∴当x=5或6时（不是5.5），y=2400（元）；50+x=55或56（元）
∴当售价定为每件55或56元，月利润最大，最大的月利润是2400元。
（2）当售价定为每件51或60元，每个月的利润为2200元。
当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元（或当售价分别为51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元时，每个月的利润不低于2200元）。
练习4：
某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出．若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次这种提高2元的方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高_________元
注意：
①“为了投资少而获利大”②每次提高2元
总结：
利用二次函数解决最大利润，最大销量等问题，关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围。
（二）会处理自变量的取值范围在对称轴一侧的问题
例某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱。
求该批发商平均每天的销售利润y（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？
最大利润是多少？
解答：
y=（x-40）[90-3（x-50）]=-3x2+360x-9600=-3（x-60）2+1200
∵40≤x≤55，90-3（x-50）>0
∴40≤x≤55
∵抛物线开口向下，在对称轴直线x=60的左侧，y随x的增大而增大
∴当x=55时，y最大=1125
答：
关系式为y=-3x2+360x-9600，每箱苹果的销售价为55元时，可以获得最大利润，最大利润是1125元。
练习：
某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克，物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：
y=-2x+80．设这种产品每天的销售利润为w（元）．
（1）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？
最大利润是多少？
（2）该农户想要每天获得不低于150元的销售利润，销售价应定为多少？
参考答案：
2819225——28（25、26、27、28）
总结：
根据函数解析式求出的最值是理论值，与实际问题中的最值不一定相同，需考虑自变量的取值范围。
所以确定出二次函数的解析式后，要根据题意列不等式组求出自变量x的取值范围。
如果取值范围在对称轴的一侧，要根据抛物线的增减性找出二次函数的最值。
（三）二次函数与一次函数的综合
例2（2015•鄂州,第23题10分）鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元。
物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元。
经市场调查发现：
日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时，y=80；x=50时，y=100。
在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．
（1）y与x的关系式为_________，自变量x的取值范围是_________。
（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式。
（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？
最大获利是多少元？
解答：
（1）y=﹣2x+200（30≤x≤60）
（2）W=（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450=﹣2x2+260x﹣6450
（3）W=﹣2x2+260x﹣6450=﹣2（x﹣65）2+2000，
∵30≤x≤60，
∴x=60时，w有最大值为1950元，
∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，最大获利是1950元。
练习1：
某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售单价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：
若把销售单价x与日销售量y作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x是_______函数。
（1）直接写出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式为______；
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售单价应定为多少元？
此时每日销售利润是多少元？
（3）若销售单价不得超过20元，每日的销售利润最大是多少？
（4）若销售利润不低于125元，销售单价应如何确定？
练习2：
某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元；市场调查发现，若每箱以45元的价格销售，平均每天销售105箱；每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱．假定每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间满足一次函数关系式．
（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；
（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；
（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？
最大利润是多少？
练习3：
“健益”超市购进一批20元／千克的绿色食品，如果以30元／千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y（千克）与销售单价x（元）（x≧30）存在如下图所示的一次函数关系．
（1）试求出y与x的函数关系式；
（2）设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？
（3）根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价
的范围（直接写出）．
参考答案：
（1）y=-20x+1000
（2）
．x=35．
即当销售单价为
元／千克时，每天可获得最大利润.
（3）
或
．
练习4：
（2015•湖北）为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来领前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？
最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：
这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？
参考答案：
（1）由题意得，y=700﹣20（x﹣45）=﹣20x+1600；
（2）P=（x﹣40）（﹣20x+1600）=﹣20x2+2400x﹣64000=﹣20（x﹣60）2+8000，
（3）由题意，得﹣20（x﹣60）2+8000=6000，解得x1=50，x2=70．
∵∴50≤x≤58．
∵在y=﹣20x+1600中，y随x的增大而减小
∴当x=58时，y最小值=﹣20×58+1600=440，即超市每天至少销售粽子440盒．
总结：
既有一次函数又有二次函数，要分清、认准变量字母，不能混淆。
注意哪个函数需要用待定系数法，哪个需要根据题意进行计算得出。
要处理好这些字母之间的“亲属”关系，沉得住气，认真仔细地将题目中所提供的信息加工梳理，有条不紊地进行“抽丝剥茧”，最终解决问题。
（三）分段函数及其最值的讨论
例2（2015•黄石第23题8分）大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店．该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件．市场调查反映：
调整价格时，售价每上涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月要多卖20件。
为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为60+x（元/件）（x＞0即售价上涨，x＜0即售价下降），每月饰品销量为y（件），月利润为w（元）。
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？
求最大月利润；
（3）为了使每月利润不少于6000元应如何控制销售价格？
解答：
（1）由题意可得：
y=
（且x为整数）
（2）由题意可得：
w=
化简得：
w=
在0≤x≤30时，x=5可得W最大=6250；在-20≤x<0时，因为x为整数所以x=2或3可得W最大，此时W最大一定<6125<6250。
故当x=5即销售价格为65元时，利润最大，最大利润为6250元
（3）由题意得w≥6000，如图，令w=6000，
即6000=﹣10（x﹣5）2+6250；6000=﹣20（x+
）2+6125，
解得：
x1=﹣5，x2=0，x3=10，
∴当﹣5≤x≤10时，即将销售价格控制在55元到70元之间（含55元和70元）才能使每月利润不少于6000元。
练习：
某专卖店经市场调查得知，一种商品的月销售量Q（单位：
吨）与销售价格x（单位：
万元/吨）的关系可用下图的一条折线表示．
（1）写出月销售量Q关于销售价格x的函数关系；
（2）如果该商品的进价为5万元/吨，除去进货成本外，专卖店销售该商品每月的固定成本为10万元，问该商品每吨定价多少万元时，销售该商品的月利润最大？
并求月利润的最大值．
根据市场调查，某商品在最近40天内的价格P与时间t的关系用图
（1）中的一条折线表示，销售量Q与时间t的关系用图
（2）中的线段表示（t为正整数）
（1）分别写出图1表示的价格P与时间t的函数关系式，图2表示的销售量Q与时间t的函数关系式．
（2）求这种商品的销售额S（销售额=销售量×价格）的最大值及此时的时间．
总结：
①此类问题涉及分段函数，如何分段，怎样表达每个分段函数是个难点；②必须对不同的最值进行比较、整理、归纳才能得出最终的结论；③注意考虑各段内的自变量取值范围，结果是否满足各段自变量的取值范围。
这是解此类综合应用题目的特点。
对于“二次函数值不小于某某”这类题型，先令“其值等于某某”，然后再利用函数的草图得出x的取值范围。
此类题型计算量大，做时要耐心细致。
练习1：
（2015•江苏南通，第26题10分）某网店打出促销广告：
最潮新款服装30件，每件售价300元．若一次性购买不超过10件时，售价不变；若一次性购买超过10件时，每多买1件，所买的每件服装的售价均降低3元．已知该服装成本是每件200元，设顾客一次性购买服装x件时，该网店从中获利y元．
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多？
参考答案：
（1）
y=
=
（且x为整数）
（2）在0≤x≤10时，y=100x，当x=10时，y有最大值1000；
在10＜x≤30时，y=﹣3x2+130x=-3（x-
）2+
，
∵x为整数，根据抛物线的对称性得x=22时，y有最大值1408．
∵1408＞1000，
∴顾客一次购买22件时，该网站从中获利最多。
练习2：
四川汶川大地震发生后，我市某工厂A车间接到生产一批帐篷的订单，要求必须在12天（含12天）内完成．已知每顶帐篷的成本价为800元，该车间平时每天能生产帐篷20顶．为了加快进度，车间采取工人分批日夜加班，机器满负荷运转的生产方式，生产效率得到了提高．这样，第一天生产了22顶，以后每天生产的帐篷都比前一天多2顶．由于机器损耗等原因，当每天生产的帐篷达到30顶后，每增加1顶帐篷，当天生产的所有帐篷，平均每顶的成本就增加20元．设生产这批帐篷的时间为x天，每天生产的帐篷为y顶．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）若这批帐篷的订购价格为每顶1200元，该车间决定把获得最高利润的那一天的全部利润捐献给灾区．设该车间每天的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出该项车间捐献给灾区多少钱？
参考答案：
（1）y=2x+20（1≤x≤12且x为整数）
（2）当1≤x≤5时，第x天营业额W=y×（1200-800）=（2x+20）×400=800x+8000,
当x=5时，W最大,W最大=12000（元）。
当6≤x≤12时，
每顶成本为800+（2x+20-30）×20=600+40x，
每顶利润为1200-（600+40x）=600-40x，
则W=y×（600-40x）
=（2x+20）×（600-40x）
=-80（x-2.5）2+12500
当x=6时，W最大时，W最大=11520。
综上所述，W最大为12000（元）。
练习3：
我市某服装厂生产的服装供不应求，A车间接到生产一批西服的紧急任务，要求必须在12天（含12天）内完成．为了加快进度，车间采取工人分批日夜加班，机器满负荷运转的生产方式，生产效率得到了提高，每天生产的西服数量y（套）与时间x（天）的关系如下表：
平均每套西服的成本z（元）与时间x（天）的关系式为：
请解答下列问题．
（1）求每天生产的西服数量y（套）与x（天）之间的关系式及成本z（元）与x（天）之间的关系式．
（2）已知这批西服的订购价格为每套1570元，设该车间每天的利润为W（元），试求出日利润W（元）与时间x（天）之间的函数关系式，并求出哪一天该车间获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）在实际销售中，从第6天起，该厂决定每销售一套西服就捐赠利润a（元）给希望工程。
厂方通过销售记录发现，每天扣除捐赠后的日销售利润（元）随时间（天）的增大而增大，求a的取值范围。
参考答案：
（1）y=2x+20
1≤x≤5且x为整数时z=800x+8000
6≤x≤12且x为整数时z=80x2+1200x+4000
（2）当1≤x≤5时，W=2340x+23400,
当x=5时，W最大,W最大=35100（元）。
当≤x≤12时，W=-80x2+1940x+27400
当x=12时，W最大时，W最大=39160。
综上，W最大为39160（元）
（3）捐款后利润为W=-80x2+1940x+27400-a（2x+20）
=-80x2+（1940-2a）x+27400-20a
由题意知其顶点横坐标必须不小于12
练习4：
已知某商品的进价为每件40元，现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：
如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．若商场规定试销期间获利不得低于40%又不得高于60%，则销售单价定为多少时，商场可获得最大利润？
最大利润是多少？
参考答案：
56≤x≤64涨价时：
y=（x-40）（900-10x）（60≤x≤90）x=64时y最大6150；降价时y=（x-40）[300+20（60-x）]（40≤x≤60）x=57.5时y最大6125综上定价为64元时最大6150元
二次函数中的面积型应用题
例1（2015•温州）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为 m
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