1995年考研数学三真题及全面解析.docx
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1995年考研数学三真题及全面解析
1995年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.）
（1）
设f（x）1
x,则f（n）（x）.
x
⑵
设zxyf（-）,
x
f（u）可导，则xzxyzy
⑶
设f（Inx）
1
x,则f（x）.
1
0
0
⑷
设A2
2
0,A是A的伴随矩阵，
3
4
5
则（A）1
设Xi,X2丄，Xn是来自正态总体N（,2）的简单随机样本，其中参数和2未知,
1nn
-XiQ2（XiX）2,则假设Ho：
0的t检验使用统计量t
ni1i1
二、选择题（本题共5小题，每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）
（1）
设f（x）为可导函数，且满足条件
..f
（1）lim
x0
f（1
2x
x）
1,则曲线y
f（x）在点
（1,f
（1））处的切线斜率为
（
）
（A）2（B）
1
（C）
1
（D）
2
2
⑵
下列广义积分发散的是
（）
11
1
1
（A）dx
（B）
~f
=dx
1sinx
1
1
x2
x2
（C）edx
（D）
1
2dx
0
2
xln
x
⑶
设矩阵Amn的秩为r（A）
mi
n,Em为m阶单位矩阵
下述结论中正确的是（
（A）A的任意m个行向量必线性无关
（B）A的任意一个m阶子式不等于零
（C）若矩阵B满足BA0,则B0
（D）A通过初等行变换,必可以化为（Em,0）的形式
⑷设随机变量X和Y独立同分布，记UXY,VXY,则随机变量U与V必然
（A）不独立（B）
独立
（C）
相关系数不为零
（D）
相关系数为零
（5）设随即变量X服从正态分布N（,
2）,则随
的增大，概率P
（A）单调增大
（B）单调减少
（C）
保持不变
（D）
增减不定
三、（本题满分
4（1
x
COSX）,
设f（X）
1,
0,试讨论f（x）在
x0处的连续性和可导性.
四、（本题满分
0cost2dt,
已知连续函数f（x）满足条件f（X）
3xt
f-dt
03
e2x,求f（x）.
五、（本题满分
将函数y
ln（1x2x2）展成x的幕级数，并指出其收敛区间.
六、（本题满分
计算
min{x,y}e（x
2）
y）dxdy.
七、（本题满分
设某产品的需求函数为Q
Q（p）,收益函数为
RpQ,其中p为产品价格，Q为需求
量（产品的产量
）,Q（p）为单调减函数•如果当价格为
p0,对应产量为Q0时,边际收益
dR
0,收益对价格的边际效应一
dp
c0,需求对价格的弹性Epb1.
pPo
求Po和Qo.
八、（本题满分
设f（X）、
g（x）在区间[a,a]（a0）上连续,
g（X）为偶函数,且f（x）满足条件
f（x）f（x）
A（A为常数）.
（1）证明
a
f（x）g（x）dxA
a
a
0g（x）dx；
⑵利用⑴的结论计算定积分2sinxarctanexdx.
2
九、（本题满分9分）
已知向量组（I）1,2,3；（n）1,
2,3,4；（n）1,2,3,5,如果各向量组的秩
分别为r（I）r（ll）3,r（III）4.
证明：
向量组1,2,3,54的秩为
4.
十、（本题满分10分）
已知二次型f（x1,x2,x3）4xf3xf
4xiX24x1x38x2x3•
（1）写出二次型f的矩阵表达式；
（2）用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵•
十一、（本题满分8分）
假设一厂家生产的每台仪器,以概率0.70可以直接出厂；以概率0.30需进一步调试
经调试后以概率0.80可以出厂；以概率0.20定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了
n（n2）台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）.求：
（1）全部能出厂的概率；
（2）其中恰好有两台不能出厂的概率；
（3）其中至少有两台不能出厂的概率
十二、（本题满分8分）
已知随机变量X和Y的联合概率密度为
4xy,0x1,0y1,
f（x，y）0,其他,
求X和Y联合分布函数F（x,y）.
1995年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
、填空题
（本题共5小题,每小题3分,满分15分.）
（1）【答案】
2
（1）nn!
（1
n1
x）
所以
【解析】
由于
f（x）
⑵【答案】
所以
f（x）
f（x）
f（n）（x）
2xyf—
x
1）（1
1）（
x）
2）（1
2（1x）
x）3,L,
2
（1）nn!
（1
x）
（n1）
【解析】根据复合函数求导法则
yf-x
xyf
yf
Zy
xyf
xf
XZx
yzy
y2f
xyf
【相关知识点】复合函数求导法则:
11,
2
（1）nn!
（1
yf
_y
x
⑶【答案】x
exC
【解析】在
f（Inx）
1x中令Inx
f（t）
etdtt
、ni
x）
2
y
xx
y2f
_y
x
2xyf—
x
（f（x））的导数为y（f（x））f（x）.
t,则f（t）
1et,从而
f（x）xexC.
1
⑷【答案】
2
10
【解析】由AA
AE,有
AaaE,故
AA.
1
0
0
而
A
2
2
0
10,
3
4
5
1
0
0
所以
1
A
1
A
—2
2
0
冈
10
3
4
5
【解析】假设检验是统计推断的另一个基本问题，它是根据具体情况和问题的要求，首先提出原假设H。
再由样本提供的信息，通过适当的方法来判断对总体所作的假设H。
是否成立.
首先分析该题是属于一个正态总体方差未知的关于期望值的假设检验问题•据此类型应该选取t检验的统计量是
i）.
经过化简得
【相关知识点】假设检验的一般步骤：
（1）确定所要检验的基本假设H0；
（2）选择检验的统计量，并要求知道其在一定条件下的分布；
（3）对确定的显著性水平，查相应的概率分布，得临界值，从而确定否定域；
（4）由样本计算统计量，并判断其是否落入否定域，从而对假设Ho作出拒绝还是接受的判
断•二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.）
（1）【答案】（D）
【解析】因f⑴limf（1Vx）Ovxxlimf（1x）以°
Vx0Vx=x0x
f
（1）f（1x）
x
所以应选（D）.
（2）【答案】（A）
且泊松积分
故应选（A）.
1
J1
1
dx——
2xln2x
Inx2
In2
x2
—
edx
5
0
2
11
积分dx应分解为两个反常积分之和
1sinx
（3）【答案】（C）
【解析】r（A）m表示A中有m个列向量线性无关，有m阶子式不等于零，并不是任意
的，因此（A）、（B）均不正确.
经初等变换可把A化成标准形，一般应当既有初等行变换也有初等列变换，只用一种不
010
一定能化为标准形•例如，只用初等行变换就不能化成（E2,0）的形式，故（D）不正
001
确•
关于（C），由BA0知r（B）r（A）m，又r（A）m，从而r（B）0，按定义又有
r（B）0,于是r（B）0,即B0.故应选（C）.
⑷【答案】（D）
【解析】Cov（U,V）Cov（XY,XY）.
Cov（X,XY）Cov（Y,XY）
Cov（X,X）Cov（X,Y）Cov（Y,X）Cov（Y,Y）
DXDY.
由于X和Y同分布,因此DXDY,于是有Cov（U,V）0.
由相关系数的计算公式
Cov（X,Y）
DX「DY'
所以U与V的相关系数也为零【相关知识点】协方差的性质：
应选（D）.
（5）【答案】（C）
【解析】由于
计算看出概率P
Cov（aX,bY）
abCov（X,Y）；
Cov（X1X2,Y）Cov（X1,Y）Cov（X2,Y）.
X:
N（,2）,将此正态分布标准化，故X一:
N0,1,
P
211.
的值与大小无关•所以本题应选（C）.
三、（本题满分6分）
【解析】这是一道讨论分段函数在分界点处的连续性和可导性的问题.一般要用连续性与可
导性的定义并借助函数在分界点处的左极限与右极限以及左导数和右导数
2」x2
亠1，
x
lim
x0
f（x）
lim
x0
2（1cosx）
2
x
lim
x0
lim
x0
f（x）
lim
x0
X2costdt0
x
lim
x
2
cosx
01
1,
故f（00）f（0
0）
f（0）,即f（x）在x
0处连续.
f（0）
lim
x0
f（x）f（0）
x0
lim
x0
1x2
costdt1x0
x
lim
x0
X2costdt0
2
x
2Acosx1lim
lim
x0
14
x
—0,
2x
2
2（1cosx）1limx
x0x0
2
2（1cosx）x
lim
x0
f（0）limf（x）f（°）
x0
x
2sinx2xlim
x0
3x2
lim2（COsx1}0.
x06x
即f（0）f（0）0,故f（x）在x0处可导，且f
（°）0.
四、（本题满分6分）
【解析】首先，在变上限定积分中引入新变量
3xt
f-dt
03
x
30f（s）ds.
代入题设函数f（x）所满足的关系式,得
f（x）30f（s）dse2x.
在上式中令x0得f（0）
1,将上式两端对x求导数得
f（x）3f（x）2e2x.
由此可见
f（x）是一阶线性方程
2x
f（x）3f（x）2e满足初始条件f（0）1的特解.
3x同乘方程两端，得
f（x）e3x
2ex,积分即得f（x）Ce3x2e2x.
由f（0）
1可确定常数C3,于是，所求的函数是
f（x）3e3x
2e2x.
五、（本题满分6分）
【解析】由1
2
x2x（12x）（1x）知
ln（1
2
2x）ln（12x）
ln（1
x）.
因为
ln（1
x）
n
（1）n1-L,
n
其收敛区间为
（1,1）；
ln（1
2x）
2x）
（2x）2
2
1）n
其收敛区间为
于是有
其收敛区间为
n
ln（1x2x2）
（1）n1x
n1
n
（1）
n1（2x）n
I
n
（1）n12nxn
x
n
【相关知识点】收敛区间：
若幕
n
anX
n0
的收敛半径是正数
R,则其收敛区间是开区间
（R,R）；若其收敛半径是
则收敛区间是
）.
六、（本题满分5分）
【解析】方法一：
本题中二重积分的积分区域
0,
Da
（x,y）|axa,
则当a
时,有DaD.从而
注意当
由于
D.
min{x,y}e
（x2
"Uxdy
limmin{x,y}e
a
Da
（x2
向dxdy.
y时，min{x,y}x；
min{x,y}e
a
dx
a
exdx
（""）dxdy
xye（x2y2）dy1yedy—a2
1e
2
、,从而可得
xy时，min{x,y}
y.于是
lim
a
dx
a
Xye（x
y2）dy
同理可得lim
a
a
ady
y
xe
a
（x2
『）dx
a
ady
dx
a
a2
yxe（""）dx
a
e（x2
2
y）d（x2
x2
dx
a
dx
a
y2）
2x2
dx.
ye（""）dy,
2x
2x2dx
（"刊e2"dx
厂
2「2
2
时也趋于全平面
从而
方法二：
设R
2
R当R
0,则圆域Dr（x,y）|x2y2
min{x,y}e
（""）dxdy
Rim
min{x,y}e
DR
y）dxdy.
引入极坐标系
xrcos,yrsin,贝U
由此可得
2时,min{x,y}
-与-
44
5时,min{x,y}xrcos
4
min{x,y}e
DR
4
4sin
0
（x2
/）dxdy
rsin；
rdr
2亦Rim
2Rim
七、（本题满分6分）
【解析】本题的关键在于
Rr2e
rdr
4
4sin
0
r2re
r2
dr
5
4cos
4
5
4cosd
4
'dr
2
5sin
~4
rdr
2
5sin
T
2.2
Rr2e'dr.
R2
0rd（er）
V0e'dr
p和Q之间存在函数关系，因此
pQ既可看作
p的函数，也可
看作Q的函数，由此分别求出dR及如，并将它们与弹性dQ
dp
Ep
pdQ
联系起来，进而求得
Qdp
问题的解.
由QQ（p）是单调减函数知
dQcpdQ
0,从而需求对价格的弹性Ep0,这表明
dpQdp
题设Ep
b1应理解为Ep
Epb1.又由QQ（p）是单调减函数知存在反函数
pp（Q）且巴-Q.由收益RpQ对Q求导，有dQdQ
从而
从而
dp
dR
dQp
Qdp
dQ
p
p
1
p（1—）
Ep
pdQ
Qdp
dR
1、
ab
—
P0（1
）
a,得p°
QQ0
b
b1
由收益RpQ对p求导,有
dR
dp
dQ
Pdp
Q（1誥）Q（1Ep），
八、（本题满分6分）
dR
dp
Po
【解析】
（1）由要证的结论可知
Qo（1b）c,于是Qo
应将左端积分化成0,a上的积分，即
f（x）g（x）dx
f（x）g（x）dx
f（x）g（x）dx,
0
再将
f（x）g（x）dx作适当的变量代换化为在0,a上的定积分•
方法
由于
a
f（x）g（x）dx
a
0
f（x）g（x）dx
a
a
0f（x）g（x）dx,
0
在f（x）g（x）dx中令
a
t,则由x:
a
0,得t:
a0,且
所以
0
f（x）g（x）dx
a
0
f（t）g（t）d（
a
a
f（x）g（x）dx,
a
af（x）g（x）dx
a
a
0f（x）f（x）
a
g（x）dxA0g（x）dx.
a
方法二：
在
af（x）g（x）dx中令xt,则由x:
aa,得t:
a
a,且
所以
a
f（t）g（t）d（a
a1a
f（x）g（x）dx—f（x）g（x）dx
2
1a
-f（x）f（x）
2a
a
f（x）g（x）dx
a
a
t）f（t）g（t）dt
a
a
f（x）g（x）dx
a
a
0f（x）g（x）dx.
Aa
g（x）dxg（x）dxA°g（x）dx.
⑵令f（x）arctanex,g（x）sinx,可以验证f（x）和g（x）符合⑴中条件，从而可以用
（1）中结果计算题目中的定积分•
方法一：
取f（x）arctanex,g（x）sinx,a—.
由于f（x）f（x）arctanexarctanex满足
以下同方法
【解析
斤】因为
r（I）
r（II）
3,所以1,2,
3线性无关，而1,2,3：
因此
4可由
1,2
3线性
生表出，
设为4
l11l22l33.
若
k11
k22
k33
k4（5
4）0,
即
（k1
IK）
1（k2
l2k4）2
（k3l3k4）30,
由于
r（III）
4,所以1,
2,3,
5线性无关
.故必有
k1
l1k4
0,
k2
0,
k3
0,
k4
0.
九、（本题满分9分）
4线性相关,
解出k40,k30,k20,k10.
是1,2,3,54线性无关，即其秩为4.
十、（本题满分10分）
【解析】⑴因为f（X!
x2,x3）对应的矩阵为
故f（Xi,X2,X3）的矩阵表示为
（2）由A的特征方程
24
3
0
2
2
X1
xtAx
（X1,X2,X3）
2
4
4
X2
2
4
3
X3
2
2
2
2
2
24
4
2
4
0
24
3
2
4
1
4
4
f（Xi,X2,X3）
10
0
4
EA
A2
1）（2
36）0,
得到A的特征值为
6,3
由（EA）x
0得基础解系X1
（2,0,
T
1）,即属于
1的特征向量•
由（6EA）x
0得基础解系X2
（1,5,2）T,即属于
6的特征向量•
由（6EA）x
0得基础解系X3（1,1,2）T,即属于
6的特征向量.
对于实对称矩阵
特征值不同特征向量已正交，故只须单位化，有
_X1
1IX1
2
1501,2
1
X215
X2「、305,3
X3_1
||X3||恵
那么令Q（
xt
经正交变换
yi
y2
X3
y3
2
"5
1
"5
1
30
5
.30
2
.30
1
"6
1
"6
2
.6
二次型化为标准形
f（X1,X2,X3）xTAxyT
2-2^2
yy16y26y3.
卜一、（本题满分
【解析】对于新生产的每台仪器，设事件A表示
“仪器需要进一步调试”
B表示“仪器能
出厂”，则A“仪器能直接出厂”，AB“仪器经调试后能出厂”.且B
AUAB,A与AB
互不相容，应用加法公式与乘法公式，且由条件概率公式
P（B|A）P（AB）P（AB）P（B|A）P（A）,P（A）
PBPAPAPB|A0.70.30.8
0.94.
设X为所生产的n台仪器中能出厂的台数，则X服从二项分布B
n,0.94.由二项分
布的概率计算公式，可得所求概率为
（1）
0.94n；
2C；0.94n20.062;
n10.06n0.94n10.94n
【相关知识点】二项分布的概率计算公式:
k0,1,L,n.
若YB（n,p）,则PYkC：
pk（1p）nk
十二、（本题满分8分）
【解析】将整个平面分为五个区域（如右图）.
当（x,y）
Di时，F（x,y）0,
其中D1
{（x,y）x0或y0}.
当（x,y）
D4,即x1且y1时，F（x,y）1.
Di
当（x,y）
D时，即0x
1,0y1时，
F（x,y）
xy
4stdtds
00
X222
o2sydsxy.
当（x,y）
D2,即0x
1,y1时，
F（x,y）
xy
4stdtds
00
x12
ds4stdt2sdsx
000
1时,与D2类似,有F（x,y）
当（x,y）D3,即x1,0y
综上分析,（X,Y）的联合分布函数为F（x,y）
0,
22
xy,
2
y,
2
x,
21PXn1PX
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