初中数学相似与反比例组卷.docx
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初中数学相似与反比例组卷
2014年10月17日初中数学相似与反比例组卷
一.选择题(共3小题)
1.(2014•温州)如图,矩形ABCD的顶点A在第一象限,AB∥x轴,AD∥y轴,且对角线的交点与原点O重合.在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中,若矩形ABCD的周长始终保持不变,则经过动点A的反比例函数y=
(k≠0)中k的值的变化情况是( )
A.
一直增大
B.
一直减小
C.
先增大后减小
D.
先减小后增大
2.(2013•绍兴)教室里的饮水机接通电源就进入自动程序,开机加热时每分钟上升10℃,加热到100℃,停止加热,水温开始下降,此时水温(℃)与开机后用时(min)成反比例关系.直至水温降至30℃,饮水机关机.饮水机关机后即刻自动开机,重复上述自动程序.若在水温为30℃时,接通电源后,水温y(℃)和时间(min)的关系如图,为了在上午第一节下课时(8:
45)能喝到不超过50℃的水,则接通电源的时间可以是当天上午的( )
A.
7:
20
B.
7:
30
C.
7:
45
D.
7:
50
3.(2007•宁波)如图,在斜坡的顶部有一铁塔AB,B是CD的中点,CD是水平的,在阳光的照射下,塔影DE留在坡面上.已知铁塔底座宽CD=12m,塔影长DE=18m,小明和小华的身高都是1.6m,同一时刻,小明站在点E处,影子在坡面上,小华站在平地上,影子也在平地上,两人的影长分别为2m和1m,那么塔高AB为( )
A.
24m
B.
22m
C.
20m
D.
18m
二.填空题(共1小题)
4.(2014•玉林)如图,OABC是平行四边形,对角线OB在轴正半轴上,位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y=
和y=
的一支上,分别过点A、C作x轴的垂线,垂足分别为M和N,则有以下的结论:
①
=
;②阴影部分面积是
(k1+k2);③当∠AOC=90°时,|k1|=|k2|;
④若OABC是菱形,则两双曲线既关于x轴对称,也关于y轴对称.
其中正确的结论是 _________ (把所有正确的结论的序号都填上).
三.解答题(共26小题)
5.(2005•河北)某食品零售店为仪器厂代销一种面包,未售出的面包可退回厂家,以统计销售情况发现,当这种面包的单价定为7角时,每天卖出160个.在此基础上,这种面包的单价每提高1角时,该零售店每天就会少卖出20个.考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角.
设这种面包的单价为x(角),零售店每天销售这种面包所获得的利润为y(角).
(1)用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数;
(2)求y与x之间的函数关系式;
(3)当面包单价定为多少时,该零售店每天销售这种面包获得的利润最大?
最大利润为多少?
6.(2004•芜湖)在钝角△ABC中,AD⊥BC,垂足为D点,且AD与DC的长度为x2﹣7x+12=0方程的两个根,⊙O是△ABC的外接圆,如果BD长为a(a>0).求△ABC的外接圆⊙O的面积.
7.(2005•广元)如图,已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,交BC的延长线于点D,延长DA交△ABC的外接圆于点F,连接FB、FC.
(1)求证:
FB=FC;
(2)求证:
FB2=FA•FD;
(3)若AB是△ABC外接圆的直径,∠EAC=120°,BC=6cm,求AD的长.
8.(2014•广州)已知一次函数y=kx﹣6的图象与反比例函数y=﹣
的图象交于A、B两点,点A的横坐标为2.
(1)求k的值和点A的坐标;
(2)判断点B所在象限,并说明理由.
9.某单位为了响应政府发出的“全民健身”的号召,打算在长和宽分别为20米和16米的矩形大厅内修建一个40平方米的矩形健身房ABCD,该健身房的四面墙壁中有两面沿用大厅的旧墙壁(如图为平面示意图),且每面旧墙壁上所沿用的旧墙壁长度不得超过其长度的一半,己知装修旧墙壁的费用为20元/平方米,新建(含装修)墙壁的费用为80元/平方米,设健身房高3米,健身房AB的长为x米,BC的长为y米,修建健身房墙壁的总投资为w元.
(1)求y与x的函数关系式,并写出自变量x的范围.
(2)求w与x的函数关系,并求出当所建健身房AB长为8米时总投资为多少元?
10.(2013•济宁)如图1,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,P是反比例函数y=
(x>0)图象上任意一点,以P为圆心,PO为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B.
(1)求证:
线段AB为⊙P的直径;
(2)求△AOB的面积;
(3)如图2,Q是反比例函数y=
(x>0)图象上异于点P的另一点,以Q为圆心,QO为半径画圆与坐标轴分别交于点C、D.
求证:
DO•OC=BO•OA.
11.(2014•长沙)在平面直角坐标系中,我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”,例如点(﹣1,﹣1),(0,0),(
,
),…都是“梦之点”,显然,这样的“梦之点”有无数个.
(1)若点P(2,m)是反比例函数y=
(n为常数,n≠0)的图象上的“梦之点”,求这个反比例函数的解析式;
(2)函数y=3kx+s﹣1(k,s是常数)的图象上存在“梦之点”吗?
若存在,请求出“梦之点”的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若二次函数y=ax2+bx+1(a,b是常数,a>0)的图象上存在两个不同的“梦之点”A(x1,x1),B(x2,x2),且满足﹣2<x1<2,|x1﹣x2|=2,令t=b2﹣2b+
,试求出t的取值范围.
12.(2013•长沙)设a、b是任意两个不等实数,我们规定:
满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间,表示为[a,b].对于一个函数,如果它的自变量x与函数值y满足:
当m≤x≤n时,有m≤y≤n,我们就称此函数是闭区间[m,n]上的“闭函数”.
(1)反比例函数y=
是闭区间[1,2013]上的“闭函数”吗?
请判断并说明理由;
(2)若一次函数y=kx+b(k≠0)是闭区间[m,n]上的“闭函数”,求此函数的解析式;
(3)若二次函数y=
x2﹣
x﹣
是闭区间[a,b]上的“闭函数”,求实数a,b的值.
13.将一张长、宽之比为
的矩形纸ABCD依次不断对折,可得到的矩形纸BCFE,AEML,GMFH,LGPN.
(1)矩形BCFE,AEML,GMFH,LGPN,长和宽的比变了吗?
(2)在这些矩形中,有成比例的线段吗?
(3)你认为这些大小不同的矩形相似吗?
14.(2012•河南)类比、转化、从特殊到一般等思想方法,在数学学习和研究中经常用到,如下是一个案例,请补充完整.
原题:
如图1,在平行四边形ABCD中,点E是BC的中点,点F是线段AE上一点,BF的延长线交射线CD于点G.若
=3,求
的值.
(1)尝试探究
在图1中,过点E作EH∥AB交BG于点H,则AB和EH的数量关系是 _________ ,CG和EH的数量关系是 _________ ,
的值是 _________ .
(2)类比延伸
如图2,在原题的条件下,若
=m(m>0),则
的值是 _________ (用含有m的代数式表示),试写出解答过程.
(3)拓展迁移
如图3,梯形ABCD中,DC∥AB,点E是BC的延长线上的一点,AE和BD相交于点F.若
=a,
=b,(a>0,b>0)
,则
的值是 _________ (用含a、b的代数式表示).
15.类比、转化、分类讨论等思想方法和数学基本图形在数学学习和解题中经常用到,如下是一个案例,请补充完整.
原题:
如图1,在⊙O中,MN是直径,AB⊥MN于点B,CD⊥MN于点D,∠AOC=90°,AB=3,CD=4,则BD= _________ .
(1)尝试探究:
如图2,在⊙O中,MN是直径,AB⊥MN于点B,CD⊥MN于点D,点E在MN上,∠AEC=90°,AB=3,BD=8,BE:
DE=1:
3,则CD= _________ (试写出解答过程).
(2)类比延伸:
利用图3,再探究,当A、C两点分别在直径MN两侧,且AB≠CD,AB⊥MN于点B,CD⊥MN于点D,∠AOC=90°时,则线段AB、CD、BD满足的数量关系为 _________ .
(3)拓展迁移:
如图4,在平面直角坐标系中,抛物线经过A(m,6),B(n,1)两点(其中0<m<3),且以y轴为对称轴,且∠AOB=90°,①求mn的值;②当S△AOB=10时,求抛物线的解析式.
16.(2012•武汉)已知△ABC中,AB=
,AC=
,BC=6
(1)如图1,点M为AB的中点,在线段AC上取点N,使△AMN与△ABC相似,求线段MN的长;
(2)如图2,是由100个边长为1的小正方形组成的10×10的正方形网格,设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形.
①请你在所给的网格中画出格点△A1B1C1与△ABC全等(画出一个即可,不需证明)
②试直接写出所给的网格中与△ABC相似且面积最大的格点三角形的个数,并画出其中一个(不需证明).
17.(2014•滨州)如图,矩形ABCD中,AB=20,BC=10,点P为AB边上一动点,DP交AC于点Q.
(1)求证:
△APQ∽△CDQ;
(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动,移动时间为t秒.
①当t为何值时,DP⊥AC?
②设S△APQ+S△DCQ=y,写出y与t之间的函数解析式,并探究P点运动到第几秒到第几秒之间时,y取得最小值.
18.(2014•泰安)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,AC与BD交于点E,∠ADB=∠ACB.
(1)求证:
=
;
(2)若AB⊥AC,AE:
EC=1:
2,F是BC中点,求证:
四边形ABFD是菱形.
19.(2013•泰安)如图,四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E为AB的中点,
(1)求证:
AC2=AB•AD;
(2)求证:
CE∥AD;
(3)若AD=4,AB=6,求
的值.
20.(2014•呼和浩特)如图,已知反比例函数y=
(x>0,k是常数)的图象经过点A(1,4),点B(m,n),其中m>1,AM⊥x轴,垂足为M,BN⊥y轴,垂足为N,AM与BN的交点为C.
(1)写出反比例函数解析式;
(2)求证:
△ACB∽△NOM;
(3)若△ACB与△NOM的相似比为2,求出B点的坐标及AB所在直线的解析式.
21.(2014•呼和浩特)如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C作⊙O的切线CM.
(1)求证:
∠ACM=∠ABC;
(2)延长BC到D,使BC=CD,连接AD与CM交于点E,若⊙O的半径为3,ED=2,求△ACE的外接圆的半径.
22.(2014•安顺)如图,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,弦ED⊥AB于点F,交BC于点G,过点C的直线与ED的延长线交于点P,PC=PG.
(1)求证:
PC是⊙O的切线;
(2)当点C在劣弧AD上运动时,其他条件不变,若BG2=BF•BO.求证:
点G是BC的中点;
(3)在满足
(2)的条件下,AB=10,ED=4
,求BG的长.
23.如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=
,AD=2.问当AB的长为多少时,这两个直角三角形相似.
24.(2012•陕西)如图,正三角形ABC的边长为3+
.
(1)如图①,正方形EFPN的顶点E、F在边AB上,顶点N在边AC上,在正三角形ABC及其内部,以点A为位似中心,作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′,且使正方形E′F′P′N′的面积最大(不要求写作法);
(2)求
(1)中作出的正方形E′F′P′N′的边长;
(3)如图②,在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH,使得DE、EF在边AB上,点P、N分别在边CB、CA上,求这两个正方形面积和的最大值和最小值,并说明理由.
25.(2010•南通)如图,在矩形ABCD中,AB=m(m是大于0的常数),BC=8,E为线段BC上的动点(不与B、C重合).连接DE,作EF⊥DE,EF与射线BA交于点F,设CE=x,BF=y.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)若m=8,求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?
(3)若y=
,要使△DEF为等腰三角形,m的值应为多少?
26.(2013•汕头)有一副直角三角板,在三角板ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=6,在三角板DEF中,∠FDE=90°,DF=4,DE=
.将这副直角三角板按如图1所示位置摆放,点B与点F重合,直角边BA与FD在同一条直线上.现固定三角板ABC,将三角板DEF沿射线BA方向平行移动,当点F运动到点A时停止运动.
(1)如图2,当三角板DEF运动到点D到点A重合时,设EF与BC交于点M,则∠EMC= _________ 度;
(2)如图3,当三角板DEF运动过程中,当EF经过点C时,求FC的长;
(3)在三角板DEF运动过程中,设BF=x,两块三角板重叠部分的面积为y,求y与x的函数解析式,并求出对应的x取值范围.
27.(2013•永州)如图,已知AB⊥BD,CD⊥BD
(1)若AB=9,CD=4,BD=10,请问在BD上是否存在P点,使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似?
若存在,求BP的长;若不存在,请说明理由;
(2)若AB=9,CD=4,BD=12,请问在BD上存在多少个P点,使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似?
并求BP的长;
(3)若AB=9,CD=4,BD=15,请问在BD上存在多少个P点,使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似?
并求BP的长;
(4)若AB=m,CD=n,BD=l,请问m,n,l满足什么关系时,存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点?
两个P点?
三个P点?
28.(2014•昆明)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx﹣3(a≠0)与x轴交于点A(﹣2,0)、B(4,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P从A点出发,在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动,同时点Q从B点出发,在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动,其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动,当△PBQ存在时,求运动多少秒使△PBQ的面积最大,最大面积是多少?
(3)当△PBQ的面积最大时,在BC下方的抛物线上存在点K,使S△CBK:
S△PBQ=5:
2,求K点坐标.
29.(2014•东营)如图,直线y=2x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,把△AOB沿y轴翻折,点A落到点C,过点B的抛物线y=﹣x2+bx+c与直线BC交于点D(3,﹣4).
(1)求直线BD和抛物线的解析式;
(2)在第一象限内的抛物线上,是否存在一点M,作MN垂直于x轴,垂足为点N,使得以M、O、N为顶点的三角形与△BOC相似?
若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在直线BD上方的抛物线上有一动点P,过点P作PH垂直于x轴,交直线BD于点H,当四边形BOHP是平行四边形时,试求动点P的坐标.
30.(2013•绍兴)在△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC于点D,点E为AB的中点,EC与AD交于点G,点F在BC上.
(1)如图1,AC:
AB=1:
2,EF⊥CB,求证:
EF=CD.
(2)如图2,AC:
AB=1:
,EF⊥CE,求EF:
EG的值.