学年高中数学第3章不等式333简单的线性规划问题第2课时简单线性规划的应用学案苏教版必修5.docx
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学年高中数学第3章不等式333简单的线性规划问题第2课时简单线性规划的应用学案苏教版必修5
第2课时 简单线性规划的应用
会从实际情景中抽象出简单线性规划问题并解决问题．
[学生用书P58]）
应用线性规划解决实际问题的类型
1．若变量x，y满足约束条件
则z＝2x＋3y的最小值为________．
解析：
作出可行域（如图阴影部分所示）．作出直线l：
2x＋3y＝0.
平移直线l到l′的位置，使其通过可行域中的A点（如图）．
这时直线在y轴上的截距最小，z取得最小值．
解方程组
得最优解
即A（1，1），
所以z最小＝2×1＋3×1＝5.
答案：
5
2．设变量x，y满足约束条件
则目标函数z＝2x＋3y＋1的最大值为________．
解析：
作出可行域（如图阴影部分所示）．
作出直线l：
2x＋3y＝0.
平移直线l至l′的位置，使其通过可行域中的A点（如图），这时直线在y轴上的截距最大，z取得最大值．
解方程组
得最优解
即A（3，1），
所以z最大＝2×3＋3×1＋1＝10.
答案：
10
3．完成一项装修工程，请木工需付工资每人每天50元，请瓦工需付工资每人每天40元．现有工人工资预算每天2000元，设请木工x人，请瓦工y人，则请工人的约束条件是________．
答案：
4．某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为________元．
解析：
设租用A型车x辆，B型车y辆，租金为z元，
则
画出可行域（如图中阴影部分内的整点），则目标函数z＝1600x＋2400y在点（5，12）处取得最小值zmin＝36800元．
答案：
36800
线性规划的实际应用问题[学生用书P58]
某家具厂有方木料90m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要木料0.1m3，五合板2m2，生产每个书橱需要木料0.2m3，五合板1m2，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．
（1）如果只安排生产书桌，可获利润多少；
（2）如果只安排生产书橱，可获利润多少；
（3）怎样安排生产可使所获利润最大．
【解】 设生产书桌x张，生产书橱y个，利润为z元，则目标函数为z＝80x＋120y，根据题意知，
约束条件为
即
画出可行域如图所示，
（1）若只生产书桌，则y＝0，
此时目标函数z＝80x，
由图可知zmax＝80×300＝24000，
即只生产书桌，可获利润24000元．
（2）若只生产书橱，则x＝0，
此时目标函数z＝120y，
由图可知zmax＝120×450＝54000，
即只生产书橱，可获利润54000元．
（3）作直线l：
80x＋120y＝0，并平移直线l，
由图可知，当直线l过点C时，z取得最大值，
解
得C（100，400），
所以zmax＝80×100＋120×400＝56000，即生产100张书桌，400个书橱，可获得最大利润．
解答此类问题，在按解决线性规划实际问题的步骤进行解题时，应注意以下几点：
（1）在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较多，因此认真审题非常重要．
（2）线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断．
（3）结合实际问题，判断未知数x，y等是否有限制，如x，y为正整数、非负数等．
（4）分清线性约束条件和线性目标函数，线性约束条件一般是不等式，而线性目标函数却是一个等式．
（5）图对于解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范．
1.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目．根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
解：
设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意知
目标函数为z＝x＋0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即为可行域．
作直线l0：
x＋0.5y＝0，并作平行于直线l0的一组直线x＋0.5y＝z，z∈R，这组平行直线与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x＋0.5y＝0的距离最大，这里M点是直线x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交点．解方程组
得
此时z＝1×4＋0.5×6＝7（万元）．
因为7＞0，所以当x＝4，y＝6时，
z取得最大值．
所以投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．
线性规划中的最优整数解问题[学生用书P59]
某工厂制造甲、乙两种家电产品，其中每件甲种家电需要在电器方面加工6小时，装配加工1小时，每件甲种家电的利润为200元；每件乙种家电需要在外壳配件方面加工5小时，在电器方面加工2小时，装配加工1小时，每件乙种家电的利润为100元．已知该工厂可用于外壳配件方面加工的能力为每天15小时，可用于电器方面加工的能力为每天24小时，可用于装配加工的能力为每天5小时．问该工厂每天制造两种家电各几件，可使获取的利润最大？
（每天制造的家电件数为整数）
【解】 设该工厂每天制造甲、乙两种家电分别为x件、y件，获取的利润为z百元，
则z＝2x＋y，
满足
作出可行域，如图中阴影的整点部分：
由图可得O（0，0），A（0，3），B（2，3），
C
，D（4，0）．
平移直线y＝－2x＋z，当直线过（3，2）或（4，0）时z有最大值．
即工厂每天制造甲种家电3件，乙种家电2件或仅制造甲种家电4件，可获利最大．
本例中，若将甲种家电的利润改为“100元”，乙种家电的利润改为“200元”，又如何求解？
解：
设该工厂每天制造甲、乙两种家电分别为x件，y件，获取的利润为z百元，则z＝x＋2y，满足
目标函数变形为y＝－
x＋
，
由可行域知当目标函数过点B（2，3）时目标函数取最大值，即工厂每天制造甲种家电2件，乙种家电3件时利润最大，Wmax＝8（百元）．
（1）对于整数解问题，其最优解不一定是离边界点最近的整点，而要先对边界点作目标函数t＝Ax＋By的图象，则最优解是在可行域内离直线t＝Ax＋By最近的整点．
（2）对于整点问题，一定要通过平移考察目标函数的变化，从而确定最优整数解．
2.某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、质量、可获利润和托运能力限制数据见下表，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运多少箱．
货物
每箱体积/m3
每箱质量/kg
每箱利润/百元
甲
5
2
20
乙
4
5
10
托运能力
限制数
24
13
解：
设甲货物托运x箱，乙货物托运y箱，利润为z，
由题意得
z＝20x＋10y，作出可行域如图所示，作直线l：
20x＋10y＝0，当直线z＝20x＋10y经过可行域上的点A时，z最大，又A（4.8，0）不是整点，解方程组
得点B（4，1）为整点．所以甲货物托运4箱，乙货物托运1箱，可获得最大利润．
（1）解答线性规划应用题的一般步骤
①审题；②转化；③求解；④作答．
（2）作图应尽可能准确，假如图上的最优点不容易看出时，需将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一检验，以确定最优解．
（3）线性规划解决的常见问题
①物资调配问题；
②产品安排问题；
③合理下料问题；
④产品配方问题；
⑤方案设计问题．
（4）寻找整点最优解的两个方法
①平移找解法：
先打网格，描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点便是最优整数解，这种方法应充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解．
②调整优值法：
先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛选出整点最优解．
解决线性规划实际应用问题的常见错误
（1）不能准确地理解题中条件的含义，如“不超过”“至少”等线性约束条件而出现失误．
（2）最优解的找法由于作图不规范而不准确．
（3）最优解为“整点”时不会寻找“最优整数解”．处理此类问题时，一是要规范作图，尤其是边界实虚要分清，二是寻找最优整数解时可记住“整点在整线上”（整线：
形如x＝k或y＝k，k∈Z）．
1．某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为a1，a2千克，生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为b1，b2千克，甲，乙产品每千克可获利润分别为d1，d2元，月初一次性购进原料A，B分别为c1，c2千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大？
在这个问题中，设全月生产甲，乙两种产品分别为x，y千克，月利润总额为z元，那么，用于求使总利润z＝d1x＋d2y最大的数学模型中，约束条件为________．
解析：
由题设和本题的限制条件可得，另外容易遗漏的限制条件是x≥0，y≥0.
答案：
2．一农民有基本农田2亩，根据往年经验，若种水稻，则每季每亩产量为400公斤；若种花生，则每季每亩产量为100公斤，但水稻成本较高，每季每亩240元，而花生只需80元，且花生每公斤卖5元，稻米每公斤卖3元，现该农民手头有400元，那么获得最大收益为________元．
解析：
设该农民种x亩水稻，y亩花生时能获得利润z元，则
即
z＝960x＋420y，
作出可行域如图阴影部分所示，
将目标函数变形为y＝－
x＋
，作出直线y＝－
x，在可行域内平移直线y＝－
x，
可知当直线过点B时，z有最大值，
由
解得B
，
故当x＝1.5，y＝0.5时，zmax＝1650元，
故该农民种1.5亩水稻，0.5亩花生时，能获得最大利润，最大利润为1650元．
答案：
1650
3．某厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品，这些产品分别需要在A，B，C，D四种不同的设备上加工，按工艺规定，产品甲和产品乙分别在各种设备上需要加工的台时数如下：
设备
产品
A
B
C
D
甲
2
1
4
0
乙
2
2
0
4
已知各设备在计划期内有效台时数分别为12，8，16，12（1台设备工作1小时称为1台时），该厂每生产一件甲产品可得到利润2元，每生产一件乙产品可得到利润3元，若要获得最大利润，则生产甲产品和乙产品的件数分别为________．
解析：
设在计划期内生产甲产品x件，乙产品y件，则由题意得约束条件为
即
作出可行域如图阴影部分所示，目标函数为z＝2x＋3y，由图可知当直线z＝2x＋3y经过点A时，z有最大值，解
得
即安排生产甲产品4件，乙产品2件时，利润最大．
答案：
4，2
[学生用书P111（单独成册）]）
[A 基础达标]
1．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有________种．
解析：
设购买软件x片，磁盘y盒，
则
画出线性约束条件表示的平面区域，如图所示中的整点部分．
落在阴影部分（含边界）区域的整点有（3，2），（3，3），（3，4），（4，2），（4，3），（5，2），（6，2）共7个整点．
答案：
7
2．某服装制造商有10m2的棉布料，10m2的羊毛料和6m2的丝绸料，做一套男装需要1m2的棉布料，2m2的羊毛料和1m2的丝绸料，做一套女装需要1m2的棉布料，1m2的羊毛料和1m2的丝绸料，做一套男装的纯收益是20元，做一套女装的纯收益是40元，为了使收益达到最大，若生产男装x套，女装y套，利润为z元，则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为________．
答案：
， z＝20x＋40y
3．某学校用800元购买A、B两种教学用品，A种用品每件100元，B种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A、B两种用品应各买的件数分别为________．
解析：
设买A种用品x件，B种用品y件，剩下的钱为z元，
则
求z＝800－100x－160y取得最小值时的整数解（x，y），用图解法求得整数解为（3，3）．
答案：
3件，3件
4．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的
倍，且对每个项目的投资不能低于5万元．对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为________万元．
解析：
设对
项目甲投资x万元，对项目乙投资y万元，
则
目标函数z＝0.4x＋0.6y.作出可行域如图所示，由直线斜率的关系知目标函数在A点取最大值，
代入得zmax＝0.4×24＋0.6×36＝31.2.
答案：
31.2
5．一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件4元，乙每件7元，甲每件卖出去后可赚1元，乙每件卖出去后可赚1.8元．若要使赚的钱最多，那么该商贩购买甲、乙两种商品的件数应分别为________．
解析：
设购买甲商品x件，乙商品y件，所赚钱数为z元，则目标函数为z＝x＋1.8y，约束条件为
作出可行域如图所示，由z＝x＋1.8y，得y＝－
x＋
，斜率为－
>－
，所以，由图可知直线过点A
时，z取得最大值．又x，y∈N，所以点A不是最优解．点（0，7），（2，6），（9，2）都在可行域内，逐一验证可得，当x＝2，y＝6时，z取得最大值．
答案：
2，6
6．铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：
a
b（万吨）
c（百万元）
A
50%
1
3
B
70%
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9万吨铁，若要求CO2的排放量不超过2万吨，则购买铁矿石的最少费用为________百万元．
解析：
设购买
铁矿石A、B分别为x，y万吨，购买铁矿石的费用为z百万元，
则
目标函数z＝3x＋6y，
由
得
记P（1，2），画出可行域，如图所示．当目标函数z＝3x＋6y过点P（1，2）时，z取到最小值，且最小值为zmin＝3×1＋6×2＝15.
答案：
15
7．某公司用两种机器来生产某种产品，第一种机器每台需花3万日元及人民币50元的维护费；第二种机器每台需花5万日元及人民币20元的维护费．第一种机器的年利润每台有9万日元，第二种机器的年利润每台有6万日元，但政府核准的外汇日元为135万元，并且公司的总维护费不得超过1800元，为了使年利润达到最大值，第一种机器应购买________台，第二种机器应购买________台．
解析：
设第一种机器购买x台，第二种机器购买y台，总的年利润为z万日元，则
目标函数为z＝9x＋6y.
不等式组表示的平面区域如图阴影部分中的整点．
当直线z＝9x＋6y经过点M
，即到达l1位置时，z取得最大值，但题目要求x，y均为自然数，故进行调整，调整到与M邻近的整数点（33，7），此时z＝9x＋6y取得最大值，即第一种机器购买33台，第二种机器购买7台获得年利润最大．
答案：
33 7
8．某公司计划用不超过50万元的资金投资A，B两个项目，根据市场调查与项目论证，A，B项目的最大利润分别为投资的80%和40%，而最大的亏损额为投资的40%和10%，若要求资金的亏损额不超过8万元，且使利润最大，投资者应投资A项目________万元，投资B项目________万元．
解析：
设投资者对A，B两个项目的投资分别为x，y万元，则由题意得约束条件为
即
投资者获得的利润设为z，
则有z＝0.8x＋0.4y.作出可行域如图所示，由图可知，当直线经过点B时，z取得最大值．解
得B（10，40）．所以，当x＝10，y＝40时，获得最大利润，最大利润为24万元．
答案：
10 40
9．某研究所计划利用“神十一”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A，B，要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，搭载每件产品有关数据如表：
产品A
（件）
产品B
（件）
研制成本、搭载
费用之和（万元）
20
30
计划最大投资
金额300万元
产品质量（千克）
10
5
最大搭载
质量110千克
预计收益（万元）
80
60
试问：
如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？
解：
设“神十一”宇宙飞船搭载产品A，B的件数分别为x，y，最大收益为z，则目标函数为z＝80x＋60y，根据题意可知，
约束条件为
即
作出可行域如图阴影部分中的整点所示，
作出直线l：
80x＋60y＝0，并平移直线l，由图可知，当直线过点M时，z取得最大值，解
得M（9，4），所以zmax＝80×9＋60×4＝960，即搭载A产品9件，B产品4件，可使得总预计收益最大，为960万元．
10．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5min，生产一个骑兵需7min，生产一个伞兵需4min，已知总生产时间不超过10h．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．
（1）用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润W（元）；
（2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？
解：
（1）依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y，所以利润W＝5x＋6y＋3（100－x－y）＝2x＋3y＋300.
（2）约束条件为
整理得
目标函数为W＝2x＋3y＋300，
作出可行域如图所示．初始直线l0：
2x＋3y＝0，平移初始直线经过点A时，W有最大值，
由
得
最优解为A（50，50），所以Wmax＝550（元）．
故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550元．
[B 能力提升]
1．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
解析：
由题意，设产品A生产x件，产品B生产y件，利润z＝2100x＋900y，线性约束条件为
作出不等式组表示的平面区域如图阴影中的整点部分所示，又由x∈N，y∈N，可知取得最大值时的最优解为（60，100），所以zmax＝2100×60＋900×100＝216000（元）．
答案：
216000
2．有一批铜管，长为4000cm，要截成500cm和600cm两种毛坯料，且这两种毛坯料数量之比大于
，若要截得数量最多，截取方案种数为________．
解析：
设截得500cm的毛坯料x根，截得600cm的毛坯料y根，由题意，线性约束条件为
即
作出可行域如图所示，目标函数为z＝x＋y.令z＝0,得直线l：
x＋y＝0，则直线z＝x＋y表示一族与直线l平行的直线．由图可知，当直线z＝x＋y经过点B（8，0）时，z最大，此时x＋y＝8，但x，y均为正整数，故（8，0）不是最优解．平移直线z＝x＋y，令x＋y＝7在可行域内逐一验证，可知点（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）均为最优解，故有5种截取方案．
答案：
5
3．某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：
单位产品所需资金（百元）
月资金供
应量（百元）
空调机
洗衣机
成本
30
20
300
劳动力（工资）
5
10
110
单位利润
6
8
试问：
怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？
解：
设生产空调机x台，洗衣机y台，则30x＋20y≤300，5x＋10y≤110，x，y∈N，即
利润z＝6x＋8y.
作出可行域如图阴影部分所示．
由图可知当直线6x＋8y＝z经过可行域内点A时，z取最大值，由
得
此时zmax＝6×4＋8×9＝96（百元）．
故生产空调机4台，洗衣机9台时，可获最大利润9600元．
4．（选做题）某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：
原料
肥料
A
B
C
甲
4
8
3
乙
5
5
10
现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨．在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．
（1）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（2）问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？
并求出此最大利润．
解：
（1）由已知，x，y满足的数学关系式为
设二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．
（2）设利润为z万元，则目标函数为z＝2x＋3y.
考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝－
x＋
，这是斜率为－
，随z变化的一族平行直线.
为直线在y轴上的截距，当
取最大值时，z的值最大．又因为x，y满足约束条件，所以由图2可知，当直线z＝2x＋3y经过可行域上的点M时，截距
最大，即z最大．
解方程组
得点M的坐标为（20，24）．
所以zmax＝2×20＋3×24＝112.
即生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．
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