八年级上册第四章一次函数综合题.docx
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八年级上册第四章一次函数综合题
1.△ABC是等边三角形,点A与点D的坐标分别是A(4,0),D(10,0).
(1)如图1,当点C与点O重合时,求直线BD的解析式;
(2)如图2,点C从点O沿y轴向下移动,当以点B为圆心,AB为半径的⊙B与y轴相切(切点为C)时,求点B的坐标;
(3)如图3,点C从点O沿y轴向下移动,当点C的坐标为C(0,-2
)时,求∠ODB的正切值.
2.(2013•枣庄)如图,在平面直角坐标中,直角梯形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上,AB∥OC,∠AOC=90°,∠BCO=45°,BC=12
,点C的坐标为(-18,0)
(1)求点B的坐标;
(2)若直线DE交梯形对角线BO于点D,交y轴于点E,且OE=4,OD=2BD,求直线DE的解析式.
3.如图1,在平面直角坐标系中,已知△AOB是等边三角形,点A的坐标是(0,4),点B在第一象限,点P是x轴上的一个动点,连接AP,并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转,使边AO与AB重合,得到△ABD.
(1)求直线AB的解析式;
(2)当点P运动到点(
,0)时,求此时DP的长及点D的坐标;
(3)是否存在点P,使△OPD的面积等于
?
若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
4.(2013•绥化)如图,直线MN与x轴,y轴分别相交于A,C两点,分别过A,C两点作x轴,y轴的垂线相交于B点,且OA,OC(OA>OC)的长分别是一元二次方程x2-14x+48=0的两个实数根.
(1)求C点坐标;
(2)求直线MN的解析式;
(3)在直线MN上存在点P,使以点P,B,C三点为顶点的三角形是等腰三角形,请直接写出P点的坐标.
5.(2013•泉州)如图,直线y=-
x+2
分别与x、y轴交于点B、C,点A(-2,0),P是直线BC上的动点.
(1)求∠ABC的大小;
(2)求点P的坐标,使∠APO=30°;
(3)在坐标平面内,平移直线BC,试探索:
当BC在不同位置时,使∠APO=30°的点P的个数是否保持不变?
若不变,指出点P的个数有几个?
若改变,指出点P的个数情况,并简要说明理由.
6.(2013•齐齐哈尔)如图,平面直角坐标系中,直线l分别交x轴、y轴于A、B两点(OA<OB)且OA、OB的长分别是一元二次方程x2-(
+1)x+
=0的两个根,点C在x轴负半轴上,且AB:
AC=1:
2
(1)求A、C两点的坐标;
(2)若点M从C点出发,以每秒1个单位的速度沿射线CB运动,连接AM,设△ABM的面积为S,点M的运动时间为t,写出S关于t的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(3)点P是y轴上的点,在坐标平面内是否存在点Q,使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形?
若存在,请直接写出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.
7.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(0,4),点B的坐标为(4,0),点C的坐标为(-4,0),点P在射线AB上运动,连结CP与y轴交于点D,连结BD.过P,D,B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E,延长DQ交⊙Q于点F,连结EF,BF.
(1)求直线AB的函数解析式;
(2)当点P在线段AB(不包括A,B两点)上时.
①求证:
∠BDE=∠ADP;
②设DE=x,DF=y.请求出y关于x的函数解析式;
(3)请你探究:
点P在运动过程中,是否存在以B,D,F为顶点的直角三角形,满足两条直角边之比为2:
1?
如果存在,求出此时点P的坐标:
如果不存在,请说明理由.
8.(2013•牡丹江)如图,在平面直角坐标系中,直线AB分别与x轴,y轴相交于A,B两点,OA,OB的长分别是方程x2-14x+48=0的两根,且OA<OB.
(1)求点A,B的坐标.
(2)过点A作直线AC交y轴于点C,∠1是直线AC与x轴相交所成的锐角,sin∠1=
,点D在线段CA的延长线上,且AD=AB,若反比例函数y=
的图象经过点D,求k的值.
(3)在
(2)的条件下,点M在射线AD上,平面内是否存在点N,使以A,B,M,N为顶点的四边形是邻边之比为1:
2的矩形?
若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
9.如图1,已知点A(0,4
)x轴正半轴上,且∠ABO=30°,动点P在线段AB上从点A向点B以每秒
个单位的速度运动,设运动时间为t秒,在x轴上取两点M、N作等边△PMN.
(1)求直线AB的解析式;
(2)求等边△PMN的边长(用t的代数式表示),并求出当顶点M运动到与原点O重合时t的值;
(3)如图2,如果取OB的中点D,以OD为边在Rt△AOB内部作矩形ODCE,点C在线段AB上,从点P开始运动到点M与原点O重合这一过程中,设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S,请求出S与t的函数关系式和相应的自变量t的取值范围.
10.如图,已知点A,B分别在x轴和y轴上,且OA=OB=3
,点C的坐标是C(
,
)AB与OC相交于点G.点P从O出发以每秒1个单位的速度从O运动到C,过P作直线EF∥AB分别交OA,OB或BC,AC于E,F.解答下列问题:
(1)直接写出点G的坐标和直线AB的解析式.
(2)若点P运动的时间为t,直线EF在四边形OACB内扫过的面积为s,请求出s与t的函数关系式;并求出当t为何值时,直线EF平分四边形OACB的面积.
(3)设线段OC的中点为Q,P运动的时间为t,求当t为何值时,△EFQ为直角三角形.
11.如图,在直角坐标系中,直线AB:
y=-
x+4分别交x、y轴于点A、B,线段OA上的一动点C以每秒1个单位的速度由O向点A运动,线段BA上的一动点D同时以每秒
个单位的速度由B向A运动.
(1)在运动过程中△ADC与△ABO是否相似?
试说明你的理由;
(2)问当运动时间t为多少秒时,以CD为直径的圆与y轴相切?
(3)在运动过程中是否存在某一时刻,使得△OCD与△ACD相似?
若存在,求出运动时间;若不存在,说明理由.
12.如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+8分别交x轴,y轴于点A,B,点M为线段AB的中点,点C在线段OA上,且OC是方程
的一个根.
(1)求点C的坐标;
(2)求直线CM的解析式;
(3)在直线CM上是否存在这样的点P,使得以A,C,P为顶点的三角形为等腰三角形?
若存在,请直接写出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
13.在平面直角坐标系中,Rt△ACB的BC边在x轴上,AC,BC的长是方程x2-14x+48=0的两根,且AC>BC,AB=BO,D在x轴上,∠ADC=∠CAO.
(1)求点A、B、C、D的坐标;
(2)求直线AD的解析式;
(3)在AD上是否存在点M,使△ABM是直角三角形?
若存在,直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
14.在平面直角坐标系中,四边形AOCB是直角梯形,点A(0,4),AB、OC的长是一元二次方程x2-11x+28=0的两根.问:
(1)求点B、C的坐标;
(2)过点B的直线BD交线段OC于点D,且四边形AODB的面积与△BDC的面积比为6:
5,求直线BD的解析式;
(3)若点P在直线BD上,点Q在y轴上,是否存在点P、Q,使得经PQBC为顶点的四边形为平行四边形?
若存在,请直接写出P点坐标;若不存在,请说明理由.
15.平面直角坐标系中,直线AB与x轴、y轴分别交与点A(4,0)、B(0,3)两点,在第一象限内是否存在点P,使得以P、O、B为顶点的三角形与△OBA相似?
若存在,请求出所有符合点P的坐标(并画出相对应的图);若不存在,请说明理由.
16.如图,在平面直角坐标系中,点C(-3,0),A(1,0),B(0,
).若点P从点C出发,以每秒1个单位的速度沿射线CB运动,连接AP.求点P的坐标,使以点A、B、P为顶点的三角形与△AOB相似?
17.如图,在平面直角坐标系中直线y=x+1与坐标轴交于AB两点,AB=AC,D、E分别为AC、BC的中点,作∠CDM=45°,AM⊥CM,
(1)求DM的长;
(2)连结OM,求证:
四边形OMCE为菱形.
18.如图,直线l的解析式为y=-x+4,它与x轴、y轴分别相交于A、B两点,平行于直线l的直线m从原点O出发,沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动,它与x轴、y轴分别相交于M、N两点,运动时间为t秒(0<t≤4)
(1)求A、B两点的坐标;
(2)用含t的代数式表示△MON的面积S1;
(3)以MN为对角线作矩形OMPN,记△MPN和△OAB重合部分的面积为S2;
①当2<t≤4时,试探究S2与之间的函数关系;
②在直线m的运动过程中,当t为何值时,S2为△OAB的面积的
?
19.(2009•山西)如图,已知直线l1:
y=
x+
与直线l2:
y=-2x+16相交于点C,l1、l2分别交x轴于A、B两点.矩形DEFG的顶点D、E分别在直线l1、l2上,顶点F、G都在x轴上,且点G与点B重合.
(1)求△ABC的面积;
(2)求矩形DEFG的边DE与EF的长;
(3)若矩形DEFG沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移,设移动时间为t(0≤t≤12)秒,矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S,求S关于t的函数关系式,并写出相应的t的取值范围.
20.已知一次函数y=ax+b的图象经过点A(0,2-
),B(1,4-
),C(c,c+4).
(1)求c;
(2)求a2+b2+c2-ab-ac-bc的值.
21.如图,在平面直角坐标系中,点O1的坐标为(-4,0),以点O1为圆心,8为半径的圆与x轴交于A,B两点,过A作直线l与x轴负方向相交成60°的角,且交y轴于C点,以点O2(13,5)为圆心的圆与x轴相切于点D.
(1)求直线l的解析式;
(2)将⊙O2以每秒1个单位的速度沿x轴向左平移,当⊙O2第一次与⊙O1外切时,求⊙O2平移的时间.
22.(2009•荆门)一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A(2,0),B(0,4).
(1)求该函数的解析式;
(2)O为坐标原点,设OA、AB的中点分别为C、D,P为OB上一动点,求PC+PD的最小值,并求取得最小值时P点的坐标.
23.如图,在平面直角坐标系中,点A(0,6),点B是x轴上的一个动点,连接AB,取AB的中点M,将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90°,得到线段BC.过点B作x轴的垂线交直线AC于点D.设点B坐标是(t,0).
(1)当t=4时,求直线AB的解析式;
(2)当t>0时,用含t的代数式表示点C的坐标及△ABC的面积;
(3)是否存在点B,使△ABD为等腰三角形?
若存在,请求出所有符合条件的点B的坐标;若不存在,请说明理由.
24.如图,已知一次函数y=kx+b的图象经过A(-2,-1),B(1,3)两点,并且交x轴于点C,交y轴于点D.
(1)求该一次函数的解析式;
(2)求tan∠OCD的值;
(3)求证:
∠AOB=135°.
25.阅读下面的材料:
在平面几何中,我们学过两条直线平行的定义.下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线,给出它们平行的定义:
设一次函数y=k1x+b1(k1≠0)的图象为直线l1,一次函数y=k2x+b2(k2≠0)的图象为直线l2,若k1=k2,且b1≠b2,我们就称直线l1与直线l2互相平行.解答下面的问题:
(1)求过点P(1,4)且与已知直线y=-2x-1平行的直线l的函数表达式,并画出直线l的图象;
(2)设直线l分别与y轴、x轴交于点A、B,如果直线m:
y=kx+t(t>0)与直线l平行且交x轴于点C,求出△ABC的面积S关于t的函数表达式.
26.直线y=kx+b(k≠0)与坐标轴分别交于A、B两点,OA、OB的长分别是方程x2-14x+48=0的两根(OA>OB),动点P从O点出发,沿路线O⇒B⇒A以每秒1个单位长度的速度运动,到达A点时运动停止.
(1)直接写出A、B两点的坐标;
(2)设点P的运动时间为t(秒),△OPA的面积为S,求S与t之间的函数关系式(不必写出自变量的取值范围);
(3)当S=12时,直接写出点P的坐标,此时,在坐标轴上是否存在点M,使以O、A、P、M为顶点的四边形是梯形?
若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
27.如图1,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,四边形ABCO是菱形,点A的坐标为(-3,4),点C在x轴的正半轴上,直线AC交y轴于点M,AB边交y轴于点H.
(1)求直线AC的解析式;
(2)连接BM,如图2,动点P从点A出发,沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动,设△PMB的面积为S(S≠0),点P的运动时间为t秒,求S与t之间的函数关系式(要求写出自变量t的取值范围);
(3)在
(2)的条件下,当t为何值时,∠MPB与∠BCO互为余角,并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值.
28.如图直线y=
x+4与x轴交于B点,与y轴交于A点,直线y=-2x+b过点A与x轴交于C点.
(1)求A、B、C三点坐标.
(2)过A、B、C三点作圆交y轴于一点D,再以OA为直径作圆交AB、AC于点E、F.求证:
∠AEF=∠ADB.
(3)求EF长.
29.已知,一次函数y=
(k是不为0的自然数,且是常数)的图象与两坐标轴所围成的图形的面积为Sk(即k=1时,得S1,k=2时,得S2,…).试求S1+S2+S3+…+S2012的值.
30.已知直线L1:
y=
x+5与坐标轴交于A、B两点,直线L2:
y=-2x+10与坐标轴交于C、D两点,两直线交于点P.
(1)求P点坐标;
(2)判别△PAC的形状,并说明理由;
(3)在x轴上是否存在点Q,使△PAQ是等腰三角形?
若存在,请直接写出Q点的坐标.
31.如图,在直角标系xOy中,点A的坐标为(1,0),点B、C的坐标分别为(-1,0)、(0,b),且0<b<3,直线l是过点B、C的直线,当点C在线段OC上移动时,过点A作AD⊥l交l于点D.
(1)求点D、O之间的距离;
(2)如果S△BDA:
S△BOC=a,试求a与b的函数关系式及a的取值范围;
(3)当∠ADO的正切值为
时,求直线l的解析式,并求此时△ABD与△BOC重叠部分的面积.
32.在平面直角坐标系内,直线l的关系式为y=x+b,点A、B的坐标分别是(1,0),(7、0),试就b的取值范围讨论在直线l上是否存在M点,使∠AMB=90°.
33.直线y=-
x+
和x轴、y轴分别交于A、B两点,以线段AB为一边作等边三角形ABC.使顶点C位于第一象限内,在第一象限内另有一点Q(
,m),且满足S△ABQ=
S△ABC.求:
(1)A、B两点的坐标;
(2)线段AB的长;
(3)m的值.
34.如图,在平面直角坐标系中,已知A点坐标(4,0),B点坐标(0,8),点M是线段OA上一动点(不与点O、点A重合),点N是线段OB上一动点,且运动时始终保持ON=2AM,连接MN,并作△OMN的角平分线OD交线段MN于点D.
(1)当△ODN≌△ODA时,线段MN上有哪几个整数点(横坐标,纵坐标都是整数的点)?
(2)当OD=DM时,求△OMN中的整数点的个数(包括三角形边上的点),并说明理由;
(3)点D可能是整数点吗?
若存在,则请求出OM的长度;若不存在,则说明理由.
35.如图,矩形AOBC在直角坐标系中,已知点A的坐标为(0,3),点B的坐标为(6,0),直线y=
x与AC交于点D.有一动点P从O出发,沿线段OB以每秒2个单位长度的速度运动,当点P运动到点B时,点P停止运动,设运动时间为t秒.
(1)当t为何值时,△OEP为直角三角形?
(2)当t为何值时,△OEP为等腰三角形?
36.如图,在平面直角坐标系中,已知四边形ABCD的四个顶点坐标为A(0,6)、B(-3,0)、C(0,-2)、D(4,0),P为AB、DC延长线的交点.
(1)求直线AB、CD对应的函数解析式;
(2)求点P的坐标;
(3)求证:
△PCB∽△PDA;
(4)求S△PBC.
37.平面直角坐标系中,直线y=-x+5交x轴、y轴于A、B两点,C(2,m)是直线AB上一点,过点C的直线交x轴于点D(-2,0)
(1)求直线CD的函数解析式;
(2)已知直线CD交y轴于点E,求△BCE的面积;
(3)设P是折线段D-A-B上的一动点(异于点D、C),若△PCD是直角三角形,求PD的长.
38.如图,在平面直角坐标系中,A点的坐标为(4,0)点P是直线y=-0.5x+3在第一象限内的一点,O是原点.
(1)设P点的坐标为(x,y),试用它的纵坐标y表示△OPA的面积S;
(2)S与y是怎样的函数关系它的自变量y的取值范围是什么?
(3)如果用P的横坐标x表示△OPA的面积S,S与x是怎样的函数关系它的自变量x的取值范围是什么?
(4)在直线y=-0.5x+3上求一点Q,使△QOA是以OA为底的等腰三角形.
39.已知直线y=
x+4与x轴、y轴的交点分别为A、B.又P、Q两点的坐标分别为P(0,-1),Q(0,k),其中0<k<4,再以Q点为圆心,PQ长为半径作圆,则当k取何值时,⊙Q与直线AB相切?
40.在直角坐标系x0y中,一次函数y=
x+
的图象与x轴,y轴,分别交于A、B两点,点C坐标为(1,0),点D在x轴上,且∠BCD=∠ABD,求图象经过B、D两点的一次函数的解析式.
41.如图,矩形OABC的顶点0、B的坐标分别是O(0,0)、B(8,4),顶点A在x轴上,顶点C在y轴上,把△OAB沿OB翻折,使点A落在点D的位置,BD与OA交于E.
①求证:
OE=EB;
②求OE、DE的长度;
③求直线BD的解析.
42.已知:
如图,直线y=-x+12分别交x轴、y轴于A、B点,将△AOB折叠,使A点恰好落在OB的中点C处,折痕为DE.
(1)求AE的长及sin∠BEC的值;
(2)求△CDE的面积.
43.某公路的同一侧有A,B,C三个村庄,要在公路Ox边建一货栈D,向A,B,C三个村庄送农用物资,路线是D→A→B→C→D或D→C→A→D.
(1)在公路边是否存在点D,使送货路程最短?
(把公路边近似看做公路上)
(2)将A,B,C三点放在平面直角坐标系中,把x轴建立在公路上,如图,画出D点在该坐标系中的位置,并求点D的坐标.
44.如图,已知梯形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-1,0),B(5,0),C(2,2),D(0,2),直线y=kx+2将梯形分成面积相等的两部分,求k的值.
45.在直线y=
x-1上是否存在一点P,使得以P点为圆心的圆经过已知两点A(-3,2),B(1,2).若存在,求出P点的坐标,并作图.
46.如图,直线y=-
x+1与x轴、y轴分别交于点A、B,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC,∠BAC=90°,如果在第二象限内有一点P(a,
),且△ABP的面积与△ABC的面积相等,求a的值.
47.如图,等腰梯形ABCD置于平面直角坐标系中,CD∥x轴,AB 在x轴上,AC平分∠DAB,直线AD的解析式为y=
x+4.
(1)求点C的坐标;
(2)动点P分别从点A出发,沿AB向终点B运动,速度为每秒2个单位长度,过点P作x轴的垂线,并交直线AC于点F,过F点作x轴的平行线交直线BC于点M,设点P运动时间为t秒,设线段FM的长度为y,求y与t的函数关系式(请直接写出自变量t的取值范围);
(3)在
(2)的条件下,设△PFM的外接圆的圆心为K,连接FM、KM,当t为何值时,直线PM与KF所夹锐角正切值为
.
48.如图1,B、A在x、y轴的正半轴上,C在x轴正半轴上B点的右侧,OB、OC是方程x2-3x+2=0的两根,AB=2OB,D(1,-1).
(1)求四边形AODB的面积;
(2)若y=kx+1(k≠0)交线段AO、BD于E、F,且S四边形AEFB=
+
,求k的值;
(3)将△OCD绕点C顺时针旋转一定角度后得到△O′CD′,若点D′恰好落在边AB上,求O′到x轴的距离.
49.已知:
线段OA、OB(OA<OB)的长是一元二次方程x2-7x+12=0的两个根.
(1)求直线AB的解析式;
(2)在x轴上存在一点C,使△ABC的面积为9,求点C的坐标;
(3)在y轴上是否存在一点P,使△ABP为等腰三角形?
若存在直接写出点P的坐标;若不存在请说明理由.
50.如图,直线y=kx-1与x轴、y轴分别交与B、C两点,且OB、OC(OB<OC)分别是一元二次方程2x2-3x+1=0的两根.
(1)求B点的坐标;
(2)若点A(x,y)是第一象限内的直线y=kx-1上的一个动点.
①当点A运动过程中,试写出△AOB的面积S与x的函数关系式,并求当S=
时点A的坐标;
②在①成立的情况下,x轴上是否存在一点P,使△PAB是等腰三角形?
若存在,请求出满足条件的所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
51.如图,在平面直角坐标系内,直线AB分别与x轴、y轴交于B、A两点,且OB=2OA,S△ABO=16.
(1)求直线AB的解析式;
(2)若以OA为一边作如图所示的正方形AOCD,CD交AB于点P,问在x轴上是否存在一点Q,使以P、C、Q为顶点的三角形与△ADP相似?
若存在,求点Q坐标;若不存在,说明理由.
52.如图,一次函数y=-
x+2
的图象与坐标轴分别交于点 A和B两点,将△AOB沿直线CD折起,使点A与点B重合,直线CD交AB于点D.
(1)求点C的坐标;
(2)在射线DC上求一点P,使得PC=AC,求出点P的坐标;
(3)在坐标平面内,是否存在点Q(除点C外),使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ACD全等?
若存在,请求出所有符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理.
53.已知直线y=
x+
-3和y=-
x+
+
的交点在第四象限内.
(1)求k的取值范围.
(2)若k为非负整数,点A的坐标为(2,0),在直线y=
x+
-3上是否存在一点P,使△PAO是以OA为底的等腰三角形?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
54.如图,矩形OABC中,O为直角坐标系的原点,A、C两点的坐标分别为(a,0)、(0,b),且(a-3)2+
=0
(1)直接写出B点坐标;
(2)若过点C的直线CD交AB边于点D,且把矩形OABC的周长分为1:
3两部分,求直线CD的解析式.
55.已知一次函数图象经过点A(3,5)和点B(-4,-9)两点,
①求此一次函数的解析式;
②若点(a,2)在该函数的图象上,试求a的值.
③若此一次函数的图象与x轴交点C,点P(m,n)是图象上一个动点(不与点C重合),设△POC的面积是S,试求S关于m的函数关系式.
56.若一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A(4,0),B(0,6).
(1)求该一次函数的解析式;
(2)O为坐标原点,设OA、AB的中点分别为C、D,P为OB上一动点,求PC+PD的最小值.
57.如图1,已知点A(0,4
),点B在x轴正半轴上,且∠ABO=30°,动点P在线段AB上从点A向点B以每秒
个单位的速度运动,设运动时间为t秒,在x轴上取两点M、N作等边△PMN.
(1)求直线AB的解析式;
(2)求等边△PMN的边长(用t的代数式表示),并求出当顶点M运动到与原点O重合时t的值;
(3)