全国卷2理科数学试题及答案解析.docx
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全国卷2理科数学试题及答案解析
2014年普通高等学校招生全国统一考试理科（新课标卷二Ⅱ）
第Ⅰ卷
一.选择题：
本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合M={0,1,2}，N=x|x23x2≤0，则MN=（）
A.{1}B.{2}C.{0，1}D.{1，2}
【答案】D
【解析】
把M={0,1,2}中的数,代入不等式x2-3x+2≤0,经检验x=1,2满足。
所以选D.
z12i，则z1z2（）
iD.-4-i
2.设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，
A.-5B.5C.-4+
【答案】B【解析】
z1=2+i,z1与z2关于虚轴对称，∴z2=-2+i,∴z1z2=-1-4=-5,故选B.
3.设向量a,b满足|a+b|=10，|a-b|=6，则ab=（）
A.1B.2C.3D.5【答案】A
【解析】
2222
|a+b|=10,|a-b|=6,，∴a+b+2ab=10，a+b-2ab=6,联立方程解得ab=1,故选A.
1，AB=1，BC=2，则AC=（）
答案】B
解】
sinB=7*2
2
SΔABC=acsinB=?
2?
1?
sinB=
ΔABC22
∴B=π,或3π.当B=π时，经计算ΔABC为等腰直角三角形，不符合题意，舍去444
∴B=3π，使用余弦定理，b2=a2+c2-2accosB,解得b=5.故选B.
4
A.17
B.
5C.
10
D.
1
27
9
27
3
【答案】C
解析】
加工前的零件半径为3，高6，∴体积v1=9π?
6=54π.
加工后的零件，左半部为小圆柱，半径2，高4，右半部为大圆柱，半径为3，高为2.∴体积v2=4π?
4+9π?
2=34π.
∴削掉部分的体积与原体积之比=54π-34π=.故选C.54π27
x=2,t=2,变量变化情况如下：
M
S
K
1
3
1
2
5
2
2
7
3
故选C.
8.设曲线
y=ax-ln（x+1）
在点（0,0）处的切线方程为y=2x，则a=
A.0
B.1C.2
D.3
【答案】
D
【解析】
f（x）=ax-ln（x+1）,∴f′（x）=a-.
x+1
∴f（0）=0,且f′（0）=2.联立解得a=3.故选D.
xy7≤0
9.设x,y
满足约束条件
x3y
1≤0，则z2xy的最大值为（
）
3xy
5≥0
A.10
B.8C.3
D.2
【答案】
B
【解析】
画出区域，可知区域为三角形，经比较斜率，可知目标函数z=2x-y在两条直线x-3y+1=0与x+y-7=0的交点（5,2）处,取得最大值z=8.故选B.
10.设F为抛物线C:
y2
3x的焦点，过
F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，
则△OAB的面积为（）
A.33B.
93C.
63D.
9
4
8C.
32
4
【答案】解析】
D
设点A、B分别在第一和第四象限，AF=2m,BF=2n，则由抛物线的定义和直角三角形知识可得，2m=2?
3+3m,2n=2?
3-3n，解得m=3（2+3）,n=3（2-3）,∴m+n=6.
∴SΔOAB=1?
3?
（m+n）=9.故选D.
ΔOAB244
11.直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=C1C，则BM与AN所成的角的余弦值为（）
2
2
【答案】C
【解析】
如图，分别以C1B1，C1A1，C1C为X,Y,Z轴，建立坐标系。
令AC=BC=C1C=2,则
A（0,2,2）,B（2,0,2）,M（1,1,0）,N（0,1,0）.∴BM=（-1,1，-2），AN=（0,-1，-2）。
cosθ=
BM?
AN=0-1+4=30.故选C.|BM|?
|AN|6510
12.设函数f
x
3sinx.m
若存在fx的极值点x0满足x02
2
fx0m2，则m的取值范
围是（）
A.
6
6,
B.,44,
C.,22,
D.,1
4,
【答案】解析】
C
f（x）=3sinπx的极值为±3，即[f（x0）]2=3,|x0|≤|m|,m2
22
∴x0+[f（x0）]2≥m+3，∴m+32.故选C.44
第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.
二.填空题
10
13.xa的展开式中，x7的系数为15，则a=.（用数字填写答案）
1
【答案】2
【解析】
C130x7a3=15x7∴C130a3=15,a=1.故a=1.
101022
14.函数fxsinx22sincosx的最大值为.
【答案】1
【解析】
f（x）=sin（x+2φ）-2sinφcos（x+φ）
=sin（x+φ）?
cosφ+cos（x+φ）?
sinφ-2sinφcos（x+φ）
=sin（x+φ）?
cosφ-cos（x+φ）?
sinφ
=sinx≤1.∴最大值为1.
15.已知偶函数fx在0,单调递减，f20.若fx10，则x的取值范围是
【答案】（-∞，-1）∪（3，+∞）
解析】偶函数y=f（x）在［0,+∞）上单增，且f
（2）=0
∴f（x）>0的解集为|x|>2.
∴f（x-1）>0的解集为|x-1|>2，解得x∈（-∞，-1）∪（3，+∞）.故解集为|x-1|>2，解得x∈（-∞，-1）∪（3，+∞）.
【答案】[-1,1]
解析】在坐标系中画出圆O和直线y=1,其中M（x0,1）在直线上.
由圆的切线相等及三角形外角知识，可得x0∈[-1,1].故x0∈[-1,1].
三.解答题：
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17.（本小题满分12分）
已知数列an满足a1=1，an13an1.
Ⅰ）证明
Ⅱ）证明：
an12是等比数列，并求an的通项公式；
32
1a
+
1a
1a
答案】
（1）无
（2）无
解析】
1）
a1=1,an+1=3an+1.n∈N
∴an+1
+1=3an+1+1=3（an+1）.
2n2n2
113
∴{an+21}是首项为a1+12=23,公比为3的等比数列
由
（1）知，
n
13nan+=,∴an
n22n
3n-1，1=2.
2，an=3n-1.
1=1,当n>1时，1=n21
1
1
1
1
1
+
+
+
+
<1+311
+2+
a1
a2
a3
an
32
3n-1
+1
+3n-1
1-31n
1-1
3
3（1-1n）<3
23n2
111所以，1+1+1+a1a2a3
18.（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.
Ⅰ）证明：
PB∥平面AEC；
Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=3，求三棱锥E-ACD的体积.
22
【答案】
（1）无
（2）无
【解析】
（1）
设AC的中点为G,连接EG。
在三角形PBD中，中位线EG//PB,且EG在平面AEC上，所以PB//平面AEC.
（2）设CD=m,分别以AD,AB,AP为X,Y,Z轴建立坐标系，则
31
A（0,0,0）,D（3,0,0）,E（2,0,2）,C（3,m,0）.
∴AD=（3,0,0）,AE=（3,0,1）,AC=（3,m,0）.
设平面ADE法向量为n1=（x1,y1,z1）,则n1AD=0,n1AE=0,解得一个n1=（0,1,0）.
同理设平面ACE法向量为n2=（x2,y2,z2）,则n2AC=0,n2AE=0,解得一个n2=（m,-3,-3m）.
3|n2|?
|n2|m+3+3m2
EF1设F为AD的中点，则PA//EF,且PA==,EF⊥面ACD,
22
即为三棱锥E-ACD的高.∴VE-ACD=13?
SΔACD?
EF=31?
12?
32?
3?
12=83
19.（本小题满分12分）
某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：
千元）的数据如下表：
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附：
回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
n
tityiy
bi1n，a?
yb?
t
2
tit2
i1
答案】
（1）
y=0.5t+2.3.
（2）约6800元
解析】
1）
1+2+
+72.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9
t=
=4,y=
=4.3
7
7
设回归方程为y=bt+a,代入公式，经计算得
3*14+2+0.7+0+0.5+1.8+4.8141b===
（9+4+1）*214*22
1
a=y-bt=4.3-*4=2.3
2
所以，y关于t的回归方程为y=0.5t+2.3.
1
b=>0,∴2007年至2013年该区人均纯收入稳步增长，预计到2015年，2
该区人均纯收入y=0.5?
9+2.3=6.8（千元）
所以，预计到2015年，该区人均纯收入约6千8百元左右。
20.（本小题满分12分）
设F1,F2分别是椭圆ax22by21ab0的左右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线
解析】
1）
MF1与C的另一个交点为N.
（Ⅰ）若直线MN的斜率为3，求C的离心率；
4
5F1N，求a,b.
（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且MN
2）
b2由三角形中位线知识可知，MF2=2?
2，即b=4.
a
设F1N=m,由题可知MF1=4m.由两直角三角形相似，可得
M,N两点横坐标分别为c,-3c.由焦半径公式可得:
23c
MF1=a+ec,NF1=a+e（-c），且MF1:
NF1=4:
1,e=,2a
a2=b2+c2.联立解得a=7,b=27.
所以，a=7,b=27
21.（本小题满分12分）已知函数fx=exex2x
（Ⅰ）讨论fx的单调性；
（Ⅱ）设gxf2x4bfx，当x0时，gx0,求b的最大值；
Ⅲ）已知1.414221.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）
答案】
（1）
解析】
1）
f（x）=ex-e-x-2x，x∈R∴f′（x）=ex+e-x-2=ex+1x-2≥2ex?
1x-2=0.ee所以，f（x）在R上单增.
（2）
2x-2xx-xg（x）=f（2x）-4bf（x）=e2x-e-2x-4x-4b（ex-e-x-2x）>0,x>0.令h（x）=e2x-e-2x-4x-4b（ex-e-x-2x）,x>0,则h（0）=0.h′（x）=2e2x+2e-2x-4-4b（ex+e-x-2），∴?
x∈（0,m）,m>0,使h′（x）≥0.即2e2x+2e-2x-4-4b（ex+e-x-2）≥0即e2x+e-2x-2-2b（ex+e-x-2）≥0.
同理，令m（x）=e2x+e-2x-2-2b（ex+e-x-2），x∈（0,m）,m>0,则m（0）=0.m′（x）=2e2x-2e-2x-2b（ex-e-x），∴?
x∈（0,t）,t>0,使m（x）≥0.
即2e2x-2e-2x-2b（ex-e-x）≥0，即（ex+e-x）（exe-x）-b（ex-e-x）≥0且ex-e-x>0，即ex+e-x≥b，即ex+e-x>2ex?
e-x=2≥b，所以b的最大值为2
（3）
12设x=ln2>0,则f（ln2）>0,即f（ln2）=2-1-2ln2=2-ln2>0.
22
解得ln2<2.由
（2）知，f（2x）>8f（x）,令x=ln2>0,则f（2ln2）>8f（ln2），
2
即f（ln2）>8f（ln2），即2-1-2ln2>（82-1-2ln2）,解得6ln2>42-3，即ln2>22-1.所以22-1234342
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，同按所做的第一题计分，做答时请写清题号.
22.（本小题满分10）选修4—1：
几何证明选讲
如图，P是eO外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与eO相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交eO于点E.证明：
（Ⅰ）BE=EC；
（Ⅱ）ADDE=2PB2
【答案】
（1）无
（2）无
【解析】
（1）
PC=2PA,PD=DC,∴PA=PD，ΔPAD为等腰三角形。
连接AB,则∠PAB=∠DEB=β,∠BCE=∠BAE=α.
∠PAB+∠BCE=∠PAB+∠BAD=∠PAD=∠PDA=∠DEB+∠DBE∴β+α=β+∠DBE,即α=∠DBE，即∠BCE=∠DBE，所以BE=EC.
（2）
AD?
DE=BD?
DC,PA=PB?
PC,PD=DC=PA,
∴BD?
DC=（PA-PB）PA=PB?
PC-PB?
PA=PB（?
PC-PA）
2
PB?
PA=PB?
2PB=PB2
23.（本小题满分10）选修4-4：
坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为
2cos，
0,2.
Ⅰ）求C的参数方程；
Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l:
y3x2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，
确定D的坐标.
所以D点坐标为（13,1）或（13,1）。
24.（本小题满分10）选修4-5：
不等式选讲
设函数fx=x1axa（a0）
（Ⅰ）证明：
fx≥2；
（Ⅱ）若f35，求a的取值范围
7.执行右图程序框图，如果输入的x,t均为2，则输出的S=（
A.4B.5C.6D.7
【答案】C
（2）
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