学年高中数学第3章不等式333简单的线性规划问题第2课时简单线性规划的应用学案苏教版必修5.docx

1、学年高中数学第3章不等式333简单的线性规划问题第2课时简单线性规划的应用学案苏教版必修5第2课时简单线性规划的应用会从实际情景中抽象出简单线性规划问题并解决问题,学生用书P58)应用线性规划解决实际问题的类型1若变量x，y满足约束条件则z2x3y的最小值为_解析：作出可行域(如图阴影部分所示)作出直线l：2x3y0.平移直线l到l的位置，使其通过可行域中的A点(如图)这时直线在y轴上的截距最小，z取得最小值解方程组得最优解即A(1，1)，所以z最小21315.答案：52设变量x，y满足约束条件则目标函数z2x3y1的最大值为_解析：作出可行域(如图阴影部分所示)作出直线l：2x3y0.平移直

2、线l至l的位置，使其通过可行域中的A点(如图)，这时直线在y轴上的截距最大，z取得最大值解方程组得最优解即A(3，1)，所以z最大2331110.答案：103完成一项装修工程，请木工需付工资每人每天50元，请瓦工需付工资每人每天40元现有工人工资预算每天2 000元，设请木工x人，请瓦工y人，则请工人的约束条件是_答案：4某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为_元解析：设租用A型车x辆，B型车y辆，租金为z元，则画出可行

3、域(如图中阴影部分内的整点)，则目标函数z1 600x2 400y在点(5，12)处取得最小值zmin36 800元答案：36 800线性规划的实际应用问题学生用书P58某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售已知生产每张书桌需要木料0.1 m3，五合板2 m2，生产每个书橱需要木料0.2 m3，五合板1 m2，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少；(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少；(3)怎样安排生产可使所获利润最大【解】设生产书桌x张，生产书橱y个，利润为z元，则目标函数为z80x120y，根据题

4、意知，约束条件为即画出可行域如图所示，(1)若只生产书桌，则y0，此时目标函数z80x，由图可知zmax8030024 000，即只生产书桌，可获利润24 000元(2)若只生产书橱，则x0，此时目标函数z120y，由图可知zmax12045054 000，即只生产书橱，可获利润54 000元(3)作直线l：80x120y0，并平移直线l，由图可知，当直线l过点C时，z取得最大值，解得C(100，400)，所以zmax8010012040056 000，即生产100张书桌，400个书橱，可获得最大利润解答此类问题，在按解决线性规划实际问题的步骤进行解题时，应注意以下几点：(1)在线性规划问题的

5、应用中，常常是题中的条件较多，因此认真审题非常重要(2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断(3)结合实际问题，判断未知数x，y等是否有限制，如x，y为正整数、非负数等(4)分清线性约束条件和线性目标函数，线性约束条件一般是不等式，而线性目标函数却是一个等式(5)图对于解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范1.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损某投资人打算投资甲、乙两个项目根据预测， 甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万

6、元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？解：设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意知目标函数为zx0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即为可行域作直线l0：x0.5y0，并作平行于直线l0的一组直线x0.5yz，zR，这组平行直线与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x0.5y0的距离最大，这里M点是直线xy10和0.3x0.1y1.8的交点解方程组得此时z140.567(万元)因为70，所以当x4，y6时，z取得最大值所以投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才

7、能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大线性规划中的最优整数解问题学生用书P59某工厂制造甲、乙两种家电产品，其中每件甲种家电需要在电器方面加工6小时，装配加工1小时，每件甲种家电的利润为200元；每件乙种家电需要在外壳配件方面加工5小时，在电器方面加工2小时，装配加工1小时，每件乙种家电的利润为100元已知该工厂可用于外壳配件方面加工的能力为每天15小时，可用于电器方面加工的能力为每天24小时，可用于装配加工的能力为每天5小时问该工厂每天制造两种家电各几件，可使获取的利润最大？(每天制造的家电件数为整数)【解】设该工厂每天制造甲、乙两种家电分别为x件、y件，获取的利润为z百元，

8、则z2xy，满足作出可行域，如图中阴影的整点部分：由图可得O(0，0)，A(0，3)，B(2，3)，C，D(4，0)平移直线y2xz，当直线过(3，2)或(4，0)时z有最大值即工厂每天制造甲种家电3件，乙种家电2件或仅制造甲种家电4件，可获利最大本例中，若将甲种家电的利润改为“100元”，乙种家电的利润改为“200元”，又如何求解？解：设该工厂每天制造甲、乙两种家电分别为x件，y件，获取的利润为z百元，则zx2y，满足目标函数变形为yx，由可行域知当目标函数过点B(2，3)时目标函数取最大值，即工厂每天制造甲种家电2件，乙种家电3件时利润最大，Wmax8(百元)(1)对于整数解问题，其最优解

9、不一定是离边界点最近的整点，而要先对边界点作目标函数tAxBy的图象，则最优解是在可行域内离直线tAxBy最近的整点(2)对于整点问题，一定要通过平移考察目标函数的变化，从而确定最优整数解 2.某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、质量、可获利润和托运能力限制数据见下表，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运多少箱货物每箱体积/m3每箱质量/kg每箱利润/百元甲5220乙4510托运能力限制数2413解：设甲货物托运x箱，乙货物托运y箱，利润为z，由题意得z20x10y，作出可行域如图所示，作直线l：20x10y0，当直线z20x10y经过可行域上的点A时，z最大，又A(4.8

10、，0)不是整点，解方程组得点B(4，1)为整点所以甲货物托运4箱，乙货物托运1箱，可获得最大利润(1)解答线性规划应用题的一般步骤审题；转化；求解；作答(2)作图应尽可能准确，假如图上的最优点不容易看出时，需将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一检验，以确定最优解(3)线性规划解决的常见问题物资调配问题；产品安排问题；合理下料问题；产品配方问题；方案设计问题(4)寻找整点最优解的两个方法平移找解法：先打网格，描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点便是最优整数解，这种方法应充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函

11、数求值，经比较求最优解调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛选出整点最优解解决线性规划实际应用问题的常见错误(1)不能准确地理解题中条件的含义，如“不超过”“至少”等线性约束条件而出现失误(2)最优解的找法由于作图不规范而不准确(3)最优解为“整点”时不会寻找“最优整数解”处理此类问题时，一是要规范作图，尤其是边界实虚要分清，二是寻找最优整数解时可记住“整点在整线上”(整线：形如xk或yk，kZ)1某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为a1，a2千克，生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为b1，b2千克，甲，乙产品每千克可获利润分别为d1，d2元，

12、月初一次性购进原料A，B分别为c1，c2千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大？在这个问题中，设全月生产甲，乙两种产品分别为x，y千克，月利润总额为z元，那么，用于求使总利润zd1xd2y最大的数学模型中，约束条件为_解析：由题设和本题的限制条件可得，另外容易遗漏的限制条件是x0，y0.答案：2一农民有基本农田2亩，根据往年经验，若种水稻，则每季每亩产量为400公斤；若种花生，则每季每亩产量为100公斤，但水稻成本较高，每季每亩240元，而花生只需80元，且花生每公斤卖5元，稻米每公斤卖3元，现该农民手头有400元，那么获得最大收益为_元解析：设该农民种x亩水稻，

13、y亩花生时能获得利润z元，则即z960x420y，作出可行域如图阴影部分所示，将目标函数变形为yx，作出直线yx，在可行域内平移直线yx，可知当直线过点B时，z有最大值，由解得B，故当x1.5，y0.5时，zmax1 650 元，故该农民种1.5亩水稻，0.5亩花生时，能获得最大利润，最大利润为1 650元答案：1 6503某厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品，这些产品分别需要在A，B，C，D四种不同的设备上加工，按工艺规定，产品甲和产品乙分别在各种设备上需要加工的台时数如下：设备产品ABCD甲2140乙2204已知各设备在计划期内有效台时数分别为12，8，16，12(1台设备工作1小时称为

14、1台时)，该厂每生产一件甲产品可得到利润2元，每生产一件乙产品可得到利润3元，若要获得最大利润，则生产甲产品和乙产品的件数分别为_解析：设在计划期内生产甲产品x件，乙产品y件，则由题意得约束条件为即 作出可行域如图阴影部分所示，目标函数为z2x3y，由图可知当直线z2x3y经过点A时，z有最大值，解得即安排生产甲产品4件，乙产品2件时，利润最大答案：4，2,学生用书P111(单独成册)A基础达标1某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有_种解析：设购买软件x片，磁盘y盒，则画出线性约束条

15、件表示的平面区域，如图所示中的整点部分落在阴影部分(含边界)区域的整点有(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(5，2)，(6，2)共7个整点答案：72某服装制造商有10 m2的棉布料，10 m2的羊毛料和6 m2的丝绸料，做一套男装需要1 m2的棉布料，2 m2的羊毛料和1 m2的丝绸料，做一套女装需要1 m2的棉布料，1 m2的羊毛料和1 m2的丝绸料，做一套男装的纯收益是20元，做一套女装的纯收益是40元，为了使收益达到最大，若生产男装x套，女装y套，利润为z元，则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为_答案：，z20x40y3某学校用800元购买A、B两

16、种教学用品，A种用品每件100元，B种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A、B两种用品应各买的件数分别为_解析：设买A种用品x件，B种用品y件，剩下的钱为z元，则求z800100x160y取得最小值时的整数解(x，y)，用图解法求得整数解为(3，3)答案：3件，3件4某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为_万元解析：设对项目甲投资x万元，对项目乙

17、投资y万元，则目标函数z0.4x0.6y.作出可行域如图所示，由直线斜率的关系知目标函数在A点取最大值，代入得zmax0.4240.63631.2.答案：31.25一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件4元，乙每件7元，甲每件卖出去后可赚1元，乙每件卖出去后可赚1.8元若要使赚的钱最多，那么该商贩购买甲、乙两种商品的件数应分别为_解析：设购买甲商品x件，乙商品y件，所赚钱数为z元，则目标函数为zx1.8y，约束条件为作出可行域如图所示，由zx1.8y，得yx，斜率为，所以，由图可知直线过点A时，z取得最大值又x，yN，所以点A不是最优解点(0，7)，(2，6)，(9，2

18、)都在可行域内，逐一验证可得，当x2，y6时，z取得最大值答案：2，66铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：ab(万吨)c(百万元)A50%13B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9万吨铁，若要求CO2的排放量不超过2万吨，则购买铁矿石的最少费用为_百万元解析：设购买铁矿石A、B分别为x，y万吨，购买铁矿石的费用为z百万元，则目标函数z3x6y，由得记P(1，2)，画出可行域，如图所示当目标函数z3x6y过点P(1，2)时，z取到最小值，且最小值为zmin316215.答案：157某公司用两种机器来生产某种产品，第一种机器每台需花3万日元及

19、人民币50元的维护费；第二种机器每台需花5万日元及人民币20元的维护费第一种机器的年利润每台有9万日元，第二种机器的年利润每台有6万日元，但政府核准的外汇日元为135万元，并且公司的总维护费不得超过1 800元，为了使年利润达到最大值，第一种机器应购买_台，第二种机器应购买_台解析：设第一种机器购买x台，第二种机器购买y台，总的年利润为z万日元，则目标函数为z9x6y.不等式组表示的平面区域如图阴影部分中的整点当直线z9x6y经过点M，即到达l1位置时，z取得最大值，但题目要求x，y均为自然数，故进行调整，调整到与M邻近的整数点(33，7)，此时z9x6y取得最大值，即第一种机器购买33台，第

20、二种机器购买7台获得年利润最大答案：3378某公司计划用不超过50万元的资金投资A，B两个项目，根据市场调查与项目论证，A，B项目的最大利润分别为投资的80%和40%，而最大的亏损额为投资的40%和10%，若要求资金的亏损额不超过8万元，且使利润最大，投资者应投资A项目_万元，投资B项目_万元解析：设投资者对A，B两个项目的投资分别为x，y万元，则由题意得约束条件为即投资者获得的利润设为z，则有z0.8x0.4y.作出可行域如图所示，由图可知，当直线经过点B时，z取得最大值解得B(10，40)所以，当x10，y40时，获得最大利润，最大利润为24万元答案：10409某研究所计划利用“神十一”宇

21、宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A，B，要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，搭载每件产品有关数据如表：产品A(件)产品B(件)研制成本、搭载费用之和(万元)2030计划最大投资金额300万元产品质量(千克)105最大搭载质量110千克预计收益(万元)8060试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？解：设“神十一”宇宙飞船搭载产品A，B的件数分别为x，y，最大收益为z，则目标函数为z80x60y，根据题意可知，约束条件为即作出可行域如图阴影部分中的整点所示，作出直线l：80x60y0，并平移直线l

22、，由图可知，当直线过点M时，z取得最大值，解得M(9，4)，所以zmax809604960，即搭载A产品9件，B产品4件，可使得总预计收益最大，为960万元10某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5 min，生产一个骑兵需7 min，生产一个伞兵需4 min，已知总生产时间不超过10 h若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元(1)用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润W(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100xy，所以利润W5x6y3

23、(100xy)2x3y300.(2)约束条件为整理得目标函数为W2x3y300，作出可行域如图所示初始直线l0：2x3y0，平移初始直线经过点A时，W有最大值，由得最优解为A(50，50)，所以Wmax550(元)故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550元B能力提升1某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过

24、600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为_元解析：由题意，设产品A生产x件，产品B生产y件，利润z2 100x900y，线性约束条件为作出不等式组表示的平面区域如图阴影中的整点部分所示，又由xN，yN，可知取得最大值时的最优解为(60，100)，所以zmax2 10060900100216 000(元)答案：216 0002有一批铜管，长为4 000 cm，要截成500 cm和600 cm两种毛坯料，且这两种毛坯料数量之比大于，若要截得数量最多，截取方案种数为_解析：设截得500 cm的毛坯料x根，截得600 cm的毛坯料y根，由题意，线性约束条件为即作出可行域如图所示，目

25、标函数为zxy.令z0, 得直线l：xy0，则直线zxy表示一族与直线l平行的直线由图可知，当直线zxy经过点B(8，0)时，z最大，此时xy8，但x，y均为正整数，故(8，0)不是最优解平移直线zxy，令xy7在可行域内逐一验证，可知点(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)均为最优解，故有5种截取方案答案：53某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有

26、关数据如下表：单位产品所需资金(百元)月资金供应量(百元)空调机洗衣机成本3020300劳动力(工资)510110单位利润68试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？解：设生产空调机x台，洗衣机y台，则30x20y300，5x10y110，x，yN，即利润z6x8y.作出可行域如图阴影部分所示由图可知当直线6x8yz经过可行域内点A时，z取最大值，由得 此时zmax648996(百元)故生产空调机4台，洗衣机9台时，可获最大利润9 600元4(选做题)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨

27、数如下表所示：原料肥料ABC甲483乙5510现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨在此基础上生产甲、乙两种肥料已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润解：(1)由已知，x，y满足的数学关系式为设二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分(2)设利润为z万元，则目标函数为z2x3y.考虑z2x3y，将它变形为yx， 这是斜率为，随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大又因为x，y满足约束条件，所以由图2可知，当直线z2x3y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大解方程组得点M的坐标为(20，24)所以zmax220324112.即生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元