八年级数学下册 第二章分解因式教案 北师版.docx
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八年级数学下册第二章分解因式教案北师版
2019-2020年八年级数学下册第二章分解因式教案北师版
●课时安排6课时
§2.1分解因式
●教学目标
教学知识点
使学生了解因式分解的意义,知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系.
能力训练要求。
通过观察,发现分解因式与整式乘法的关系,培养学生观察能力和语言概括能力.
情感与价值观要求。
通过观察,推导分解因式与整式乘法的关系,让学生了解事物间的因果联系.
●教学重点1.理解因式分解的意义.
2.识别分解因式与整式乘法的关系.
●教学难点通过观察,归纳分解因式与整式乘法的关系.
●教学方法观察讨论法
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
导入:
由(a+b)(a-b)=a2-b2逆推a2-b2=(a+b)(a-b)
Ⅱ.讲授新课
1.讨论993-99能被100整除吗?
你是怎样想的?
与同伴交流.
993-99=99×98×100
2.议一议
你能尝试把a3-a化成n个整式的乘积的形式吗?
与同伴交流.
3.做一做
(1)计算下列各式:
①(m+4)(m-4)=_________;②(y-3)2=__________;
③3x(x-1)=_______;④m(a+b+c)=_______;⑤a(a+1)(a-1)=________
(2)根据上面的算式填空:
①3x2-3x=()();②m2-16=()();③ma+mb+mc=()();
④y2-6y+9=()2.⑤a3-a=()().
定义:
把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做把这个多项式分解因式.
4.想一想
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算?
由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与这种运算有什么不同?
你还能举一些类似的例子加以说明吗?
下面我们一起来总结一下.
如:
m(a+b+c)=ma+mb+mc
(1)
ma+mb+mc=m(a+b+c)
(2)
5、整式乘法与分解因式的联系和区别
ma+mb+mcm(a+b+c).因式分解与整式乘法是相反方向的变形.
6.例题下列各式从左到右的变形,哪些是因式分解?
(1)4a(a+2b)=4a2+8ab;
(2)6ax-3ax2=3ax(2-x);
(3)a2-4=(a+2)(a-2);(4)x2-3x+2=x(x-3)+2.
Ⅲ.课堂练习
P40随堂练习
Ⅳ.课时小结
本节课学习了因式分解的意义,即把一个多项式化成几个整式的积的形式;还学习了整式乘法与分解因式的关系是相反方向的变形.
Ⅴ.课后作业习题2.1
§2.2.1提公因式法
(一)
●教学目标
教学知识点让学生了解多项式公因式的意义,初步会用提公因式法分解因式.
能力训练要求通过找公因式,培养学生的观察能力.
情感与价值观要求让学生养成独立思考的习惯,同时培养学生的合作交流意识
●教学重点能观察出多项式的公因式,并根据分配律把公因式提出来.
●教学难点让学生识别多项式的公因式.
●教学方法独立思考——合作交流法.
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
引例:
一块场地由三个矩形组成,这些矩形的长分别为,,,宽都是,求这块场地的面积。
Ⅱ.新课讲解
1.公因式与提公因式法分解因式的概念.
若将刚才的问题一般化,即三个矩形的长分别为a、b、c,宽都是m,则这块场地的面积为ma+mb+mc,或m(a+b+c),可以用等号来连接.
ma+mb+mc=m(a+b+c)
从上面的等式中,大家注意观察等式左边的每一项有什么特点?
各项之间有什么联系?
等式右边的项有什么特点?
⑴公因式:
多项式的各项中都含有的因式叫做它的公因式
⑵提公因式法:
把多项式中的公因式提取出来的分解因式方法叫做提公因式法.
2.例题讲解
例1、将下列各式分解因式:
(1)3x+6;
(2)7x2-21x;(3)8a3b2-12ab3c+abc(4)-24x3-12x2+28x.
3.议一议
提公因式法的步骤.①找各项系数的最大公约数,
②找各项中含有的相同的字母,相同字母的指数取次数最低的.
4.想一想
提公因式法分解因式与单项式乘以多项式有什么关系?
(互逆变换)
Ⅲ.课堂练习
1、随堂练习P43~44
2、补充练习把3x2-6xy+x分解因式
Ⅳ.课时小结
1.提公因式法分解因式的一般形式,如:
ma+mb+mc=m(a+b+c).
2.提公因式法分解因式,关键在于观察、发现多项式的公因式.
3.找公因式的一般步骤
(1)若各项系数是整系数,取系数的最大公约数;
(2)取相同的字母,字母的指数取较低的;
(3)取相同的多项式,多项式的指数取较低的.
(4)所有这些因式的乘积即为公因式.
4、特别注意:
①不要漏项②公因式相差符号的,如(x-y)与(y-x)要先统一公因式,同时要防止出现符号问题.
Ⅴ.课后作业习题2.2
Ⅳ.活动与探究
利用分解因式计算:
(1)3xx-3xx;
(2)(-2)101+(-2)100.
●备课资料
一、把下列各式分解因式:
1、2a-4b;2、ax2+ax-4a;3、3ab2-3a2b;4、2x3+2x2-6x;
5、7x2+7x+14;6、-12a2b+24ab2;7、xy-x2y2-x3y3;8、27x3+9x2y.
§2.2.2提公因式法
(二)
●教学目标
教学知识点进一步让学生掌握用提公因式法分解因式的方法.
能力训练要求进一步培养学生的观察能力和类比推理能力.
情感与价值观要求
通过观察能合理地进行分解因式的推导,并能清晰地阐述自己的观点.
●教学重点能观察出公因式是多项式的情况,并能合理地进行分解因式.
●教学难点准确找出公因式,并能正确进行分解因式.
●教学方法类比学习法
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
深入探索用提公因式法。
Ⅱ.新课讲解
一、例题讲解
例2、把a(x-3)+2b(x-3)分解因式.
例3、把下列各式分解因式:
(1)a(x-y)+b(y-x);
(2)6(m-n)3-12(n-m)2.
二、做一做
请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”号,使等式成立:
(1)2-a=__________(a-2);
(2)y-x=__________(x-y);
(3)b+a=__________(a+b);(4)(b-a)2=__________(a-b)2;
(5)-m-n=__________-(m+n);(6)-s2+t2=__________(s2-t2).
Ⅲ.课堂练习
1、随堂练习P45
2、补充练习把下列各式分解因式
1、5(x-y)3+10(y-x)22、m(a-b)-n(b-a)
3、m(m-n)+n(n-m)4、m(m-n)(p-q)-n(n-m)(p-q)
5.(b-a)2+a(a-b)+b(b-a)
Ⅳ.课时小结
本节课进一步学习了用提公因式法分解因式,公因式可以是单项式,也可以是多项式,要认真观察多项式的结构特点,从而能准确熟练地进行多项式的分解因式.
Ⅴ.课后作业习题2.3
Ⅵ.活动与探究
把(a+b-c)(a-b+c)+(b-a+c)·(b-a-c)分解因式.
●备课资料
把下列各式分解因式:
1、a(x-y)-b(y-x)+c(x-y);2、x2y-3xy2+y3;
3、2(x-y)2+3(y-x);4、5(m-n)2+2(n-m)3.
§2.3.1运用公式法
(一)
●教学目标
教学知识点1.使学生了解运用公式法分解因式的意义;
2.使学生掌握用平方差公式分解因式.
能力训练要求1.通过对平方差公式特点的辨析,培养学生的观察能力.
2.训练学生对平方差公式的运用能力.
情感与价值观要求
在引导学生逆用乘法公式的过程中,培养学生逆向思维的意识,同时让学生了解换元的思想方法.
●教学重点让学生掌握运用平方差公式分解因式.
●教学难点将某些单项式化为平方形式,再用平方差公式分解因式;培养学生多步骤分解因式的能力.
●教学方法引导自学法
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法.
Ⅱ.新课讲解
1.请看乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2
(1)
反过来a2-b2=(a+b)(a-b)
(2)
2.公式讲解
a2-b2的特点:
是一个二项式,每项都可以化成整式的平方,整体来看是两个整式的平方差如:
x2-16=(x)2-42=(x+4)(x-4).
9m2-4n2=(3m)2-(2n)2=(3m+2n)(3m-2n)
3.例题讲解
例1、把下列各式分解因式:
(1)25-16x2;
(2)9a2-b2.
例2、把下列各式分解因式:
(1)9(m+n)2-(m-n)2;
(2)2x3-8x.
补充例题
判断下列分解因式是否正确.
(1)(a+b)2-c2=a2+2ab+b2-c2.
(2)a4-1=(a2)2-1=(a2+1)•(a2-1).
Ⅲ.课堂练习
1、P49随堂练习
2、补充练习分解因式
(1)36(x+y)2-49(x-y)2;
(2)(x-1)+b2(1-x);
(3)(x2+x+1)2-1.
Ⅳ.课时小结
①分解时先看是否有公因式,再考虑平方差公式②分解时一定要分解完整彻底。
Ⅴ.课后作业习题2.4
Ⅵ.活动与探究
把(a+b+c)(bc+ca+ab)-abc分解因式
●备课资料
把下列各式分解因式:
(1)49x2-121y2;
(2)-25a2+16b2;(3)144a2b2-0.81c2;
(4)-36x2+y2;(5)(a-b)2-1;(6)9x2-(2y+z)2;
(7)(2m-n)2-(m-2n)2;(8)49(2a-3b)2-9(a+b)2.
§2.3.2运用公式法
(二)
●教学目标
教学知识点1.使学生会用完全平方公式分解因式.
2.使学生学习多步骤,多方法的分解因式.
能力训练要求在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中,培养学生观察、归纳和逆向思维的能力.
情感与价值观要求通过综合运用提公因式法、完全平方公式,分解因式,进一步培养学生的观察和联想能力.
●教学重点让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法.
●教学难点让学生学会观察多项式的特点,恰当地安排步骤,恰当地选用不同方法分解因式.
●教学方法观察—发现—运用法
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
本节课,我们就要学习用完全平方公式分解因式.
Ⅱ.新课
1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点.
完全平方公式:
(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2
倒写:
a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)2.
左边的特点有
(1)多项式是三项式;
(2)其中有两项同号,且此两项能写成两数或两式的平方和的形式;(3)另一项是这两数或两式乘积的2倍.
右边的特点:
这两数或两式和(差)的平方.
形如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子称为完全平方式.
练一练
下列各式是不是完全平方式?
(1)a2-4a+4;
(2)x2+4x+4y2;(3)4a2+2ab+b2;
(4)a2-ab+b2;(5)x2-6x-9;(6)a2+a+0.25.
2.例题讲解
例1、把下列完全平方式分解因式:
(1)x2+14x+49;
(2)(m+n)2-6(m+n)+9.
例2、把下列各式分解因式:
(1)3ax2+6axy+3ay2;
(2)-x2-4y2+4xy.
Ⅲ.课堂练习
1、P52随堂练习
2、补充练习
把下列各式分解因式:
(1)4a2-4ab+b2;
(2)a2b2+8abc+16c2;(3)(x+y)2+6(x+y)+9;
(4)-+n2;(5)4(2a+b)2-12(2a+b)+9;(6)x2y-x4-
Ⅳ.课时小结
用完全平方公式分解因式.它与平方差公式不同之处是:
(1)要求多项式有三项.
(2)其中两项同号,且都可以写成某数或式的平方,另一项则是这两数或式的乘积的2倍,符号可正可负.
Ⅴ.课后作业习题2.5
●备课资料把下列各式分解因式
1、-4xy-4x2-y2;2、3ab2+6a2b+3a3;3、(s+t)2-10(s+t)+25;
4、0.25a2b2-abc+c2;5、x2y-6xy+9y;6、2x3y2-16x2y+32x;
7、16x5+8x3y2+xy4
§2.4.1十字相乘法
(1)
教学目标
1、能较熟练地用十字相乘法把形如x2+px+q的二次三项式分解因式;
2、通过课堂交流,锻炼学生数学语言的表达能力;
3、培养学生的观察能力和从特殊到一般、从具体到抽象的思维品质.
教学重点:
能较熟练地用十字相乘法把形如x2+px+q的二次三项式分解因式.
教学难点:
把x2+px+q分解因式时,准确找出a、b,使a·b=q;a+b=p.
教学过程
一、复习引新
利用公式
计算:
(1)
(2)(3)(4)
二、探索新知
1、观察与发现:
将多项式的乘积化为一个二次三项式,这是整式的乘法。
反过来可得x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).
将一个二次三项式化成整式乘积形式,这是分解因式.
2、体会与尝试:
①试一试因式分解:
x2+4x+3;
x2+4x+3=(x+3)(x+1),用十字交叉线表示:
x+3
x+1
3x+x=4x
②定义:
利用十字交叉线分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
③拆一拆将下列各数表示成两个整数的积的形式(尽所有可能):
6=;12=;24=;
-6=;-12=;-24=.
3、例题讲解
例1、把分解因式。
例2把分解因式。
例3、把分解因式。
例4把分解因式。
4、思考与归纳:
x2+px+q=x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).
用十字交叉线表示:
x+a
x+b
ax+bx=(a+b)x规律:
如果常数项q是正数,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数p的符号相同。
如果常数项q是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同。
例5、把以下各式分解因式:
1、2、;3、;
三、课堂小结
对二次三项式x2+px+q进行因式分解,应重点掌握以下三个方面:
1.掌握方法:
拆分常数项,验证一次项.
2.符号规律:
当q>0时,a、b同号,且a、b的符号与p的符号相同;
当q<0时,a、b异号,且绝对值较大的因数与p的符号相同.
四、课堂练习
1、;2、;3、;4、
5、;6、7、;8、
;9、
五、作业
1);2);3);4)。
5);6)
§2.4.2十字相乘法
(2)
教学目标
1.使学生掌握通过换元的方法,把可以转化为形如的某些多项式分解因式,渗透化归和整体思想方法;
2.掌握某些二次齐次式的因式分解方法.
教学重点和难点
重点:
运用换元法,对可转化为形如x2+px+q的某些多项式进行因式分解.
难点:
理解二次三项式x2+px+q中的x即可以是单项式,也可以是多项式;
对于p和q,不仅可以是单项式(包括数),也可以是多项式.
教学过程
一、复习
1、把下列各式分解因式
1、x2-3x+22、x4+6x2+8.3、(a+b)2-4(a+b)+3.
2.问:
在二次三项式x2+px+q中,p和q各满足什么条件时,可以因式分解?
二、新课
例1、把下列各式分解因式
1、(x2-3x+2)(x2-3x-4)-722、x2-3xy+2y2分解因式.
例2、把下列各式分解因式:
(1)
(2)(3)
总结:
①齐二次三项式应如何进行分解因式?
②二次项系数不是1时应如何进行分解因式?
三、课堂练习
把下列各式分解因式:
(1)
(2)(3)(4)
(5)(6)(7)
(8)(9)(10)
四、课堂小结
换元方法进行分解因式时要注意的问题
五、作业
把下列各式分解因式:
1.
(1)x4+7x2-18;
(2)x6+8x3+15;(3)m2x2-8mx+12;(4)x2y2-7xy+10;
2.
(1)x2-7xy+12y2;
(2)a2+2ab-15b2;(3)m2+4mn-12n2;(4)p2+9pq+18q2.
3.
(1)(m+n)2-(m+n)-30;
(2)(x-y)2-3(x-y)-40;
(3)(2m+n)2-4r(2m+n)+3r2;(4)(a-b)2-12(a-b)-45.
4.
(1)(x2-4x)2-(x2-4x)-20;
(2)(a2+5a+3)(a2+5a-2)-6.
变形题型:
求值题
⑴已知x2+2x=3,求代数式x2+6x的值;
⑵已知(x2+y2)(x2+y2-1)-6=0,求代数式x2+y2的值;
⑶已知3x2+xy-2y2=0,求代数式x2-y2+x-y2的值;
§2.5分组分解法
教学目标
1、使学生明确分组分解法的含义,理解分组必须预见到下一步分解的可能性;
2、使学生掌握分组规律、分组步骤。
教学重点和难点
重点:
分组规律、分组步骤
难点:
选择合理的分组方法
教学过程
一.引入新课
把多项式am+an+bm+bn分解因式
提问:
看到这道题首先想到的是什么?
其次想到的是什么?
最后想到的是什么?
(由此引入“分组分解法”)
方法1:
am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=
方法2:
am+an+bm+bn=(am+bm)+(an+bn)=
二.新授课:
1、分组分解法定义:
把多项式分成几组来分解因式的方法叫分组分解法。
2、例题讲解
例1:
把a2-ab+ac-bc分解因式
方法1:
a2-ab+ac-bc=(a2-ab)+(ac-bc)=
方法2:
a2-ab+ac-bc=(a2+ac)-(ab+bc)=
例2:
把2ax-10ay-5by+bx分解因式
练习:
(1)ma2+na2+mb2+nb2
(2)a2+ab-ac-bc(3)3a-ax-3b+bx
(4)xy-y2-yz+xz(5)ab-1+a-b(6)2a3+a2-6a-3
例3、分解因式a2+2ab+b2-ac-bc例4、分解因式4x2-4xy+y2-16z2
例5、分解因式ax-ay-x2+2xy-y2例6、分解因式x(x-1)(x-2)-6
例7、分解因式(x2+y2-1)2-4x2y2
3、分组分解法的技巧与方法:
(1)分组规律:
系数的特点、字母的特点、字母指数的特点等。
(2)分解步骤:
①分组;②在各组内提公因式或用公式法;
③在各组之间进行因式分解;④直至完全分解。
三、随堂练习
1、分解下列多项式
①2x3+x2-6x-3,②abx2-aby2-a2xy+b2xy,③xy-ax+bx+ay-a2+ab,④x2-6x+9-y2,
⑤x+2xy+y2-ax-ay,⑥a2-2ab+b2-m2-2mn-n2;⑦a(a2-a-1)+1
⑧ab(m2+n2)+mn(a2+b2);⑨(x2+y2-1)2-4x2y2⑩abx2-aby2-a2xy+b2xy
2、若a5+a4b+a4+a+b+1=0且3a+2b=1,求a、b的值。
四、课堂小结
学习分组分解法的概念,用分组分解法分组之后,运用提取公因式或公式法对多项式进行因式分解。
五、课外作业:
1.3a-3b+ax-bx2.ax+ax2-b-bx3.ax2+by2+ay2+bx24.m2+4m3+5+20m
5.ab+ac+2a+bx+cx+2x6.2x2+4xy-6ax+3a-x-2y7.ab(c2-d2)-cd(a2-b2)
8、x(x-1)(x-2)-69、ax-ay-x2+2xy-y210、x2-y2+ax+ay
六、活动、探究与讨论:
多项式ma+mb+mc-na-nb-nc能用几种方法因式分解?
分别是什么?
§2.6回顾与思考
●教学目标
教学知识点
1.复习因式分解的概念,以及提公因式法,运用公式法分解因式的方法,使学生进一步理解有关概念,能灵活运用上述方法分解因式.
2.熟悉本章的知识结构图.
能力训练要求
通过知识结构图的教学,培养学生归纳总结能力,在例题的教学过程中培养学生分析问题和解决问题的能力.
情感与价值观要求
通过因式分解综合练习,提高学生观察、分析能力;通过应用因式分解方法进行简便运算,培养学生运用数学知识解决实际问题的意识.
●教学重点复习综合应用提公因式法,运用公式法分解因式.
●教学难点利用分解因式进行计算及讨论.
●教学方法引导学生自觉进行归纳总结.
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
今天,我们来综合总结一下分解因式的方法.
Ⅱ.新课讲解
(一)讨论推导本章知识结构图
(二)重点知识讲解
1.举例说明什么是分解因式.
学习因式分解的概念应注意以下几点:
(1)因式分解是一种恒等变形,即变形前后的两式恒等.
(2)把一个多项式分解因式应分解到每一个多项式都不能再分解为止.
2.分解因式与整式乘法有什么关系?
分解因式与整式乘法是两种方向相反的变形.
3.分解因式常用的方法有哪些?
提公因式法和运用公式法.
4.例题讲解
例1、下列各式的变形中,哪些是因式分解?
哪些不是?
说明理由.
(1)x2+3x+4=(x+2)(x+1)+2
(2)6x2y3=3xy·2xy2
(3)(3x-2)(2x+1)=6x2-x-2(4)4ab+2ac=2a(2b+c)
例2、将下列各式分解因式.
(1)8a4b3-4a3b4+2a2b5;
(2)-9ab+18a2b2-27a3b3;(3)-x2;
(4)9(x+y)2-4(x-y)2;(5)x4-25x2y2;(6)4x2-20xy+25y2;
(7)(a+b)2+10c(a+b)+25c2.
例3、把下列各式分解因式:
(1)x7y3-x3y3;
(2)16x4-72x2y2+81y4;
5、分解因式的一般步骤为:
(1)若多项式各项有公因式,则先提取公因式.
(2)若多项式各项没公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.
(3)每一个多项式都要分解到不能再分解为止.
Ⅲ.课堂练习P52随堂练习
Ⅳ.课时小结
1.师生共同回顾,总结因式分解的意义,因式分解的方法及一般步骤,其中要特别指出:
必须使每一个因式都不能再进行因式分解.
2.利用因式分解简化某些计算.
Ⅴ.课后作业复习题
Ⅵ.活动与探究求满足4x2-9y2=31的正整数解.(31为质数)