最新人教A版必修5新课标高中数学 222等差数列通项公式教学设计精品.docx
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最新人教A版必修5新课标高中数学222等差数列通项公式教学设计精品
2.2.2 等差数列通项公式
从容说课
本节课的主要内容是让学生明确等差中项的概念，进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其推导的公式，并能通过通项公式与图象认识等差数列的性质；让学生明白一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是一个等差数列，使学生学会用图象与通项公式的关系解决某些问题.
在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，
学会探究.在教学过程中，遵循学生的认知规律，充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识的形成和发展过程，激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在
教学过程中的主体地位，通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识.
通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点，通过等差数列的图象的应用，通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想，进一步渗透数形结合思想、函数思想.通过引导学生积极探究，主动学习，提高学生学习积极性，也提高了课堂的教学效果.
教学重点等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用.
教学难点等差数列的性质的应用、灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.
教具准备多媒体及课件
三维目标
一、知识与技能
1.明确等差中项的概念;
2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，能通过通项公式与图象认识等差数列的性质;
3.能用图象与通项公式的关系解决某些问题.
二、过程与方法
1.通过等差数列的图象的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想;
2.发挥学生的主体作用，讲练相结合，作好探究性学习;
3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.
三、情感态度与价值观
1.通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点;
2.通过体验等差数列的性质的奥秘，激发学生的学习兴趣.
教学过程
导入新课
师同学们，上一节课我们学习了等差数列的定义，等差数列的通项公式，哪位同学能回忆一下什么样的数列叫等差数列？
生我回答，一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即an-an-1=d（n≥2，n∈N*），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（通常用字母“d”表示）.
师对，我再找同学说一说等差数列{an}的通项公式的内容是什么？
生1等差数列{an}的通项公式应是an=a1+（n-1）d.
生2等差数列{an}还有两种通项公式：
an=am+（n-m）d或an=pn+q（p、q是常数）.
师好！
刚才两位同学说得很好，由上面的两个公式我们还可以得到下面几种计算公差d的公式：
①d=an-an-1；②
；③
.你能理解与记忆它们吗？
生3公式②
与③
记忆规律是项的值的差比上项数之间的差（下标之差）.
［合作探究］
探究内容：
如果我们在数a与数b中间插入一个数A，使三个数a，A，b成等差数列，那么数A应满足什么样的条件呢？
师本题在这里要求的是什么?
生当然是要用a，b来表示数A.
师对，但你能根据什么知识求?
如何求?
谁能回答?
生由定义可得A-a=b-A，即
.
反之，若
，则A-a=b-A,
由此可以得
a,A,b成等差数列.
推进新课
我们来给出等差中项的概念：
若a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.
根据我们前面的探究不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除
外）都是它的前一项与后一项的等差中项.
如数列：
1，3，5，7，9，11，13…中5是3与7的等差中项，也是1和9的等差中项.
9是7和11的等差中项，也是5和13的等差中项.
［方法引导］
等差中项及其应用问题的解法关键在于抓住a，A，b成等差数列2A=a+b，以促成将等差数列转化为目标量间的等量关系或直接由a，A，b间的关系证得a，A，b成等差数列.
［合作探究］
师在等差数列{an}中，d为公差，若m,n,p,q∈N*且m+n=p+q，那么这些项与项之间有何种等量关系呢？
生我得到了一种关系am+an=ap+aq.
师能把你的发现过程说一下吗？
生受等差中项的启发，我发现a2+a4=a1+a5,a4+a6=a3+a7.
从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq.
师你所得的这关系是归纳出来的，归纳有利于发现，这很好，但归纳不能算是证明！
我们是否可以对这归纳的结论加以证明呢？
生我能给出证明，只要运用通项公式加以转化即可.设首项为a1，则
am+an=a1+（m-1）d+a1+（n-1）d=2a1+（m+n-2）d,
ap+aq=a1+（p-1）d+a1+（q-1）d=2a1+（p+q-2）d.
因为我们有m+n=p+q,所以上面两式的右边相等，所以am+an=ap+aq.
师好极了！
由此我们的一个重要结论得到了证明：
在等差数列{an}的各项中，与首末两项等距离的两项的和等于首末两项的和.另外，在等差数列中，若m+n=p+q,则上面两式的右边相等，所以am+an=ap+aq.
同样地，我们还有：
若m+n=2p,则am+an=2ap.这也是等差中项的内容.
师注意：
由am+an=ap+aq推不出m+n=p+q，同学们可举例说明吗?
生我举常数列就可以说明了.
师举得好!
这说明在等差数列中，am+an=ap+aq是m+n=p+q成立的必要不充分条件.
［例题剖析］
【例1
】在等差数列{an}中，若a1+a6=9，a4=7，求a3，a9.
师在等差数列中通常如何求一个数列的某项？
生1在通常情况下是先求其通项公式，再根据通项公式来求这一项.
生2而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差，这在前面已研究过了）.
生3本题中，只已知一项和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手……
师好，我们下面来解，请一个同学来解一解，谁来解？
生4因为{an}是等差数列，所以a1+a6=a4+a3=9a3=9-a4=9-7=2,
所以可得d=a4-a3=7-2=5.
又因为a9=a4+（9-4）d=7
+5×5=32，所以我们求出了a3=2，a9=32.
【例2】（课本P44的例2） 某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4千米（不含4千米）计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少元的车费?
师本题是一道实际应用题，它所涉及到的是什么知识方面的数学问题？
生这个实际应用题可化归为等差数列问题来解决.
师为什么？
生根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列来进行计算车费.
师这个等差数列的首项和公差分别是多少?
生分别是11.2，1.2.
师好，大家计算一下本题的结果是多少?
生需要支付车费23.2元.
（教师按课本例题的解答示范格式）
评述：
本例是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，做此题的目的是让大家学会从实际问题中抽象出等差数列的模型，用等差数列知识解决实际问题.
课堂练习
1.在等差数列{an}中，
（1）
若a5=a,a10=b,求a15.
解：
由等差数列{an}知2a10=a5+a15,即2b=a+a15,所以a15=2b-a.
（2）若a3+a8=m,求a5+a6.
解：
等差数列{an}中，a5+a6=a3+a8=m.
（3）若a5=6,a8=15,求a14.
解：
由等差数列{an}得a8=a5+（8-5）d,即15=6+3d,所以d=3.
从而a14=a5+（14-5）d=6+9×3=33.
（4）已知a1+a2+…+a5=30,a6+a7+…+a10=80，求a11+a12+…+a15的值
.
解：
等差数列{an}中，因为6+6=11+1,7+7=12+2,……
所以2a6=a1+a11,2a7=a2+a12,……
从而（a11+a12+…+a15）+（a1+a2+…+a5）=2（a6+a7+…+a10）,
因此有（a11+a12+…+a15）=2（a6+a7+…+a10）-（a1+a2+…+a
5）
=2×80-30=130.
2.让学生完成课本P45练习5.
教师对学生的完成情况作出小结与评
价.
［方法引导］
此类问题的解题的关键在于灵活地运用等差数列的性质，因此，首先要熟练掌握等差数列的性质，其次要注意各基本量之间的关系及其它们的取值范围.
课堂小结
师通过今天的学习，你学到了什么知识?
有何体会？
生通过今天的学习,明确等差中项的概念;进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其性质.
（让学生自己来总结，将所学的知识,结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合,培养学生的概括能力和语言表达能力）
布置作业
课本第45页习题2.2A组第4、5题.
预习内容：
课本P48～P52.
预习提纲：
①等差数列的前n项和公式；②等差数列前n项和的简单应用.
板书设计
等差数列通项公式
等差中项 例题
在等差数列{an}中,
若m、n、p、q∈N*且m+n=p+q,
则am+an=ap+aq
习题详解
（课本第45页
习题2.2）
A组
1.
（1）29
（2）10 （3）3 （4）10 2.略 3.60°
4.2度、零下11度、零下37度.
5.
（1）s=9.8t；
（2）558厘米，5秒.
B组
1.
（1）从表中的数据来看，它基本上是一个等差数列，公差约为2000，第2010年底的沙漠面积值约为26000hm2，再加上这地区原有的沙化面积9×105hm2，本小题答案为9.26×105hm2.
（2）2021年底，这个地区的沙漠面积开始小于8×105hm2.
2.略.
备课资料
一、备用例题
【例1】梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度.
解：
设{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知条件，可知
a1=33，a12=110，n=12，所以a12=a1+（12-1）d，即得110=33+11d，解之，得d=7.
因此a2=33+7=40,a3=40+7=47,a4=54,a5=61,a6=68,a7=75,a8=82,a9=89,a10=96,a11=103.
答：
梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.
【例2】已知
成等差数列，求证：
，
，
也成等差数列.
证明：
因为
，
，
成等差数列，所以
，化简得2ac=b（a+c），所以有
=
.
因而
也成等差数列.
【例3】设数列{an}、{bn}都是等差数列，且a1=35，b1=75，a2+b2=100，
求数列{an+bn}的第37项的值.
分析：
由数列{an}、{bn}都是等差数列，可得{an+bn}是等差数列，故可求出数列{an+bn}的公差和通项.
解：
设数列{an}、{bn}的公差分别为d1，d2，则（an+1+bn+1）-（an+bn）=（an+1-an）+（bn+1-bn）=d1+d2为常数，所以可得{an+bn}是等差数列.设其公差为d，则公差d=（a2+b2）-（a1+b1）=100-（35+75）=-10.因而a37+b37=110-10×（37-1）=-250.
所以数列{an+bn}的第37项的值为-250.
点拨:
若一个数列未告诉我们是等差数列时，应先由定义法判定它是等差数列后，方可使用通项公式an=a1+（n-1）d.但对客观试题则可以直
接运用某些重要结论，直接判定数列是否为等差数列.
【例4】在美国广为流传的一道数学题目是“老板给你两个加工资的方案：
一是每年年末加1000美元；二是每半年结束时加300美元，请你选择一种加薪方式”.一般不擅长
数学的人，很容易选择前者，因为一年加一千美元总比两个半年共加600美元要多.其实，由于加工资是累计的时间稍长，往往会发现第二种方案更有利.例如：
在第二年的年末，依第一种方案共可以加得1000+2000=3000美元；而第二种方案共可以加得300+600+900+1200=3000美元，但到了第三年，第一方案共可加得6000美元，第二方案则共加得6300美元，显然多于第一种方案.第四年后会更多.因此，你若会在该公司干三年以上，则应选择第二方案.
根据以上材料，解答下列问题：
（1）如果在该公司干十年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加薪多少美元？
（2）如果第二方案中的每半年加300美元改为每半年加a美元.问a取何值时，总是选择第二种方案比选择第一种方案多加薪？
答案：
（1）在该公司干10年，选择第二种方案比选项择第一种方案多加薪8000美元.
（2）当a大于
时，总是第二方案加薪多于第一种方案.
【例5】意大利的匹萨饼店的伙计们喜欢将饼切成形状各异的一块一块.他们发现，每一种确定的刀数，都可以有一个最多的块数.例
如，切一刀最多切成2块，切2刀最多切成4块，切3刀最多切成7块……问切n刀，最多可切出几块?
（要求学生发挥自己的聪明才智，课外认真思考，分清每一种确定的刀数，都可以有一个最多的块数，可先从少量的几刀去得出一些数据，再对数据加以分析，让学生学会归纳与总结，并能勇于联想、探索）
答案：
.
二、阅读材料
一个古老的数学课题
等差数列是一个古老的数学课题.一个数列从第二项起，后项减去前项所得的差是一个相等的常数，则称此数列为等差数列.
在数学发展的早期已有许多人研究过数列这一课题，特别是等差数列.例如早在公元前2700年以前埃及数学的《莱因特纸草书》中，就记载着相关的问题.在巴比伦晚期的《泥板文书》中，也有按级递减分物的等差数列问题.其中有一个问题大意是：
10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目.现知第八兄弟分得6两，问相邻两兄弟相差多少？
在我国公元五世纪写成的《张丘建算经》中，透过五个具体例子，分别给出了求公差、总和、项数的一般步骤.比如书中第23题（用现代语叙述）：
（1）有一女子不善织布，逐日所织布按数递减，已知第一日织5尺，最后一日织1尺，共织了30日，问共织布多少？
这是一个已
知首项（a1）、末项（an），以及项数（n）求总数（Sn）的问题，对此，原书提出的解法是：
总数等于首项加末项除2，乘以项数.它相当于现今代数里的求和公式：
Sn=（a1+an）·
.印度数学家婆罗摩笈多在公元7世纪也得出了这个公式，并给出了求末项公式：
an=a1+（n-1）d.
（2）有一女子善于织布，逐日所织布按同数递增，已知第一日织5尺，经一月共织39丈，问每日比前一日增织多少？
这是一个已知首项（a1），总数（Sn）以及项数（n），求公差（d）的问题，对此原书给出的解法是.
等价于现在的求和公式：
.
书中第1题：
今有某人拿钱赠人，第一人给3元，第二人给4元，第三人给5元，其余依次递增分给.给完后把这些人所得的钱全部收回，再平均分配，结果每人得100元，问人数多少？
这是一个已知首项（a1），公差（d）以及n项的平均数（m），求项数（n）的问题，对此原书给出的解法是
.
我国自张邱建之后，对等差数列的计算日趋重视，特别是在天文学和堆栈求积等问题的推动下，从对一般的等差数列的研究发展成为对高阶等差数列的研究.在北宋沈括（1031～1095）的《梦溪笔谈》中，“垛积术”就是第一个关于高级等差数列的求积法.
垛积术即“有限差分法”，我国古代用于天文历算和计算垛积.
垛积术也就是高阶等差级数求和.我国古代，对于一般等差数列和等比数列，很早就有了初步的研究成果.
《九章算术》中已经提出求等差数列各项以及已知首项、末项和项数求公差的
问题，并用比例方法来解决.
公元5世纪末的《张邱建算经》给出了等差数列求和公式：
S=
n（a+1）与求公差的公式：
.
南宋数学家杨辉，丰富和发展了沈括的成果，提出了诸如
S=12+22+32+…+n2=
（n+1）（2n+1）,
S=1+3+6+10+…+
=
n（n+1）（n+2）
之类的垛积公式.
北宋科学家沈括的长方台形垛积（如图）的求和公式：
.
元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》和《算学启蒙》中得到一系列重要的高阶等差数列求和公式.朱世杰的垛积根差术，全面地推进了宋元数学家在这方面的研究工作.
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