八年级上册第四章一次函数综合题.docx
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八年级上册第四章一次函数综合题
1.△ABC是等边三角形，点A与点D的坐标分别是A（4，0），D（10，0）．
（1）如图1，当点C与点O重合时，求直线BD的解析式；
（2）如图2，点C从点O沿y轴向下移动，当以点B为圆心，AB为半径的⊙B与y轴相切（切点为C）时，求点B的坐标；
（3）如图3，点C从点O沿y轴向下移动，当点C的坐标为C（0，-2
）时，求∠ODB的正切值．
2.（2013•枣庄）如图，在平面直角坐标中，直角梯形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=12
，点C的坐标为（-18，0）
（1）求点B的坐标；
（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE=4，OD=2BD，求直线DE的解析式．
3.如图1，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当点P运动到点（
，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；
（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于
？
若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4.（2013•绥化）如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2-14x+48=0的两个实数根．
（1）求C点坐标；
（2）求直线MN的解析式；
（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．
5.（2013•泉州）如图，直线y=-
x+2
分别与x、y轴交于点B、C，点A（-2，0），P是直线BC上的动点．
（1）求∠ABC的大小；
（2）求点P的坐标，使∠APO=30°；
（3）在坐标平面内，平移直线BC，试探索：
当BC在不同位置时，使∠APO=30°的点P的个数是否保持不变？
若不变，指出点P的个数有几个？
若改变，指出点P的个数情况，并简要说明理由．
6.（2013•齐齐哈尔）如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程x2-（
+1）x+
=0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：
AC=1：
2
（1）求A、C两点的坐标；
（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？
若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
7.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（-4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时．
①求证：
∠BDE=∠ADP；
②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；
（3）请你探究：
点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：
1？
如果存在，求出此时点P的坐标：
如果不存在，请说明理由．
8.（2013•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴相交于A，B两点，OA，OB的长分别是方程x2-14x+48=0的两根，且OA＜OB．
（1）求点A，B的坐标．
（2）过点A作直线AC交y轴于点C，∠1是直线AC与x轴相交所成的锐角，sin∠1=
，点D在线段CA的延长线上，且AD=AB，若反比例函数y=
的图象经过点D，求k的值．
（3）在
（2）的条件下，点M在射线AD上，平面内是否存在点N，使以A，B，M，N为顶点的四边形是邻边之比为1：
2的矩形？
若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
9.如图1，已知点A（0，4
）x轴正半轴上，且∠ABO=30°，动点P在线段AB上从点A向点B以每秒
个单位的速度运动，设运动时间为t秒，在x轴上取两点M、N作等边△PMN．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示），并求出当顶点M运动到与原点O重合时t的值；
（3）如图2，如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB内部作矩形ODCE，点C在线段AB上，从点P开始运动到点M与原点O重合这一过程中，设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出S与t的函数关系式和相应的自变量t的取值范围．
10.如图，已知点A，B分别在x轴和y轴上，且OA=OB=3
，点C的坐标是C（
，
）AB与OC相交于点G．点P从O出发以每秒1个单位的速度从O运动到C，过P作直线EF∥AB分别交OA，OB或BC，AC于E，F．解答下列问题：
（1）直接写出点G的坐标和直线AB的解析式．
（2）若点P运动的时间为t，直线EF在四边形OACB内扫过的面积为s，请求出s与t的函数关系式；并求出当t为何值时，直线EF平分四边形OACB的面积．
（3）设线段OC的中点为Q，P运动的时间为t，求当t为何值时，△EFQ为直角三角形．
11.如图，在直角坐标系中，直线AB：
y=-
x+4分别交x、y轴于点A、B，线段OA上的一动点C以每秒1个单位的速度由O向点A运动，线段BA上的一动点D同时以每秒
个单位的速度由B向A运动．
（1）在运动过程中△ADC与△ABO是否相似？
试说明你的理由；
（2）问当运动时间t为多少秒时，以CD为直径的圆与y轴相切？
（3）在运动过程中是否存在某一时刻，使得△OCD与△ACD相似？
若存在，求出运动时间；若不存在，说明理由．
12.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+8分别交x轴，y轴于点A，B，点M为线段AB的中点，点C在线段OA上，且OC是方程
的一个根．
（1）求点C的坐标；
（2）求直线CM的解析式；
（3）在直线CM上是否存在这样的点P，使得以A，C，P为顶点的三角形为等腰三角形？
若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
13.在平面直角坐标系中，Rt△ACB的BC边在x轴上，AC，BC的长是方程x2-14x+48=0的两根，且AC＞BC，AB=BO，D在x轴上，∠ADC=∠CAO．
（1）求点A、B、C、D的坐标；
（2）求直线AD的解析式；
（3）在AD上是否存在点M，使△ABM是直角三角形？
若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
14.在平面直角坐标系中，四边形AOCB是直角梯形，点A（0，4），AB、OC的长是一元二次方程x2-11x+28=0的两根．问：
（1）求点B、C的坐标；
（2）过点B的直线BD交线段OC于点D，且四边形AODB的面积与△BDC的面积比为6：
5，求直线BD的解析式；
（3）若点P在直线BD上，点Q在y轴上，是否存在点P、Q，使得经PQBC为顶点的四边形为平行四边形？
若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．
15.平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交与点A（4，0）、B（0，3）两点，在第一象限内是否存在点P，使得以P、O、B为顶点的三角形与△OBA相似？
若存在，请求出所有符合点P的坐标（并画出相对应的图）；若不存在，请说明理由．
16.如图，在平面直角坐标系中，点C（-3，0），A（1，0），B（0，
）．若点P从点C出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AP．求点P的坐标，使以点A、B、P为顶点的三角形与△AOB相似？
17.如图，在平面直角坐标系中直线y=x+1与坐标轴交于AB两点，AB=AC，D、E分别为AC、BC的中点，作∠CDM=45°，AM⊥CM，
（1）求DM的长；
（2）连结OM，求证：
四边形OMCE为菱形．
18.如图，直线l的解析式为y=-x+4，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点，平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，运动时间为t秒（0＜t≤4）
（1）求A、B两点的坐标；
（2）用含t的代数式表示△MON的面积S1；
（3）以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和△OAB重合部分的面积为S2；
①当2＜t≤4时，试探究S2与之间的函数关系；
②在直线m的运动过程中，当t为何值时，S2为△OAB的面积的
？
19.（2009•山西）如图，已知直线l1：
y=
x+
与直线l2：
y=-2x+16相交于点C，l1、l2分别交x轴于A、B两点．矩形DEFG的顶点D、E分别在直线l1、l2上，顶点F、G都在x轴上，且点G与点B重合．
（1）求△ABC的面积；
（2）求矩形DEFG的边DE与EF的长；
（3）若矩形DEFG沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t（0≤t≤12）秒，矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．
20.已知一次函数y=ax+b的图象经过点A（0，2-
），B（1，4-
），C（c，c+4）．
（1）求c；
（2）求a2+b2+c2-ab-ac-bc的值．
21.如图，在平面直角坐标系中，点O1的坐标为（-4，0），以点O1为圆心，8为半径的圆与x轴交于A，B两点，过A作直线l与x轴负方向相交成60°的角，且交y轴于C点，以点O2（13，5）为圆心的圆与x轴相切于点D．
（1）求直线l的解析式；
（2）将⊙O2以每秒1个单位的速度沿x轴向左平移，当⊙O2第一次与⊙O1外切时，求⊙O2平移的时间．
22.（2009•荆门）一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．
（1）求该函数的解析式；
（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC+PD的最小值，并求取得最小值时P点的坐标．
23.如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B是x轴上的一个动点，连接AB，取AB的中点M，将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90°，得到线段BC．过点B作x轴的垂线交直线AC于点D．设点B坐标是（t，0）．
（1）当t=4时，求直线AB的解析式；
（2）当t＞0时，用含t的代数式表示点C的坐标及△ABC的面积；
（3）是否存在点B，使△ABD为等腰三角形？
若存在，请求出所有符合条件的点B的坐标；若不存在，请说明理由．
24.如图，已知一次函数y=kx+b的图象经过A（-2，-1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）求tan∠OCD的值；
（3）求证：
∠AOB=135°．
25.阅读下面的材料：
在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义．下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：
设一次函数y=k1x+b1（k1≠0）的图象为直线l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2，若k1=k2，且b1≠b2，我们就称直线l1与直线l2互相平行．解答下面的问题：
（1）求过点P（1，4）且与已知直线y=-2x-1平行的直线l的函数表达式，并画出直线l的图象；
（2）设直线l分别与y轴、x轴交于点A、B，如果直线m：
y=kx+t（t＞0）与直线l平行且交x轴于点C，求出△ABC的面积S关于t的函数表达式．
26.直线y=kx+b（k≠0）与坐标轴分别交于A、B两点，OA、OB的长分别是方程x2-14x+48=0的两根（OA＞OB），动点P从O点出发，沿路线O⇒B⇒A以每秒1个单位长度的速度运动，到达A点时运动停止．
（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）设点P的运动时间为t（秒），△OPA的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；
（3）当S=12时，直接写出点P的坐标，此时，在坐标轴上是否存在点M，使以O、A、P、M为顶点的四边形是梯形？
若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
27.如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（-3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．
（1）求直线AC的解析式；
（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在
（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．
28.如图直线y=
x+4与x轴交于B点，与y轴交于A点，直线y=-2x+b过点A与x轴交于C点．
（1）求A、B、C三点坐标．
（2）过A、B、C三点作圆交y轴于一点D，再以OA为直径作圆交AB、AC于点E、F．求证：
∠AEF=∠ADB．
（3）求EF长．
29.已知，一次函数y=
（k是不为0的自然数，且是常数）的图象与两坐标轴所围成的图形的面积为Sk（即k=1时，得S1，k=2时，得S2，…）．试求S1+S2+S3+…+S2012的值．
30.已知直线L1：
y=
x+5与坐标轴交于A、B两点，直线L2：
y=-2x+10与坐标轴交于C、D两点，两直线交于点P．
（1）求P点坐标；
（2）判别△PAC的形状，并说明理由；
（3）在x轴上是否存在点Q，使△PAQ是等腰三角形？
若存在，请直接写出Q点的坐标．
31.如图，在直角标系xOy中，点A的坐标为（1，0），点B、C的坐标分别为（-1，0）、（0，b），且0＜b＜3，直线l是过点B、C的直线，当点C在线段OC上移动时，过点A作AD⊥l交l于点D．
（1）求点D、O之间的距离；
（2）如果S△BDA：
S△BOC=a，试求a与b的函数关系式及a的取值范围；
（3）当∠ADO的正切值为
时，求直线l的解析式，并求此时△ABD与△BOC重叠部分的面积．
32.在平面直角坐标系内，直线l的关系式为y=x+b，点A、B的坐标分别是（1，0），（7、0），试就b的取值范围讨论在直线l上是否存在M点，使∠AMB=90°．
33.直线y=-
x+
和x轴、y轴分别交于A、B两点，以线段AB为一边作等边三角形ABC．使顶点C位于第一象限内，在第一象限内另有一点Q（
，m），且满足S△ABQ=
S△ABC．求：
（1）A、B两点的坐标；
（2）线段AB的长；
（3）m的值．
34.如图，在平面直角坐标系中，已知A点坐标（4，0），B点坐标（0，8），点M是线段OA上一动点（不与点O、点A重合），点N是线段OB上一动点，且运动时始终保持ON=2AM，连接MN，并作△OMN的角平分线OD交线段MN于点D．
（1）当△ODN≌△ODA时，线段MN上有哪几个整数点（横坐标，纵坐标都是整数的点）？
（2）当OD=DM时，求△OMN中的整数点的个数（包括三角形边上的点），并说明理由；
（3）点D可能是整数点吗？
若存在，则请求出OM的长度；若不存在，则说明理由．
35.如图，矩形AOBC在直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（6，0），直线y=
x与AC交于点D．有一动点P从O出发，沿线段OB以每秒2个单位长度的速度运动，当点P运动到点B时，点P停止运动，设运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，△OEP为直角三角形？
（2）当t为何值时，△OEP为等腰三角形？
36.如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD的四个顶点坐标为A（0，6）、B（-3，0）、C（0，-2）、D（4，0），P为AB、DC延长线的交点．
（1）求直线AB、CD对应的函数解析式；
（2）求点P的坐标；
（3）求证：
△PCB∽△PDA；
（4）求S△PBC．
37.平面直角坐标系中，直线y=-x+5交x轴、y轴于A、B两点，C（2，m）是直线AB上一点，过点C的直线交x轴于点D（-2，0）
（1）求直线CD的函数解析式；
（2）已知直线CD交y轴于点E，求△BCE的面积；
（3）设P是折线段D-A-B上的一动点（异于点D、C），若△PCD是直角三角形，求PD的长．
38.如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（4，0）点P是直线y=-0.5x+3在第一象限内的一点，O是原点．
（1）设P点的坐标为（x，y），试用它的纵坐标y表示△OPA的面积S；
（2）S与y是怎样的函数关系它的自变量y的取值范围是什么？
（3）如果用P的横坐标x表示△OPA的面积S，S与x是怎样的函数关系它的自变量x的取值范围是什么？
（4）在直线y=-0.5x+3上求一点Q，使△QOA是以OA为底的等腰三角形．
39.已知直线y=
x+4与x轴、y轴的交点分别为A、B．又P、Q两点的坐标分别为P（0，-1），Q（0，k），其中0＜k＜4，再以Q点为圆心，PQ长为半径作圆，则当k取何值时，⊙Q与直线AB相切？
40.在直角坐标系x0y中，一次函数y=
x+
的图象与x轴，y轴，分别交于A、B两点，点C坐标为（1，0），点D在x轴上，且∠BCD=∠ABD，求图象经过B、D两点的一次函数的解析式．
41.如图，矩形OABC的顶点0、B的坐标分别是O（0，0）、B（8，4），顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，把△OAB沿OB翻折，使点A落在点D的位置，BD与OA交于E．
①求证：
OE=EB；
②求OE、DE的长度；
③求直线BD的解析．
42.已知：
如图，直线y=-x+12分别交x轴、y轴于A、B点，将△AOB折叠，使A点恰好落在OB的中点C处，折痕为DE．
（1）求AE的长及sin∠BEC的值；
（2）求△CDE的面积．
43.某公路的同一侧有A，B，C三个村庄，要在公路Ox边建一货栈D，向A，B，C三个村庄送农用物资，路线是D→A→B→C→D或D→C→A→D．
（1）在公路边是否存在点D，使送货路程最短？
（把公路边近似看做公路上）
（2）将A，B，C三点放在平面直角坐标系中，把x轴建立在公路上，如图，画出D点在该坐标系中的位置，并求点D的坐标．
44.如图，已知梯形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（-1，0），B（5，0），C（2，2），D（0，2），直线y=kx+2将梯形分成面积相等的两部分，求k的值．
45.在直线y=
x-1上是否存在一点P，使得以P点为圆心的圆经过已知两点A（-3，2），B（1，2）．若存在，求出P点的坐标，并作图．
46.如图，直线y=-
x+1与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC=90°，如果在第二象限内有一点P（a，
），且△ABP的面积与△ABC的面积相等，求a的值．
47.如图，等腰梯形ABCD置于平面直角坐标系中，CD∥x轴，AB 在x轴上，AC平分∠DAB，直线AD的解析式为y=
x+4．
（1）求点C的坐标；
（2）动点P分别从点A出发，沿AB向终点B运动，速度为每秒2个单位长度，过点P作x轴的垂线，并交直线AC于点F，过F点作x轴的平行线交直线BC于点M，设点P运动时间为t秒，设线段FM的长度为y，求y与t的函数关系式（请直接写出自变量t的取值范围）；
（3）在
（2）的条件下，设△PFM的外接圆的圆心为K，连接FM、KM，当t为何值时，直线PM与KF所夹锐角正切值为
．
48.如图1，B、A在x、y轴的正半轴上，C在x轴正半轴上B点的右侧，OB、OC是方程x2-3x+2=0的两根，AB=2OB，D（1，-1）．
（1）求四边形AODB的面积；
（2）若y=kx+1（k≠0）交线段AO、BD于E、F，且S四边形AEFB=
+
，求k的值；
（3）将△OCD绕点C顺时针旋转一定角度后得到△O′CD′，若点D′恰好落在边AB上，求O′到x轴的距离．
49.已知：
线段OA、OB（OA＜OB）的长是一元二次方程x2-7x+12=0的两个根．
（1）求直线AB的解析式；
（2）在x轴上存在一点C，使△ABC的面积为9，求点C的坐标；
（3）在y轴上是否存在一点P，使△ABP为等腰三角形？
若存在直接写出点P的坐标；若不存在请说明理由．
50.如图，直线y=kx-1与x轴、y轴分别交与B、C两点，且OB、OC（OB＜OC）分别是一元二次方程2x2-3x+1=0的两根．
（1）求B点的坐标；
（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx-1上的一个动点．
①当点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式，并求当S=
时点A的坐标；
②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△PAB是等腰三角形？
若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
51.如图，在平面直角坐标系内，直线AB分别与x轴、y轴交于B、A两点，且OB=2OA，S△ABO=16．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若以OA为一边作如图所示的正方形AOCD，CD交AB于点P，问在x轴上是否存在一点Q，使以P、C、Q为顶点的三角形与△ADP相似？
若存在，求点Q坐标；若不存在，说明理由．
52.如图，一次函数y=-
x+2
的图象与坐标轴分别交于点 A和B两点，将△AOB沿直线CD折起，使点A与点B重合，直线CD交AB于点D．
（1）求点C的坐标；
（2）在射线DC上求一点P，使得PC=AC，求出点P的坐标；
（3）在坐标平面内，是否存在点Q（除点C外），使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ACD全等？
若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理．
53.已知直线y=
x+
-3和y=-
x+
+
的交点在第四象限内．
（1）求k的取值范围．
（2）若k为非负整数，点A的坐标为（2，0），在直线y=
x+
-3上是否存在一点P，使△PAO是以OA为底的等腰三角形？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
54.如图，矩形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、C两点的坐标分别为（a，0）、（0，b），且（a-3）2+
=0
（1）直接写出B点坐标；
（2）若过点C的直线CD交AB边于点D，且把矩形OABC的周长分为1：
3两部分，求直线CD的解析式．
55.已知一次函数图象经过点A（3，5）和点B（-4，-9）两点，
①求此一次函数的解析式；
②若点（a，2）在该函数的图象上，试求a的值．
③若此一次函数的图象与x轴交点C，点P（m，n）是图象上一个动点（不与点C重合），设△POC的面积是S，试求S关于m的函数关系式．
56.若一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（4，0），B（0，6）．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC+PD的最小值．
57.如图1，已知点A（0，4
），点B在x轴正半轴上，且∠ABO=30°，动点P在线段AB上从点A向点B以每秒
个单位的速度运动，设运动时间为t秒，在x轴上取两点M、N作等边△PMN．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示），并求出当顶点M运动到与原点O重合时t的值；
（3）
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