关于生物心率与体重之间的关系成立初等模型.docx
《关于生物心率与体重之间的关系成立初等模型.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《关于生物心率与体重之间的关系成立初等模型.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
关于生物心率与体重之间的关系成立初等模型
《数学模型》课程设计
专业：
数学与应用数学
姓名：
****
学号：
******
指导教师：
****
日期：
2021年6月25日
关于生物心率与体重之间的关系成立初等模型
一．问题提出：
生物学家以为，关于休息状态的热血动物，消耗的能量要紧用于维持体温，能量与从心脏到全身的血流量成正比，而体温要紧通过躯体表面散失，成立一个动物（体重：
g）与心率单位：
次/min之间关系的模型，并用下面的数据加以查验.
动物
体重/g
心率/（次•
）
田鼠
25
670
家鼠
200
420
兔
2000
205
小狗
5000
120
大狗
30000
85
羊
50000
70
人
70000
72
马
450000
38
二．问题分析
1.依照生活体会可知，心率大小的阻碍因素不止一两个，由于很多因素咱们无法操纵，如在运动状态下和休息状态下，心率的大小明显不同；而随着年龄的增加，心率也会改变……为了简化问题，咱们假设所讨论的结果是在休息的状态下，显而易见，如此的假设比较粗略。
2.从问题的提出能够看到，关于热血动物来讲，消耗能量与全身血流量成正比，体温从体表散失，于是有：
体表散热率=心跳产热率。
而动物消耗的能量要紧用于维持体温，而体内热量通过表面积散失，那么有：
能量∝动物的表面积，能量∝血流量
3.建模的目的在于找出体重与心率之间的近似数量关系。
显然，由上表可看出：
体重越大，其心率就越小；反之，动物的体重越小，其心率就越大。
三．问题假设
◆本次模型只考虑在外界温度不变更物休息状态下的、躯体正常的情形下的心率问题。
◆假设生物的体积与长度的立方完全成正比，表面积与长度的平方也是完全成正比。
◆假设体表散热率等于心跳产热率
◆假设每分钟总的血流量等于心率与每分钟心脏到全身的血流量的乘积
◆假设供血能力与体重成正比
◆假设每分钟通过血液提供的能量与每分钟总血流量成正比
四．符号说明
符号
说明
S
生物身体的表面积
L
生物的长度
V
生物的体积
W
生物的体重
Q
每分钟为维持体温而流失的能量
E
每分钟通过血液提供的能量
T
每分钟总血流量
n
生物的心率
q
每次心跳从心脏到全身的血流量
表面积S与长度L的比例系数
体积V与长度L的比例系数
体积V与体重W的比例系数
能量Q与表面积S的比例系数
q与W，n的比例系数
能量E与总血流量T的比例系数
K
心率q与血流量W的比例系数
五．模型成立
✧依照以往的数学知识可知：
表面积S∝长度L的平方，体积V∝长度L的立方.即：
。
于是，有
………………………………………………①
✧生物的体积V与体重W成正比，即
，将其代入①式可得：
……………………………………②
✧为维持体温而流失的能量Q与动物的表面积有关，且是一种正比关系，那么有
………………………………③
将③式代入②式，可得出：
…………………………………………………④
✧由假设体表散热率等于心跳产热率，即Q=E，那么有：
…………………………………………………⑤
✧由于假设供血能力与体重成正比，那么有：
……………………………⑥
✧由于假设每分钟总的血流量等于心率与每分钟心脏到全身的学流量的乘积，那么有：
T=nq,由⑥式，可得：
…………………………………………………⑦
✧由于假设每分钟通过血液提供的能量与每分钟总血流量成正比，那么有：
……………………………⑧
将⑤式与⑦式代入⑧式，可得：
即：
………………………………………………⑨
⑨式确实是通过比例关系所推导得出的数学模型。
六．模型求解
要利用⑨由W来计算n，那么第一得确信其中的参数
。
由于要确信这六个参数需要进行测量和查阅相关资料，而迫于时刻限制，能够用另一种简便的方式：
将⑨式改写成
（其中，
），如此，咱们只需要确信参数K就能够够得出n与W之间的比较粗糙的关系。
>>W=[25,200,2000,5000,30000,50000,70000,450000];
>>n=[670,420,205,120,85,70,72,38];
>>plot（W,n,'ro'）;
>>title（'已给数据的散点图'）
>>xlabel（'生物的体重'）;
>>ylabel（'生物的心率'）;
由图可看出这些数据组成的散点图是一个曲线，其数学模型是
，假设对两边取对数，那么有：
，令y=lg（n）,a=lg（K）,
由此可得模型为：
，是一个直线，可用最小二乘法拟合出a的值。
下面用matlab画出改造数据后的散点图。
>>W=[25,200,2000,5000,30000,50000,70000,450000];
>>n=[670,420,205,120,85,70,72,38];
>>x=log10（W）;
>>y=log10（n）;
>>plot（x,y,'r*'）;
>>title（'改造数据后的散点图'）
由此能够看出，与前面的分析符合，改造后的数据大致与一个直线拟合，由之前学过的数值分析，可直接利用最小二乘法的结果求出a的值。
假设要用最小二乘法拟合出数据
的逼近直
，那么：
因此，这次模型所要求得的：
>>W=[25,200,2000,5000,30000,50000,70000,450000];
>>n=[670,420,205,120,85,70,72,38];
>>x=log10（W）;
>>y=log10（n）;
>>a=（sum（x.^2）*sum（y）-sum（x.*y）*sum（x））/（8*（sum（x.^2））-sum（x）^2）
a=
>>plot（x,y,'r*',x,a-1/3*x,'g'）
因此：
，
下面就依照所求出的模型作图，与题目所给的数据比较。
>>W=[25,200,2000,5000,30000,50000,70000,450000];
>>n=[670,420,205,120,85,70,72,38];
>>N=*10^3.*W.^（-1/3）;
>>plot（W,n,'ro',W,N,'b'）
>>xlabel（'生物的体重'）;
>>ylabel（'生物的心率'）;
>>title（'拟合后的曲线与原数据的比较'）
七．结论说明
由上面的图可看出，第5，6，7这几个点拟合的不够好，下面是将生物的体重代入模型
与实际数据作比较得出的表格
>>W=[25,200,2000,5000,30000,50000,70000,450000];
>>n=[670,420,205,120,85,70,72,38];
>>N=*10^3.*W.^（-1/3）;
>>N
N=
动物
体重
实际心率
模型结果
田鼠
25
670
家鼠
200
420
兔
2000
205
小狗
5000
120
大狗
30000
85
羊
50000
70
人
70000
72
马
450000
38
由上表可看出，尽管曲线轨迹比较接近原数据，可是将模型结果与实际数据比较，不同仍是专门大的。
这次模型是先通过比例关系推导出的模型：
，然后为了简便，将模型简化为
，最后又用最小二乘法求出比例系数K。
而且，假设条件比较粗糙，又缺乏足够的数据支持，因此，取得的结果不够中意。
八．优缺点与存在问题
v模型的优势：
1）成立模型时假设环境不变，减少阻碍结果的因素，使得问题简化，便于分析求解。
2）由于本课程是关于心率与体重的关系，因此二者之间的关系不能直接观测出，而成立模型使得问题迎刃而解。
3）利用matlab编程进行求解，所得结果数据比较准确，利用matlab画取利于比较实际数据与模型结果的不同。
v模型的缺点：
1）成立模型时，假设热血动物在休息状态时消耗的能量全数转换为热量，忽略了其他热量的散失方式。
2）假设外界环境不变，但不能确信外界环境是不是一直维持不变。
3）假设动物表面积、体积、与长度成正比，是超级粗略的。
九．模型推行
通过对生物体重与心率那个模型的研究，尽管结果不太令人中意，可是二者之间的可能关系很容易看出来，体重越大，心率越小。
在实际医疗问题中，通过操纵体重来预防心脏病，预防心脏病的发病率。
能够通过进一步优化，利用足够的数据，改良那个模型，令人们能更有效的熟悉心脏病的发生、进展规律和研究防治方法。
十．参考文献
【1】姜启源，谢金星，叶俊.数学模型，第四版。
高等教育出版社
【2】赵静，但琦。
《数学建模与数学实验》，高等教育出版社。
【3】姜启源，谢金星，刑文训，张立平。
《大学数学实验》，第2版。
清华大学出版社
【4】Richard，Faires.数值分析，第七版。
高等教育出版社
升级会员 