初中数学相似与反比例组卷.docx

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初中数学相似与反比例组卷

2014年10月17日初中数学相似与反比例组卷

一．选择题（共3小题）

1．（2014•温州）如图，矩形ABCD的顶点A在第一象限，AB∥x轴，AD∥y轴，且对角线的交点与原点O重合．在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中，若矩形ABCD的周长始终保持不变，则经过动点A的反比例函数y=

（k≠0）中k的值的变化情况是（　　）

A．

一直增大

B．

一直减小

C．

先增大后减小

D．

先减小后增大

2．（2013•绍兴）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间（min）的关系如图，为了在上午第一节下课时（8：

45）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的（　　）

A．

7：

20

B．

7：

30

C．

7：

45

D．

7：

50

3．（2007•宁波）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12m，塔影长DE=18m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（　　）

A．

24m

B．

22m

C．

20m

D．

18m

二．填空题（共1小题）

4．（2014•玉林）如图，OABC是平行四边形，对角线OB在轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y=

和y=

的一支上，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为M和N，则有以下的结论：

①

=

；②阴影部分面积是

（k1+k2）；③当∠AOC=90°时，|k1|=|k2|；

④若OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．

其中正确的结论是　_________　（把所有正确的结论的序号都填上）．

三．解答题（共26小题）

5．（2005•河北）某食品零售店为仪器厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，以统计销售情况发现，当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个．在此基础上，这种面包的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个．考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角．

设这种面包的单价为x（角），零售店每天销售这种面包所获得的利润为y（角）．

（1）用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数；

（2）求y与x之间的函数关系式；

（3）当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？

最大利润为多少？

6．（2004•芜湖）在钝角△ABC中，AD⊥BC，垂足为D点，且AD与DC的长度为x2﹣7x+12=0方程的两个根，⊙O是△ABC的外接圆，如果BD长为a（a＞0）．求△ABC的外接圆⊙O的面积．

7．（2005•广元）如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB、FC．

（1）求证：

FB=FC；

（2）求证：

FB2=FA•FD；

（3）若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC=120°，BC=6cm，求AD的长．

8．（2014•广州）已知一次函数y=kx﹣6的图象与反比例函数y=﹣

的图象交于A、B两点，点A的横坐标为2．

（1）求k的值和点A的坐标；

（2）判断点B所在象限，并说明理由．

9．某单位为了响应政府发出的“全民健身”的号召，打算在长和宽分别为20米和16米的矩形大厅内修建一个40平方米的矩形健身房ABCD，该健身房的四面墙壁中有两面沿用大厅的旧墙壁（如图为平面示意图），且每面旧墙壁上所沿用的旧墙壁长度不得超过其长度的一半，己知装修旧墙壁的费用为20元/平方米，新建（含装修）墙壁的费用为80元/平方米，设健身房高3米，健身房AB的长为x米，BC的长为y米，修建健身房墙壁的总投资为w元．

（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的范围．

（2）求w与x的函数关系，并求出当所建健身房AB长为8米时总投资为多少元？

10．（2013•济宁）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y=

（x＞0）图象上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B．

（1）求证：

线段AB为⊙P的直径；

（2）求△AOB的面积；

（3）如图2，Q是反比例函数y=

（x＞0）图象上异于点P的另一点，以Q为圆心，QO为半径画圆与坐标轴分别交于点C、D．

求证：

DO•OC=BO•OA．

11．（2014•长沙）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），（

，

），…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个．

（1）若点P（2，m）是反比例函数y=

（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；

（2）函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”吗？

若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若二次函数y=ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2，令t=b2﹣2b+

，试求出t的取值范围．

12．（2013•长沙）设a、b是任意两个不等实数，我们规定：

满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：

当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．

（1）反比例函数y=

是闭区间[1，2013]上的“闭函数”吗？

请判断并说明理由；

（2）若一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式；

（3）若二次函数y=

x2﹣

x﹣

是闭区间[a，b]上的“闭函数”，求实数a，b的值．

13．将一张长、宽之比为

的矩形纸ABCD依次不断对折，可得到的矩形纸BCFE，AEML，GMFH，LGPN．

（1）矩形BCFE，AEML，GMFH，LGPN，长和宽的比变了吗？

（2）在这些矩形中，有成比例的线段吗？

（3）你认为这些大小不同的矩形相似吗？

14．（2012•河南）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．

原题：

如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G．若

=3，求

的值．

（1）尝试探究

在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是　_________　，CG和EH的数量关系是　_________　，

的值是　_________　．

（2）类比延伸

如图2，在原题的条件下，若

=m（m＞0），则

的值是　_________　（用含有m的代数式表示），试写出解答过程．

（3）拓展迁移

如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC的延长线上的一点，AE和BD相交于点F．若

=a，

=b，（a＞0，b＞0）

，则

的值是　_________　（用含a、b的代数式表示）．

15．类比、转化、分类讨论等思想方法和数学基本图形在数学学习和解题中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．

原题：

如图1，在⊙O中，MN是直径，AB⊥MN于点B，CD⊥MN于点D，∠AOC=90°，AB=3，CD=4，则BD=　_________　．

（1）尝试探究：

如图2，在⊙O中，MN是直径，AB⊥MN于点B，CD⊥MN于点D，点E在MN上，∠AEC=90°，AB=3，BD=8，BE：

DE=1：

3，则CD=　_________　（试写出解答过程）．

（2）类比延伸：

利用图3，再探究，当A、C两点分别在直径MN两侧，且AB≠CD，AB⊥MN于点B，CD⊥MN于点D，∠AOC=90°时，则线段AB、CD、BD满足的数量关系为　_________　．

（3）拓展迁移：

如图4，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（m，6），B（n，1）两点（其中0＜m＜3），且以y轴为对称轴，且∠AOB=90°，①求mn的值；②当S△AOB=10时，求抛物线的解析式．

16．（2012•武汉）已知△ABC中，AB=

，AC=

，BC=6

（1）如图1，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求线段MN的长；

（2）如图2，是由100个边长为1的小正方形组成的10×10的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形．

①请你在所给的网格中画出格点△A1B1C1与△ABC全等（画出一个即可，不需证明）

②试直接写出所给的网格中与△ABC相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中一个（不需证明）．

17．（2014•滨州）如图，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q．

（1）求证：

△APQ∽△CDQ；

（2）P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．

①当t为何值时，DP⊥AC？

②设S△APQ+S△DCQ=y，写出y与t之间的函数解析式，并探究P点运动到第几秒到第几秒之间时，y取得最小值．

18．（2014•泰安）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点E，∠ADB=∠ACB．

（1）求证：

=

；

（2）若AB⊥AC，AE：

EC=1：

2，F是BC中点，求证：

四边形ABFD是菱形．

19．（2013•泰安）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，

（1）求证：

AC2=AB•AD；

（2）求证：

CE∥AD；

（3）若AD=4，AB=6，求

的值．

20．（2014•呼和浩特）如图，已知反比例函数y=

（x＞0，k是常数）的图象经过点A（1，4），点B（m，n），其中m＞1，AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C．

（1）写出反比例函数解析式；

（2）求证：

△ACB∽△NOM；

（3）若△ACB与△NOM的相似比为2，求出B点的坐标及AB所在直线的解析式．

21．（2014•呼和浩特）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM．

（1）求证：

∠ACM=∠ABC；

（2）延长BC到D，使BC=CD，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为3，ED=2，求△ACE的外接圆的半径．

22．（2014•安顺）如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C的直线与ED的延长线交于点P，PC=PG．

（1）求证：

PC是⊙O的切线；

（2）当点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若BG2=BF•BO．求证：

点G是BC的中点；

（3）在满足

（2）的条件下，AB=10，ED=4

，求BG的长．

23．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=

，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．

24．（2012•陕西）如图，正三角形ABC的边长为3+

．

（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不要求写作法）；

（2）求

（1）中作出的正方形E′F′P′N′的边长；

（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．

25．（2010•南通）如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF=y．

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

（3）若y=

，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？

26．（2013•汕头）有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=

．将这副直角三角板按如图1所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上．现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动．

（1）如图2，当三角板DEF运动到点D到点A重合时，设EF与BC交于点M，则∠EMC=　_________　度；

（2）如图3，当三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长；

（3）在三角板DEF运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式，并求出对应的x取值范围．

27．（2013•永州）如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD

（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？

若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由；

（2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？

并求BP的长；

（3）若AB=9，CD=4，BD=15，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？

并求BP的长；

（4）若AB=m，CD=n，BD=l，请问m，n，l满足什么关系时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点？

两个P点？

三个P点？

28．（2014•昆明）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？

（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：

S△PBQ=5：

2，求K点坐标．

29．（2014•东营）如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y=﹣x2+bx+c与直线BC交于点D（3，﹣4）．

（1）求直线BD和抛物线的解析式；

（2）在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M、O、N为顶点的三角形与△BOC相似？

若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在直线BD上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H，当四边形BOHP是平行四边形时，试求动点P的坐标．

30．（2013•绍兴）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．

（1）如图1，AC：

AB=1：

2，EF⊥CB，求证：

EF=CD．

（2）如图2，AC：

AB=1：

，EF⊥CE，求EF：

EG的值．