离散数学第四版答案.docx
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离散数学第四版答案
离散数学第四版答案
【篇一:
离散数学课后习题答案第四章】
xt>4.判断下列集合对所给的二元运算是否封闭:
(1)整数集合z和普通的减法运算。
封闭,不满足交换律和结合律,无零元和单位元
(2)非零整数集合普通的除法运算。
不封闭
(r)和矩阵加法及乘法运算,其中n2。
(3)全体n?
n实矩阵集合
封闭均满足交换律,结合律,乘法对加法满足分配律;
加法单位元是零矩阵,无零元;
乘法单位元是单位矩阵,零元是零矩阵;
(4)全体n?
n实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算,其中n2。
不封闭
(5)正实数集合和运算,其中运算定义为:
不封闭因为1?
1?
1?
1?
1?
1?
?
1?
r?
(6)
n关于普通的加法和乘法运算。
封闭,均满足交换律,结合律,乘法对加法满足分配律
加法单位元是0,无零元;
乘法无单位元(n?
1),零元是0;n?
1单位元是1
(7)a={a1,a2,?
an}n运算定义如下:
封闭不满足交换律,满足结合律,
(8)s=关于普通的加法和乘法运算。
封闭均满足交换律,结合律,乘法对加法满足分配律
(9)s={0,1},s是关于普通的加法和乘法运算。
加法不封闭,乘法封闭;乘法满足交换律,结合律
(10)
s=,s关于普通的加法和乘法运算。
加法不封闭,乘法封闭,乘法满足交换律,结合律
5.对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律,结合律,分配律。
见上题
7.设*为z?
上的二元运算?
x,y?
z?
,
x*y=min(x,y),即x和y之中较小的数.
(1)求4*6,7*3。
4,3
(2)*在z上是否适合交换律,结合律,和幂等律?
满足交换律,结合律,和幂等律
(3)求*运算的单位元,零元及z?
中所有可逆元素的逆元。
单位元无,零元1,所有元素无逆元
8.s?
q?
qq为有理数集,*为s上的二元运算,a,b,x,ys有
a,b*x,y=ax,ay+b
(1)*运算在s上是否可交换,可结合?
是否为幂等的?
不可交换:
x,y*a,b=xa,xb+y?
a,b*x,y
可结合:
(a,b*x,y)*c,d=ax,ay+b*c,d=axc,axd+(ay+b)
a,b*(x,y*c,d)=a,b*xc,xd+y=axc,a(xd+y)+b
(a,b*x,y)*c,d=a,b*(x,y*c,d)
不是幂等的
(2)*运算是否有单位元,零元?
如果有请指出,并求s中所有可逆元素的逆元。
设a,b是单位元,x,ys,a,b*x,y=x,y*a,b=x,y
则ax,ay+b=xa,xb+y=x,y,解的a,b=1,0,即为单位。
设a,b是零元,x,ys,a,b*x,y=x,y*a,b=a,b
则ax,ay+b=xa,xb+y=a,b,无解。
即无零元。
x,ys,设a,b是它的逆元a,b*x,y=x,y*a,b=1,0
ax,ay+b=xa,xb+y=1,0
a=1/x,b=-y/x
所以当x?
0时,?
x,y?
?
1?
1y,?
xx?
10.令s={a,b},s上有四个运算:
*,
分别有表10.8确定。
(a)(b)(c)(d)
(1)这4个运算中哪些运算满足交换律,结合律,幂等律?
(a)交换律,结合律,幂等律都满足,零元为a,没有单位元;
(b)满足交换律和结合律,不满足幂等律,单位元为a,没有零元
a?
1?
a,b?
1?
b
(c)满足交换律,不满足幂等律,不满足结合律
a?
(b?
b)?
a?
a?
b,
a?
(b?
b)?
(a?
b)?
b
没有单位元,没有零元
(d)不满足交换律,满足结合律和幂等律
没有单位元,没有零元
(2)求每个运算的单位元,零元以及每一个可逆元素的逆元。
见上
(a?
b)?
b?
a?
b?
a
16.设v=〈n,+,〉,其中+,分别代表普通加法与乘法,对下面给定的每个集合确定它是否构成v的子代数,为什么?
(1)s1=
(2)s2=是不是加法不封闭
(3)s3={-1,0,1}不是,加法不封闭
第十一章部分课后习题参考答案
8.设s={0,1,2,3},为模4乘法,即
y=(xy)mod4?
x,y∈s,x
问〈s,〉是否构成群?
为什么?
y=(xy)mod4?
s,是s上的代数运算。
解:
(1)?
x,y∈s,x
(2)?
x,y,z∈s,设xy=4k+r0?
r?
3(xy)z=((xy)mod4)z=rz=(rz)mod4
=(4kz+rz)mod4=((4k+r)z)mod4=(xyz)mod4
同理x(yz)=(xyz)mod4
y)z=x1)=(1(yz),结合律成立。
所以,(x(3)?
x∈s,(xx)=x,,所以1是单位元。
(4)1?
1?
1,3?
1?
3,0和2没有逆元
所以,〈s,
9.设z为整数集合,在z上定义二元运算。
如下:
?
x,y∈z,xoy=x+y-2
问z关于o运算能否构成群?
为什么?
〉不构成群
解:
(1)?
x,y∈z,xoy=x+y-2?
z,o是z上的代数运算。
(2)?
x,y,z∈z,
(xoy)oz=(x+y-2)oz=(x+y-2)+z-2=x+y+z-4
同理(xoy)oz=xo(yoz),结合律成立。
(3)设e是单位元,?
x∈z,xoe=eox=x,即x+e-2=e+x-2=x,e=2
(4)?
x∈z,设x的逆元是y,xoy=yox=e,即x+y-2=y+x-2=2,
所以,x?
1?
y?
4?
x
所以〈z,o〉构成群
?
?
10?
?
10?
11.设g=?
?
?
01?
?
?
?
0?
1?
?
?
?
?
?
?
?
?
10?
?
?
10?
?
?
?
01?
?
?
?
0?
1?
?
?
,证明g关于矩阵乘法构成一个群.
?
?
?
?
?
解:
(1)?
x,y∈g,易知xy∈g,乘法是z上的代数运算。
(2)矩阵乘法满足结合律
?
10?
(3)设?
?
01?
?
是单位元,
?
?
(4)每个矩阵的逆元都是自己。
所以g关于矩阵乘法构成一个群.
14.设g为群,且存在a∈g,使得
g={ak∣k∈z}
证明:
g是交换群。
证明:
?
x,y∈g,设x?
ak,y?
al,则
xy?
akal?
ak?
l?
?
al?
k?
alak?
yx
所以,g是交换群
17.设g为群,证明e为g中唯一的幂等元。
22证明:
设e0?
g也是幂等元,则e0?
e0,即e0?
e0e,由消去律知e0?
e
18.设g为群,a,b,c∈g,证明
∣abc∣=∣bca∣=∣cab∣
证明:
先证设(abc)k?
e?
(bca)k?
e
设(abc)k?
e,则(abc)(abc)(abc)?
(abc)?
e,
即a(bc)(abc)(abc)?
a(bc)aa?
1?
e
左边同乘a?
1,右边同乘a得
(bca)(bca)(bca)?
(bca)?
(bac)k?
a?
1ea?
e
反过来,设(bac)k?
e,则(abc)k?
e.
由元素阶的定义知,∣abc∣=∣bca∣,同理∣bca∣=∣cab∣
19.证明:
偶数阶群g必含2阶元。
证明:
设群g不含2阶元,?
a?
g,当a?
e时,a是一阶元,当a?
e时,a至少是3阶元,因为群g时有限阶的,所以a是有限阶的,设a是k阶的,则a?
1也是k阶的,所以高于3阶的元成对出现的,g不含2阶元,g含唯一的1阶元e,这与群g是偶数阶的矛盾。
所以,偶数阶群g必含2阶元
20.设g为非abel群,证明g中存在非单位元a和b,a≠b,且ab=ba.
证明:
先证明g含至少含3阶元。
若g只含1阶元,则g={e},g为abel群矛盾;
若g除了1阶元e外,其余元a均为2阶元,则a2?
e,a?
1?
a
?
a,b?
g,a?
1?
a,b?
1?
b,(ab)?
1?
ab,所以ab?
a?
1b?
1?
(ba)?
1?
ba,
与g为abel群矛盾;
所以,g含至少含一个3阶元,设为a,则a?
a2,且a2a?
aa2。
令b?
a2的证。
21.设g是mn(r)上的加法群,n≥2,判断下述子集是否构成子群。
(1)全体对称矩阵是子群
(2)全体对角矩阵是子群
(3)全体行列式大于等于0的矩阵.不是子群
(4)全体上(下)三角矩阵。
是子群
22.设g为群,a是g中给定元素,a的正规化子n(a)表示g中与a可交换的元素构成的集合,即n(a)={x∣x∈g∧xa=ax}
证明n(a)构成g的子群。
证明:
ea=ae,e?
n(a)?
?
?
x,y?
n(a),则ax?
xa,ay?
ya
a(xy)?
(ax)y?
(xa)y?
x(ay)?
x(ya)?
(xy)a,所以xy?
n(a)
由ax?
xa,得x?
1axx?
1?
x?
1xax?
1,x?
1ae?
eax?
1,即x?
1a?
ax?
1,所以x?
1?
n(a)
【篇二:
离散数学第四版课后答案(第9章)】
1有5片树叶.
分析设t有x个1度顶点(即树叶).则t的顶点数
n?
3?
2?
x?
5?
x,t
的边数m?
n?
1?
4?
x.由握手定理得方程.
n
2m?
2(4?
x)?
?
d(v
i?
1
i
)?
3?
3?
2?
2?
1?
x?
13?
x.
由方程解出x?
5.
所求无向树t的度数列为1,1,1,1,1,2,2,3,3,3.由这个度数列可以画多棵非同构的无向树,图9.6给出的4棵都具有上述度数列,且它们是非同构的.
9.2t中有5个3度顶点.
分析设t中有x个3度顶点,则t中的顶点数n?
7?
x,边数m?
n?
1?
6?
x,由握手定理得方程.
由方程解出x=5.
所求无向树t的度数列为1,1,1,1,1,2,2,3,3,3.由这个度数列可以画多棵非同构的无向树,图9.6给出的4棵都具有上述度数列,且它们是非同构的.
9.2t中有5个3度顶点.
要析设t中有x个3度顶点,则t中的顶点数n?
7?
x,边数m?
n?
1?
6?
x,由握手定理得方程.
2m?
12?
2x?
?
d(v)?
3x?
7
i
i?
1
n
2m?
12?
2x?
?
d(v)?
3x?
7.
i
i?
1
n
由此解出x?
5,即t中有5个3度顶.t的度数列为1,1,1,1,1,1,1,3,3,3,3,3.由于t中只有树叶和3度顶点,因而3度顶点可依次相邻,见图9.7所示.还有一棵与它非同构的树,请读者自己画出.
9.3加k?
1条新边才能使所得图为无向树.
分析设具有k个连通分支的森林为g,则g有k个连通分支t,t
1
2
?
tk,ti全为树,i?
1,2,?
k.加新边不能在ti内部加,否则
必产生回路.因而必须在不同的小树之间加新边.每加一条新边后,所得到的森林就减少一个连通分支.恰好加k?
1条新边,就使得图连通且无回路,因而是树.在加边过程中,只需注意,不在同一人连通分支中加边.下面给出一种加边方法,取v为t中顶点,加新边(v,v
i
i
i
i?
1
)i?
1,2,?
k?
1,则所得图为树,
见图9.8给出的一个特例.图中虚线边为新加的边.
9.4不一定.
分析n阶无向树t具有n?
1条边,这是无向树t的必要条件,但不是充公条件.例如,阶圈(即n?
1个顶点的初级回路)和一个孤立点组成无向简单图具有n?
1条边,但它显然不是树.
9.5非同构的无向树共有2棵,如图9.9所示.
分析由度数列1,1,1,1,2,2,4不难看出,唯一的4度顶点必须与2度顶点相邻,它与1个2度顶点相邻,还是与两个2度顶点都相邻,所得树是非同构的,再没有其他情况.因而是两棵非同构的树.
9.6有两棵非同构的生成树,见图9.10所示.
分析图9.10是5阶图
(5个顶点的图),5阶非同构的无向树只有3棵,理由如下.5阶无向树中,顶点数n?
5,边数m?
4,各顶点度数之和为8,度数分配方案有3种,分别为
①1,1,1,1,4;②1,1,1,2,3;③1,1,2,2.2.
每种方案只有一棵非同构的树.图9.10所示的5阶图的非同构的生成树的度数列不能超出以上3种,也就是说,它至多有3棵非同构的生成树,但由于图中无4度顶点,所示,不可能有度数列为①的生成树,于是该图最多有两棵非同构的
生成树.但在图9.10中已经找出了两个非同构的生成树,其中
(1)的度数列为③,
(2)的度数列为②,因而该图准确地有两棵非同构的生成树.
9.7基本回路为:
c基本回路系统为{c基本割集为:
c
c
?
cbad,ce?
ead,cg?
gfa,ch?
hfab.
ce,cg,ch}.
sb?
{b,c,h},s
f
sa?
{a,e,c,g,h},sd?
{d,e,c}
sb,sd,sf}
?
{f,g,h}
基本回路系统为{s
a
.
vi,vj
i
vj)
则v
i,j
i
vj
在生成树t中,且在t中,
i
之间存在唯一的路径?
与e?
(v
vj)
组成的回路为g中对
应弦e的基本回路.
i
vj),则e为t中桥,于是t
?
e
(将e从t
中支掉),产生两棵小树t和t,则
1
2
se?
{e|e在g中且e的两端点分别在
t1和t2中}
中另外的边全是
se为树枝e对应的基本割集.显然e?
se,se
弦.注意,两棵小树t和t,中很可能有平凡的树(一个顶
1
2
点).
t?
a
得两棵小树如图9.11中
(1)所示.g中一个端点在
(树枝),e,c,g,h,它们全是弦,
ti中,另一个端点在t2中的边为a
于是s
a
?
{a,e,c,g,h}
t?
b
得两棵小树如图9.11中
(2)所示,其中有一棵为
1
平凡树.g中一个端点在t中,另一个端点在t中的边数除树
2
枝b外,还有弦c,h,所以,s
t?
d
b
?
{b,c,h}
产生的两棵小树如图9.11中(3)所示.g中一个
2
端点在t中,另中一个端点在t中的边,除树枝d外,还有两条
1
弦c,e,所示,s
t?
f
d
?
{d,c,e}
产生的两棵小树如图9.11中(4)所示.由它产生
f
的基本割集为s
?
{f,g,h}
9.8按kruskal求最小生成树的算法,求出的图9.3
(1)的最小生成树t为图9.12中
(1)所示,其w(t)?
7.
(2)的最小生成树t为图9.12中
(2)所示,其w(t)?
11.
9.9b
1
b2,b4为前缀码.
1
分析在b
b2,b4中任何符号串都不是另外符号串的前串,
3
3
因而它们都是前缀码.而在b中,1是11,101的前缀,因而b
5
5
不是前缀码.在b中,a,是aa,ac等的前缀,因而b也不是前缀码.
【篇三:
离散数学课后答案(第1,2,4章)武汉大学出版社】
)否
(2)否
(3)是,真值为0
(4)否
(5)是,真值为1
2、
(1)p:
天下雨q:
我去教室┐p→q
(2)p:
你去教室q:
我去图书馆p→q
(3)p,q同
(2)q→p
(4)p:
2是质数q:
2是偶数p∧q
3、
(1)0
(2)0
(3)1
4、
(1)如果明天是晴天,那么我去教室或图书馆。
(2)如果我去教室,那么明天不是晴天,我也不去图书馆。
(3)明天是晴天,并且我不去教室,当且仅当我去图书馆。
习题1.2
1、
(1)是
(2)是
(3)否
(4)是
(5)是
(6)否
2、
(1)(p→q)→r,p→q,r,p,q
(2)(┐p∨q)∨(r∧p),┐p∨q,r∧p,┐p,q,r,p
(3)((p→q)∧(q→p))∨┐(p→q)),(p→q)∧(q→p),┐(p→q),p→q,(q→p),p→q,p,q,q,p,p,q
3、
(1)((p→q)→(q→p))→(p→q)
(2)((p→q)∨((p→q)→r))→((p→q)∧((p→q)→r))
(3)(q→p∧┐p)→(p∧┐p→q)
4、(p→q)∨((p∧q)∨(┐p∧┐q))∧(┐p∨q)
习题1.3
1、
(1)i(p∨(q∧r))=i(p)∨(i(q)∧i(r))=1∨(1∧0)=1
(2)i((p∧q∧r)∨(┐(p∨q)∧┐(r∨s)))=(1∧1∧0)∨(┐(1∨1)∧┐(0∨1))=0∨(0∧0)=0
(3)i((p←→r)∧(┐q→s))=(1←→0)∧(┐1→1)=0∧1=0
(4)i((p∨(q→r∧┐p))←→(q∨┐s))=(1∨(1→(0∧┐1)))←→(1∨┐1)=1←→1=1
(5)i(┐(p∧q)∨┐r∨((q←→┐p)→r∨┐s))=┐(1∧1)∨┐0∨((1←→┐1)→(0∨┐1))=0∨1∨1=1
2、
(1)
pqp→qq∧(p→q)q∧(p→q)→p
00101
01110
10001
11111
(2)
pqrq∧r┐(p∨(q∧r))p∨qp∨r(p∨q)∧(p∨r)原式000010000
001010100
010011000
011101110
100001110
101001110
110001110
111101110
(3)
pqrp∨qq∧pp∨q→q∧pp∧┐r原式
00000100
00100100
01010001
01110001
10010011
10110001
11011111
11111100
3、
(1)原式=f→q=t原式为永真式
(2)原式=┐t∨(┐(┐p∨q)∨(┐┐q∨┐p))=(p∧┐q)∨(q∨┐p)
=(p∧┐q)∨┐(p∧┐q)=t原式为永真式
(3)原式=┐(p∧q)←→┐(p∧q)=t原式为永真式
(4)原式=p∧(q∨r)←→p∧(q∨r)=t原式为永真式
(5)原式=┐(p∨┐q)∨q=(┐p∧q)∨q=q原式为可满足式
(6)原式=┐(p∧q)∨p=┐p∨┐q∨p=t∨┐q=t原式为永真式
(7)原式=(┐p∨p∨q)∧┐p=(t∨q)∧┐p
=t∧┐p=┐p原式为可满足式
(8)原式=┐((p∨q)∧(┐q∨r))∨(┐p∨r)=(p∧┐q)∨(q∧┐r)∨(┐p∨r)=((p∧┐q)∨┐p)∨((q∧┐r)∨r)
=((p∨┐p)∧(┐q∨┐p))∨((q∨r)∧(┐r∨r))
=(┐q∧┐p)∨(q∨r)=t原式为永真式
4、
(1)左=┐p∨┐q∨p=┐┐p∨(┐p∨┐q)=右
(2)左=┐(┐p∨q)=右
(3)左=┐(p∧q)∨p=┐p∨┐q∨p=t∨┐q=右
(4)左=┐(p→q)∨┐(q→p)=(p∧┐q)∨(q∧┐p)=中
=((p∧┐q)∨q)∧((p∧┐q)∨┐p)
=(p∨q)∧(┐q∨q)∧(p∨┐p)∧(┐q∨┐p)
=(p∨q)∧┐(p∧q)=右
(5)左(pq)(rq)(pq)q右
5.
(1)左qpq右
(2)(p(qr))((pq)(pr))
(pqr)(pq)(pr)
(pqr)(pq)pr
(pqr)((pp)(qp))r
(pqr)(qpr)
(pqr)(pqr)
t
故p(qr)(pq)(pr)
(3).(pq)(ppq)
(pq)p(pq)
(pq)(pp)(pq)
(pq)(pq)
t
故pqppq
(4).((pq)q)pq
((pq)q)pq
((pq)q)pq
(pq)(qq)pq
(pq)(pq)
t
故(pq)qpq
(5).((pp)q)((pp)r)(qr)
qr
(qr)qr
qrqr
qt
t
故((pp)q)((pp)r)qr
(6)左(qf)(rf)
(qf)(rf)
qr
r
rq右
6.
(1)原式(pqr)
(2)原式pqp(pqp)
(3)原式p(qrp)pqr(pqr)
7.
(1)原式(pqp)
(2)原式(pqr)pq((pqr)pq)
(3)原式pq(rp)(pq(rp))
8.
(1)(pq)((p(pq))r)p
(2)(pqr)(pr)
(3)(pf)(qt)
习题1.4
1.
(1)原式(pq)((pq)(qp))
(pq)(qp)
(pq)qp
qp,既是析取范式又是合取范式
(2)原式((pq)(pq))((pq)(pq))
(pq)(pq)析取范式
p(qq)合取范式
(3)原式pqs(pq)析取范式
(p(pq))qs
pqs合取范式
(4)原式ppqqr既是析取范式又是合取范式
2.
(1)原式pqr为真的解释是:
000,001,011,100,101,110,111
故原式的主析取范式为:
(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)
(2)原式(pq)r
(pq(rr))((pp)r)
(pqr)(pqr)(pq)(pr)
(pqr)(pqr)(p(qq)r)(p(qq)r)
(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)
(pqr)(p