XX届高考数学备考复习三角变换与解三角形教案.docx

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XX届高考数学备考复习三角变换与解三角形教案

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本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址　　专题二：

三角函数、三角变换、解三角形、平面向量

　　第二讲

　　三角变换与解三角形

　　【最新考纲透析】

　　．

　　会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。

　　2．

　　能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式。

　　3．

　　能利用两角差的余弦公式导出两角各的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。

　　4．

　　能运用和与差、二倍角的三角函数公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）。

　　5．

　　掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

　　6．

　　能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些测量和几何计算有关的实际问题。

　　【核心要点突破】

　　要点考向1：

三角变换及求值

　　考情聚焦：

1．利用两角和差的三角函数公式进行三角变换、求值是高考必考内容。

　　2．该类问题出题背景选择面广，解答题中易出现与新知识的交汇题。

　　3．该类题目在选择、填空、解答题中都有可能出现，属中、低档题。

　　考向链接：

1．在涉及两角和与差的三角函数公式的应用时，常用到如下变形

（1）；

（2）角的变换；

　　（3）。

　　2．利用两角和与差的三角函数公式可解决求值求角问题，常见有以下三种类型：

（1）“给角求值”，即在不查表的前提下，通过三角恒等变换求三角函数式的值；

（2）“给值求值”，即给出一些三角函数值，求与之有关的其他三角函数式的值；

　　（3）“给值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角。

　　例1：

已知向量,且

　　求tanA的值；

　　求函数R）的值域

　　解析：

（Ⅰ）由题意得m•n=sinA-2cosA=0,

　　因为cosA≠0,所以tanA=2.

　　（Ⅱ）由（Ⅰ）知tanA=2得

　　因为xR,所以.当时，f有最大值，

　　当sinx=-1时，f有最小值-3

　　所以所求函数f的值域是

　　要点考向2：

正、余弦定理的应用

　　考情聚焦：

1．利用正、余弦定理解决涉及三角形的问题，在近3年新课标高考中都有出现，预计将会成为今后高考的一个热点。

　　2．该类问题多数是以三角形或其他平面图形为背景，考查正、余弦定理及三角函数的化简与证明。

　　3．多以解答题的形式出现，有时也在选择、填空题中出现。

　　考向链接：

1．在三角形中考查三角函数式变换，是近几年高考的热点，它是在新的载体上进行的三角变换，因此要时刻注意它重要性：

一是作为三角形问题，它必然要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解决问题的思路；其二，它毕竟是三角形变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，是使问题获得解决的突破口。

　　2．在解三角形时，三角形内角的正弦值一定为正，但该角不一定是锐角，也可能为钝角（或直角），这往往造成有两解，应注意分类讨论，但三角形内角的余弦为正，该角一定为锐角，且有惟一解，因此，在解三角形中，若有求角问题，应尽量避免求正弦值。

　　例2：

（XX•辽宁高考理科•Ｔ17）在△ABc中，a,b,c分别为内角A,B,c的对边，且

　　（Ⅰ）求A的大小；

　　（Ⅱ）求的最大值.

　　【命题立意】考查了正弦定理，余弦定理，考查了三角函数的恒等变换，三角函数的最值。

　　【思路点拨】（I）根据正统定理将已知条件中角的正弦化成边，得到边的关系，再由余弦定理求角

　　（II）由（I）知角c＝60°-B代入sinB+sinc中，看作关于角B的函数，进而求出最值

　　【规范解答】（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得

　　即

　　由余弦定理得

　　故

　　，A=120°

　　（Ⅱ）由（Ⅰ）得：

　　故当B＝30°时，sinB+sinc取得最大值1。

　　【方法技巧】

　　利用正弦定理，实现角的正弦化为边时只能是用a替换sinA，用b替换sinB,用c替换sinc。

sinA,sinB,sinc的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分。

　　以三角形为背景的题目，要注意三角形的内角和定理的使用。

象本例中B+c＝60°

　　要点考向3：

三角函数的实际应用

　　考情聚焦：

1．有关解三角形及实际应用在高考中有时出现。

　　2．该类问题以实际问题为背景，其建模后为解三角形问题，与三角函数及三角变换等知识交汇。

　　3．多以解答题的形式出现，题目不会太难。

　　例3：

（XX•江苏高考•Ｔ１7）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H该小组已测得一组、的值，算出了tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；

　　该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：

m），使与之差较大，可以提高测量精确度。

若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？

　　【命题立意】本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及

　　不等式的应用。

　　【思路点拨】

（1）分别利用

　　表示AB、AD、BD，然后利用AD—AB=DB求解；

（2）利用基本不等式求解.

　　【规范解答】

（1），同理：

，。

　　AD—AB=DB，故得，解得：

。

　　因此，算出的电视塔的高度H是124m。

（2）由题设知，得，

　　，（当且仅当时，取等号）

　　故当时，最大。

　　因为，则，由的单调性可知：

当时，-最大。

　　故所求的是m。

　　【高考真题探究】

　　．（XX•福建高考文科•Ｔ2）计算的结果等于（

　　）

　　A.

　　B.

　　c.

　　D.

　　【命题立意】本题考查利用余弦的倍角公式的逆用，即降幂公式，并进行三角的化简求值。

　　【思路点拨】直接套用倍角公式的逆用公式，即降幂公式即可。

　　【规范解答】选B，。

　　【方法技巧】对于三角公式的学习，要注意灵活掌握其变形公式，才能进行灵活的恒等变换。

如倍角公式：

，的逆用公式为“降幂公式”，即为，，在三角函数的恒等变形中，降幂公式的起着重要的作用。

　　2．（XX

　　海南宁夏高考理科T16）在中，D为边Bc上一点，BD=Dc,=120°，AD=2，若的面积为，则=

　　.

　　【命题立意】本题主要考查了余弦定理及其推论的综合应用.

　　【思路点拨】利用三角形中的余弦定理极其推论。

列出边与角满足的关系式求解.

　　【规范解答】设，则，由的面积为可知

　　，可得，由余弦定理可知

　　，所以

　　，所以

　　由，及

　　可求得

　　【答案】60°

　　【方法技巧】熟练三角形中隐含的角的关系，利用余弦定理或正弦定理找边与角的关系，列出等式求解.

　　3．（XX•天津高考理科•Ｔ7）在△ABc中，内角A,B,c的对边分别是a,b,c，若，，则A=

　　（A）

　　（B）

　　（c）

　　（D）

　　【命题立意】考查三角形的有关性质、正弦定理、余弦定理以及分析问题、解决问题的能力。

　　【思路点拨】根据正、余弦定理将边角互化。

　　【规范解答】选A，根据正弦定理及得：

　　，

　　。

　　【方法技巧】根据所给边角关系，选择使用正弦定理或余弦定理，将三角形的边转化为角。

　　4．（XX•北京高考理科•Ｔ１0）在△ABc中，若b=1，c=，，则a=

　　。

　　【命题立意】本题考查解三角形中的余弦定理。

　　【思路点拨】对利用余弦定理，通过解方程可解出。

　　【规范解答】由余弦定理得，，即，解得或（舍）。

　　【答案】1

　　【方法技巧】已知两边及一角求另一边时，用余弦定理比较好。

　　5．（XX•天津高考理科•Ｔ１7）已知函数

　　（Ⅰ）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；

　　（Ⅱ）若，求的值。

　　【命题立意】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦公式、函数的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力。

　　【思路点拨】化成一个角的三角函数的形式；变角，

　　【规范解答】

（1）由，得

　　所以函数的最小正周期为

　　因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又

　　，所以函数在区间上的最大值为2，最小值为-1

　　（Ⅱ）由

（1）可知

　　又因为，所以

　　由，得从而

　　所以

　　6．（XX•陕西高考理科•Ｔ１7）如图，A，B是海面上位于东西方向相距

　　海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°

　　的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的c点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？

　　【命题立意】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求角以及正、余弦定理，考查了解决三角形问题的能力，属于中档题。

　　【思路点拨】解三角形

　　【规范解答】

　　【跟踪模拟训练】

　　一、选择题（本大题共6个小题，每小题6分，总分36分）

　　．（XX届•山东省实验高三一诊（文））已知点在第四象限,则角的终边在

　　A．第一象限

　　B．第二象限

　　c．第三象限

　　D．第四象限

　　2．若，则的值为

　　A．

　　B．

　　c．

　　D．

　　3．函数的最小正周期T=（

　　）

　　（A）2π

　　（B）π

　　（c）

　　（D）

　　4．若函数y=f（x）同时具有下列三个性质：

（1）最小正周期为π，

（2）图象关于直线

　　对称；（3）在区间上是增函数，则y=f（x）的解析式可以是

　　（

　　）

　　A．

　　B．

　　c．

　　D．

　　5．（XX届•广东高三六校联考（理））如图，Rt△ABc中，Ac⊥Bc，D在边Ac上，已知Bc＝2，cD＝1，∠ABD＝45°，则AD＝（

　　）

　　A．2

　　B．5

　　c．4

　　D．1

　　二、填空题（本大题共3个小题，每小题6分，总分18分）

　　7．在中，角，，所对的边分别是，，，若，且，则的面积等于_____

　　8．若定义在区间上的函数对上的任意个值，，…，，总满足≤，则称为上的凸函数．已知函数在区间上是“凸函数”，则在△中，的最大值是____．

　　9.已知△ABc的三个内角A，B，c满足cosA+cosc=0,则A=_______.

　　三、解答题（10、11题每小题15分，12题16分，总分46分）

　　0．（本小题满分12分）已知．

（1）求；

（2）求的值．

　　1．已知函数的最小正周期为.

（1）求在区间上的最大值和最小值；

（2）求函数图象上与坐标原点最近的对称中心的坐标.

　　2．在锐角△ABc中，a、b、c分别为角A、B、c所对的边，且

　　确定角c的大小

　　（Ⅱ）若c＝,且△ABc的面积为

　　,求a＋b的值。

　　参考答案

　　．c

　　2．c

　　3．B

　　4．c

　　5．B

　　6．【解析】选A.依题意，画出图形.

　　△cAo是等腰三角形，

　　∴∠Dco=∠coA=π-2θ.

　　在Rt△coD中，

　　cD=co•cos∠Dco

　　=cos（π-2θ）=-cos2θ，

　　过o作oH⊥Ac于H点，则

　　cA=2AH=2oAcosθ=2cosθ.

　　∴f=Ac+cD=2cosθ-cos2θ.

　　7．

　　8．

　　9．【解析】∵cosA+cosc=0，

　　∴cosAsinB+cosAcosB+cos［π-］=0，

　　∴cosAsinB+cosAcosB-cos=0，

　　cosAsinB+cosAcosB-cosAcosB+sinAsinB=0，

　　即cosAsinB+sinAsinB=0.

　　又∵sinB≠0,∴cosA+sinA=0,

　　又A是三角形的内角,∴A=

　　.

　　答案：

　　0．解析：

（1）

　　，

（2）原式＝

　　=．

　　11．解析:

（1）

　　当时，

　　当时，取得最大值为，最小值为

（2）令，得

　　当时，，当时，，满足要求的对称中心为

　　2．解析：

（1）由及正弦定理得，

　　……………………………………3分

　　是锐角三角形，

　　……………………………………6分

（2）解法1：

由面积公式得

　　……………………9分

　　由余弦定理得

　　由②变形得……………………………………

　　2分

　　解法2：

前同解法1，联立①、②得

　　……………………………………9分

　　消去b并整理得解得

　　所以故……………………………………12分

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