即注注15其中其中力学量算符力学量算符坐标表象坐标表象动量表象动量表象坐标算符坐标算符动量算符动量算符力学量算符力学量算符16（44）厄米算符及其性质）厄米算符及其性质厄米算符的定义厄米算符的定义若对于任意两函数若对于任意两函数和和，算符，算符满足等式满足等式则称则称为为厄米算符厄米算符厄米算符的性质：
厄米算符的性质：
厄米算符的本征值必为实数厄米算符的本征值必为实数设设为厄米算符为厄米算符，其本征方程本征方程Prove:
（实数）19（11）力学量算符为线性的厄米算符）力学量算符为线性的厄米算符Ex.1、证明动量算符的一个分量证明动量算符的一个分量是厄密算符是厄密算符Prove:
即按厄米算符的定义按厄米算符的定义，所以是厄密算符所以是厄密算符（5（5）力学量算符的性质）力学量算符的性质20量量子子力力学学微微观观粒粒子子的的力力学学量量为为何何要要用用线线性性的的厄厄米米算符表示算符表示力力学学量量是是线线性性厄厄米米算算符符,由由此此能能否否得得出出线线性性厄厄米算符都可以表示力学量米算符都可以表示力学量?
思考题思考题:
Prove:
设设为宇称算符为宇称算符的本征值，则宇称算的本征值，则宇称算符的本征方程为：
符的本征方程为：
Ex.2、证明宇称算符证明宇称算符的本征值为的本征值为算符算符作用在函数作用在函数上，等于一常数上，等于一常数乘以乘以即即此称为算符此称为算符的本征方程的本征方程称为其本征值，称为其本征值，为其本征函数。
为其本征函数。
求解满足一定条件的本征值方程的本征值和本征函数是量子力学的基本问题之一25力学量算符与力学量测量值的关系力学量算符与力学量测量值的关系在第二章讨论哈密顿算符在第二章讨论哈密顿算符的本征值问题时已的本征值问题时已看到，当体系处在看到，当体系处在的本征态时，体系有确定的能的本征态时，体系有确定的能量，该能量值就是量，该能量值就是在此本征态中的本征值。
当体在此本征态中的本征值。
当体系处在任一态中时，测量体系的能量无确定值，而系处在任一态中时，测量体系的能量无确定值，而有一系列可能值，这些可能值均为有一系列可能值，这些可能值均为的本征值。
这的本征值。
这表明表明的本征值是体系能量的可测值，将该结论推的本征值是体系能量的可测值，将该结论推广到一般力学量算符提出一个广到一般力学量算符提出一个基本假设基本假设.如果算符如果算符表示力学量表示力学量，那么当体系处于那么当体系处于的本征态中时，力学量的本征态中时，力学量有确定值，这个值就是有确定值，这个值就是属于该本征态的本征值。
属于该本征态的本征值。
该假设给出了表示力学量的算符与该力学量的关系该假设给出了表示力学量的算符与该力学量的关系力学量算符的本征值和本征函数的特性力学量算符的本征值和本征函数的特性1.1.本征值必是实数。
本征值必是实数。
2.2.分属不同本征值的本征函数正交（设本征值是分分属不同本征值的本征函数正交（设本征值是分立的，即量子化的）。
即立的，即量子化的）。
即非简并：
非简并：
一个本征值一个本征值一个本征函数一个本征函数简并：
简并：
一个本征值一个本征值多个本征函数多个本征函数非简并情况非简并情况3.3.全体本征函数构成完备函数系。
全体本征函数构成完备函数系。
任何一个波函数可用任何一个力学量的本征函任何一个波函数可用任何一个力学量的本征函数的线性叠加来表示：
数的线性叠加来表示：
4.4.叠加叠加系数的物理含义：
系数的物理含义：
设设n是力学量是力学量A的本征的本征态，相，相应的本征的本征值为An，则展展开系数的开系数的绝对值平方平方为：
平均值：
平均值：
物理意物理意义：
测力学量力学量A时，测值An相相对次数，即相次数，即相对几率是几率是|Cn|2。
含时间含时间t情况：
情况：
|Cn（t）|2随随时间而而变化。
化。
292.2.动量算符动量算符本征方程：
本征方程：
按分离变量法按分离变量法,令令则有则有归一化归一化常数常数归一化系数的确定一化系数的确定3322）若若粒粒子子处处在在无无限限空空间间中中，则则按按函函数数的归一化方法确定归一化常数的归一化方法确定归一化常数，本征值本征值取连续值。
取连续值。
这正是自由粒子的正是自由粒子的deBroglie波的空波的空间部分波函数。
部分波函数。
33）若粒子处在边长为）若粒子处在边长为的立方体的立方体内运动，则用所谓箱归一化方法确定常内运动，则用所谓箱归一化方法确定常数数。
36当粒子被限制在边长为当粒子被限制在边长为的立方体内的立方体内时，本征函数时，本征函数满足周期性边界条件满足周期性边界条件xyzo37本征值本征值38由归一化条件由归一化条件这表明动量只能取分立值。
换言之，加这表明动量只能取分立值。
换言之，加上周期性边界条件后，连续谱变成了分上周期性边界条件后，连续谱变成了分立谱，粒子动量的本征态为束缚态立谱，粒子动量的本征态为束缚态。
归一化归一化本征函数本征函数自由粒子波函数自由粒子波函数40（22）由）由可可以看出，相邻两本征值的间隔以看出，相邻两本征值的间隔与与成反成反比。
当比。
当足够大时，本征值间隔可任意小；当足够大时，本征值间隔可任意小；当时时，即即离散谱离散谱连续谱连续谱讨讨论论（11）从这里可以看出，只有在分立谱情况下，）从这里可以看出，只有在分立谱情况下，波函数才能归一化为一；波函数才能归一化为一；在在连续谱情况连续谱情况下下，归一，归一化为化为函数。
函数。
（33）在自由粒子波函数）在自由粒子波函数所描写的所描写的状态中，粒子动量有确定值，该确定值就状态中，粒子动量有确定值，该确定值就是动量算符在这个态中的本征值。
是动量算符
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