最新广东省华附省实深中广雅四校届高三上学期期末联考数学理试题及答案可编辑优秀名师资料.docx

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最新广东省华附省实深中广雅四校届高三上学期期末联考数学理试题及答案可编辑优秀名师资料

广东省华附、省实、深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考数学理试题及答案（可编辑）

2013届高三上学期期末华附、省实、广雅、深中四校联考数学（理科）

命题学校:

华南师范大学附属中学命

本试卷分选择题和非选择题两部分,共4页,满分150分,考试用时120分钟。

注意事项:

1.考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封线内。

2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案;不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卷和答题卡一并收回。

第一部分选择题（共40分）

选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的）

1.设集合P=3,log2a,Q=a,b,若P?

Q=0,则P?

Q

A.3,0B.3,0,1C.3,0,2D.3,0,1,2

2.复数-i+=

A.-2iB.iC.0D.2i

3.在正项等比数列an中,a1和a19为方程x2-10x+16=0的两根,则a8?

a10?

a12等于

A.16B.32C.64D.256

4.若平面α,β满足α?

β,α?

β=l,P?

α,Pl,则下列命题中是假命题的为

A.过点P垂直于平面α的直线平行于平面β

B.过点P垂直于直线l的直线在平面α内

C.过点P垂直于平面β的直线在平面α内

D.过点P在平面α内作垂直于l的直线必垂直于平面β

5.观察x2′=2x,x4′=4x3,cosx′=-sinx,由归纳推理可得:

若定义在R上的函数fx满足f-x=fx,记gx为fx的导函数,则g-x=

A.fxB.-fxC.gxD.-gx

6.给出下述四个命题中:

?

三角形中至少有一个内角不小于60?

;

?

四面体的三组对棱都是异面直线;

?

闭区间[a,b]上的单调函数fx至多有一个零点;

?

当k0时,方程x2+ky21的曲线是椭圆.其中正确的命题的个数有

A.1B.2C.3D.4

7.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为ca、b、c?

0,1,已知他投篮一次得分的均值为2,则+的最小值为

A.B.C.D.

8.定义域为R的函数fx,若关于x的方程f2x+bfx+c0

恰有5个不同的实数解x1,x2,x3,x4,x5,则fx1+x2+x3+x4+x5

等于

A.lg2B.2lg2C.3lg2D.4lg2

第二部分非选择题（110分）

二、填空题:

（本大题共6小题,每小题5分,共30分）.

（一）必做题（9~13题）:

9.从0,1,2,3,4这5个数字中,任取3个组成三位数,其中奇数的个数是*****;

10.执行图中的算法后,若输出的y值大于10,则输入x的取值范围是*****;

11.已知e1、e2、e3为不共面向量,若a=e1+e2+e3,b=e1-e2+e3,c=e1+e2-e3,d=e1+2e2+3e3,且d=xa+yb+zc,则x、y、z分别为*****.

12.函数ytanx-1cos2x的最大值是*****.

13.已知正整数对按如下规律排成一

列:

1,1,1,2,2,1,1,3,2,2,3,1,1,4,2,3,3,2,4,1,„,则第60个数对是*****.

（二）选做题（14~15题,考生只能从中选做一题,两题都选的只计算14题的得分.）

14.（坐标系与参数方程）在极坐标中,圆4cos的圆心C到直线sin+2的距离为*****15.（几何证明选讲）如图所示,?

O上一点C在直径AB上的射影为D,CD4,BD8,则?

O的半径等于*****三.解答题:

（本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16.（本题满分12分）

已知数列an中,a12,an+1an+cn（c是常数,n1,2,3,„„）,且a1,a2,a3成公比不为的等比数列.

（?

）求c的值;

（?

）求an的通项公式.

17.（本题满分12分）

已知?

ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,向量cos,sin,

cos,-sin,且与的夹角为.

（?

）求角C的值;

（?

）已知c3,?

ABC的面积S,求a+b的值.

ks5u

18.（本题满分14分）

某省示范高中为了推进新课程改革,满足不同层次学生的需求,

决定从高一年级开始,在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座,每位有兴趣的同学可以在规定期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座,也可以放弃任何一门科目的辅导讲座.规定:

各科达到预先设定的人数时称为满座,否则称为不满座统计数据表明,各学科讲座各天的满座的概率如下表:

信息技术生物化学物理数学

周一

周三

周五

?

求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率;

?

设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望.

19.（本题满分14分）

如图,在三棱锥V-ABC中,VC?

底面ABC,AC?

BC,D是AB的中点,且ACBCa,?

VDC0

（?

）求证:

平面VAB?

平面VCD;

（?

）当角变化时,求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围.ks5u

20.（本题满分14分）

已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点D0,为圆心,1为半径的圆相切,又知双曲线C的一个焦

点与D关于直线yx对称.

（?

）求双曲线C的方程;

（?

）设直线ymx+1与双曲线C的左支交于A,B两点,另一直线经过

M（-2,0）及AB的中点,求直线在y轴上的截距b的取值范围;

（?

）若Q是双曲线C上的任一点,F1F2为双曲线C的左,右两个焦点,从F1引?

F1QF2的平分线的垂线,垂足为N,试求点N的轨迹方程.

21.（本题满分14分）

已知函数fx是在（0,+?

）上每一点处可导的函数,若>fx在（0,+）上恒成立.

（?

）求证:

函数gx在（0,+?

）上单调递增;

（?

）当x1>0,x2>0时,证明:

fx1+fx2

（?

）已知不等式ln1+x-1且x?

0时恒成立,证明:

ln22+ln32+ln42+„+lnn+12nN+.

2013届高三上学期期末华附、省实、广雅、深中四校联考理科数学答案

一、选择题:

题号12345678

答案BACBDCDC

1.解:

由P?

Q=0知,0P且0Q.由0P,得=0a1;由0Q得b0.故P?

Q=3,0,1.选B.

2.解:

-i+=-i-i=-2i.选A.ks5u

3.解:

由已知有a1?

a19=16,又a1?

a19=a102,?

在正项等比数列中,a10=4.

?

a8?

a10?

a12=a103=64.选C.

4.解:

对于A,由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线,因此平行于平面β,因此A正确.根据面面垂直的性质定理知,选项C、D正确.选B.

5.解:

由所给函数及其导数知,偶函数的导函数为奇函数,因此当fx是偶函数时,其导函数应为奇函数,故g-x=-gx.选D.

6.解:

当k1时,曲线是圆,故D错误.其余三个命题都是正确的.选C.

7.解:

由已知得,3a+2b+0×c=2,即3a+2b=2,其中0a,0b1.

又+==3+++?

+2=,

当且仅当=,即a=2b时取“等号”,又3a+2b=2,即当a=,b=时,+的最小值为,故选D.

8.解:

因方程方程恰有5个不同的实数解,故x2应是其中的一个根,又f2=1,故1+b+c0c-b+1,于是有,[fx-1][fx+（1+b）]0

[lg|x-2|-1][lg|x-2|+（1+b）]0四个根为-8,12,=f10=3lg2,选C.

二、填空题:

9.答案:

18

解:

从1,3中取一个排个位,故排个位有种方法;排百位不能是0,可以从另外3个数中取一个,有种方法;排十位有种方法。

故所求奇数

个数有××=18个.

10.答案:

（-3,1）?

（2,+）

解:

由题y,因此或

解之得:

x2或-3x1,所以解集为-3,1?

2,+11.答案:

-,-1

解:

由d=xa+yb+zc得e1+2e2+3e3=x+y+ze1+x-y+ze2+x+y-ze3,

?

解得:

故x、y、z分别为,-,-1.

12.答案:

ks5u

解:

ysinxcosx-cos2xsin2x-cos2x-sin2x--,x?

k+.当xk+kZ时,y.

13.答案:

5,7,

解:

按规律分组:

第一组1,1;第二组1,2,2,1;第三组1,3,2,2,3,1;„„则前10组共有=55个有序实数对.

第60项应在第11组中,即1,11,2,10,3,9,4,8,5,7,„,11,1中的第5个,因此第60项为5,7.

14.答案:

解:

在直角坐标系中,圆:

x2+y24x,圆心C2,0,直线:

x+y4,所以,所求为.

15.答案:

5

解:

由题:

?

ACD?

?

CDB,得CD2AD?

BD,所以AD2,AB10r5三.解答题:

16.解:

（I）a12,a22+c,a32+3c,因为a1,a2,a3成等比数列,

所以2+c222+3c,解得c0或c2.

当c0时,a1a2a3,不符合题意舍去,故c2.（II）当n?

2时,由于

a2-a12,

a3-a22×2,

an-an-12n-1,

以上n-1个式叠加,得an-a12[1+2+„+n-1]nn-1.an2+

nn-1n2-n+2n2,3,„„.

当n1时,上式也成立,故ann2-n+2n1,2,3,„17.解:

（?

）?

?

||||?

cos,||||1.

?

coscos+sin-sincos即cosCcos,

又?

C0,?

C.

（?

）由c2a2+b2-2abcosC得a2+b2-ab9„„„„„„?

由S?

absinC得ab„„„„„„?

由?

?

得a+b2a2+b2+2ab9+3ab25、

?

a+b5.

18.解:

?

设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件

A,

则PA==.

?

ξ的可能取值为0,1,2,3,4,5.Pξ=0=4×=;

Pξ=1=C××3×+4×=;

Pξ=2=C×2×2×+C××3×=;

Pξ=3=C×3××+C×2×2×=;

Pξ=4=4×+C×3××=;

Pξ=5=4×=.

所以,随机变量ξ的分布列如下:

ξ012345

P

故Eξ=0×+1×+2×+3×+4×+5×=.19.解法1:

（?

）?

ACBCa,?

?

ACB是等腰三角形,

又D是AB的中点,

?

CD?

AB,又VC?

底面ABC.?

VC?

AB.因VC,CD平面VCD,?

AB?

平面VCD.又AB平面VAB,平面VAB?

平面VCD.

（?

）过点C在平面VCD内作CH?

VD于H,则由（?

）知CH?

平面VAB.

连接BH,BH是CB在平面VAB上的射影,于是?

CBH就是直线BC与平面VAB所成的角.在Rt?

CHD中,CHasin;

设?

CBH,在Rt?

BHC中,CHasin,?

sinsin,?

0,ks5u?

0sin1,0sin.

又0?

?

?

0.

即直线与平面所成角的取值范围为0,.

解法2:

（?

）以CA,CB,CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系,则

C0,0,0,Aa,0,0,B0,a,0,D,,0,V0,0,atan,

于是,,,-atan,,,0,-a,a,0.从而?

-a,a,0?

,0-a2+a2+00,即?

?

AB?

CD.

同理?

-a,a,0?

,-atan-a2+a2+00,即?

?

AB?

VD.又CD?

VDD,AB?

平面VCD.又AB平面VAB.平面VAB?

平面VCD.

（?

）设直线BC与平面VAB所成的角为,平面VAB的一个法向量

为nx,y,z,

则由n?

0,n?

0.

得

可取n1,1,,又0,-a,0,

于是sin||sin,

?

0,?

0sin1,0sin.

又0?

?

0.

即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为0,.20.解:

（?

）设双曲线C的渐近线方程为ykx,则kx-y0

?

该直线与圆x2+y-21相切,有1k?

1.

?

双曲线C的两条渐近线方程为y?

x,故设双曲线C的方程

为.

易求得双曲线C的一个焦点为,0,?

2a22,a21.

?

双曲线C的方程为x2-y21.

（?

）由得1-m2x2-2mx-20.

令fx1-m2x2-2mx-2

直线与双曲线左支交于两点,等价于方程fx0在-,0上有两个

不等实根.

因此解得1m.

又AB中点为,,ks5u

?

直线l的方程为yx+2.

令x0,得b.

?

1m,?

-2m-2+-2+,1,

?

b-,-2-?

2,+.

（?

）若Q在双曲线的右支上,则延长到T,使,

若Q在双曲线的左支上,则在QF2上取一点T,使|QT||QF1|.

根据双曲线的定义|TF2|2,所以点T在以F2,0为圆心,2为半

径的圆上,即点T的轨迹方程是

x-2+y24x?

0?

由于点N是线段F1T的中点,设Nx,y,TxT,yT.

则,即.

代入?

并整理得点N的轨迹方程为x2+y21.x?

-

或者用几何意义得到|NO||F2T|1,得点N的轨迹方程为

x2+y21.„„

21.证明:

（1）由gx,对gx求导知g’x

由>fx可知:

>0在（0,+）上恒成立.

从而gx在0,+上是单调增函数.

（2）由

（1）知gx在0,+上是单调增函数,

（1）与圆相关的概念：

当x1>0,x2>0时,,,

于是fx1

fx1+fx2

（2）可知:

gx在0,+上是单调增函数,fx1+x2fx1+fx2

x10,x20恒成立

由数学归纳法易证:

当xi>0i1,2,3,„,n时,

156.4—6.10总复习4P84-90有fx1+fx2+fx3+„+fxn

2恒成立.构造fxxlnx,知-fx=xlnx+1-xlnxx0符合条件,

则当xi>0i1,2,3,„,n时

（1）圆周角：

:

顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.有x1lnx1+x2lnx2+„+xnlnxn

2）（*）恒成立.

令xn,记Snx1+x2+„+xn++„+,

则Sn<++„+1-+-+„+-1-,

6、因材施教，重视基础知识的掌握。

Sn>+„+-+-+„+--

x1+x2+„+xnlnx1+x2+„+xnx1+x2+„+xnln1-

描述性定义：

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆；固定的端点O叫做圆心；线段OA叫做半径；以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”-x1+x2+„+xn?

ln1+x

（6）三角形的内切圆、内心.<---**

由（**）及（*）可知:

ks5u

5.方位角：

从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。

如图3，OA、OB、OC的方位角分别为45°、135°、225°。

ln+ln+„+ln-.

二次函数配方成则抛物线的于是ln22+ln32+ln42+„+lnn+12.

（3）相离:

直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.