八年级数学下册 第二章分解因式教案 北师版.docx

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八年级数学下册第二章分解因式教案北师版

2019-2020年八年级数学下册第二章分解因式教案北师版

●课时安排6课时

§2.1分解因式

●教学目标

教学知识点

使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系.

能力训练要求。

通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系，培养学生观察能力和语言概括能力.

情感与价值观要求。

通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，让学生了解事物间的因果联系.

●教学重点1.理解因式分解的意义.

2.识别分解因式与整式乘法的关系.

●教学难点通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系.

●教学方法观察讨论法

●教学过程

Ⅰ.创设问题情境,引入新课

导入：

由（a+b）（a－b）=a2－b2逆推a2－b2=（a+b）（a－b）

Ⅱ.讲授新课

1.讨论993－99能被100整除吗？

你是怎样想的？

与同伴交流.

993－99=99×98×100

2.议一议

你能尝试把a3－a化成n个整式的乘积的形式吗？

与同伴交流.

3.做一做

（1）计算下列各式：

①（m+4）（m－4）=_________;②（y－3）2=__________;

③3x（x－1）=_______;④m（a+b+c）=_______;⑤a（a+1）（a－1）=________

（2）根据上面的算式填空：

①3x2－3x=（）（）;②m2－16=（）（）;③ma+mb+mc=（）（）;

④y2－6y+9=（）2.⑤a3－a=（）（）.

定义：

把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式.

4.想一想

由a（a+1）（a－1）得到a3－a的变形是什么运算？

由a3－a得到a（a+1）（a－1）的变形与这种运算有什么不同？

你还能举一些类似的例子加以说明吗？

下面我们一起来总结一下.

如：

m（a+b+c）=ma+mb+mc

（1）

ma+mb+mc=m（a+b+c）

（2）

5、整式乘法与分解因式的联系和区别

ma+mb+mcm（a+b+c）.因式分解与整式乘法是相反方向的变形.

6.例题下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？

（1）4a（a+2b）=4a2+8ab;

（2）6ax－3ax2=3ax（2－x）;

（3）a2－4=（a+2）（a－2）;（4）x2－3x+2=x（x－3）+2.

Ⅲ.课堂练习

P40随堂练习

Ⅳ.课时小结

本节课学习了因式分解的意义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式；还学习了整式乘法与分解因式的关系是相反方向的变形.

Ⅴ.课后作业习题2.1

§2.2.1提公因式法

（一）

●教学目标

教学知识点让学生了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式.

能力训练要求通过找公因式，培养学生的观察能力.

情感与价值观要求让学生养成独立思考的习惯，同时培养学生的合作交流意识

●教学重点能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来.

●教学难点让学生识别多项式的公因式.

●教学方法独立思考——合作交流法.

●教学过程

Ⅰ.创设问题情境,引入新课

引例：

一块场地由三个矩形组成，这些矩形的长分别为，，，宽都是,求这块场地的面积。

Ⅱ.新课讲解

1.公因式与提公因式法分解因式的概念.

若将刚才的问题一般化，即三个矩形的长分别为a、b、c，宽都是m，则这块场地的面积为ma+mb+mc,或m（a+b+c），可以用等号来连接.

ma+mb+mc=m（a+b+c）

从上面的等式中，大家注意观察等式左边的每一项有什么特点？

各项之间有什么联系？

等式右边的项有什么特点？

⑴公因式：

多项式的各项中都含有的因式叫做它的公因式

⑵提公因式法：

把多项式中的公因式提取出来的分解因式方法叫做提公因式法.

2.例题讲解

例1、将下列各式分解因式：

（1）3x+6;

（2）7x2－21x;（3）8a3b2－12ab3c+abc（4）－24x3－12x2+28x.

3.议一议

提公因式法的步骤.①找各项系数的最大公约数，

②找各项中含有的相同的字母，相同字母的指数取次数最低的.

4.想一想

提公因式法分解因式与单项式乘以多项式有什么关系？

（互逆变换）

Ⅲ.课堂练习

1、随堂练习P43~44

2、补充练习把3x2－6xy+x分解因式

Ⅳ.课时小结

1.提公因式法分解因式的一般形式，如：

ma+mb+mc=m（a+b+c）.

2.提公因式法分解因式，关键在于观察、发现多项式的公因式.

3.找公因式的一般步骤

（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；

（2）取相同的字母，字母的指数取较低的；

（3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的.

（4）所有这些因式的乘积即为公因式.

4、特别注意：

①不要漏项②公因式相差符号的，如（x－y）与（y－x）要先统一公因式，同时要防止出现符号问题.

Ⅴ.课后作业习题2.2

Ⅳ.活动与探究

利用分解因式计算：

（1）3xx－3xx;

（2）（－2）101+（－2）100.

●备课资料

一、把下列各式分解因式：

1、2a－4b;2、ax2+ax－4a;3、3ab2－3a2b;4、2x3+2x2－6x;

5、7x2+7x+14;6、－12a2b+24ab2;7、xy－x2y2－x3y3;8、27x3+9x2y.

§2.2.2提公因式法

（二）

●教学目标

教学知识点进一步让学生掌握用提公因式法分解因式的方法.

能力训练要求进一步培养学生的观察能力和类比推理能力.

情感与价值观要求

通过观察能合理地进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点.

●教学重点能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地进行分解因式.

●教学难点准确找出公因式，并能正确进行分解因式.

●教学方法类比学习法

●教学过程

Ⅰ.创设问题情境,引入新课

深入探索用提公因式法。

Ⅱ.新课讲解

一、例题讲解

例2、把a（x－3）+2b（x－3）分解因式.

例3、把下列各式分解因式:

（1）a（x－y）+b（y－x）;

（2）6（m－n）3－12（n－m）2.

二、做一做

请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立:

（1）2－a=__________（a－2）;

（2）y－x=__________（x－y）;

（3）b+a=__________（a+b）;（4）（b－a）2=__________（a－b）2;

（5）－m－n=__________－（m+n）;（6）－s2+t2=__________（s2－t2）.

Ⅲ.课堂练习

1、随堂练习P45

2、补充练习把下列各式分解因式

1、5（x－y）3+10（y－x）22、m（a－b）－n（b－a）

3、m（m－n）+n（n－m）4、m（m－n）（p－q）－n（n－m）（p－q）

5.（b－a）2+a（a－b）+b（b－a）

Ⅳ.课时小结

本节课进一步学习了用提公因式法分解因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式，要认真观察多项式的结构特点，从而能准确熟练地进行多项式的分解因式.

Ⅴ.课后作业习题2.3

Ⅵ.活动与探究

把（a+b－c）（a－b+c）+（b－a+c）·（b－a－c）分解因式.

●备课资料

把下列各式分解因式：

1、a（x－y）－b（y－x）+c（x－y）;2、x2y－3xy2+y3;

3、2（x－y）2+3（y－x）;4、5（m－n）2+2（n－m）3.

§2.3.1运用公式法

（一）

●教学目标

教学知识点1.使学生了解运用公式法分解因式的意义；

2.使学生掌握用平方差公式分解因式.

能力训练要求1.通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力.

2.训练学生对平方差公式的运用能力.

情感与价值观要求

在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法.

●教学重点让学生掌握运用平方差公式分解因式.

●教学难点将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力.

●教学方法引导自学法

●教学过程

Ⅰ.创设问题情境,引入新课

本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法.

Ⅱ.新课讲解

1.请看乘法公式（a+b）（a－b）=a2－b2

（1）

反过来a2－b2=（a+b）（a－b）

（2）

2.公式讲解

a2－b2的特点：

是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差如：

x2－16=（x）2－42=（x+4）（x－4）.

9m2－4n2=（3m）2－（2n）2=（3m+2n）（3m－2n）

3.例题讲解

例1、把下列各式分解因式：

（1）25－16x2;

（2）9a2－b2.

例2、把下列各式分解因式:

（1）9（m+n）2－（m－n）2;

（2）2x3－8x.

补充例题

判断下列分解因式是否正确.

（1）（a+b）2－c2=a2+2ab+b2－c2.

（2）a4－1=（a2）2－1=（a2+1）•（a2－1）.

Ⅲ.课堂练习

1、P49随堂练习

2、补充练习分解因式

（1）36（x+y）2－49（x－y）2;

（2）（x－1）+b2（1－x）;

（3）（x2+x+1）2－1.

Ⅳ.课时小结

①分解时先看是否有公因式，再考虑平方差公式②分解时一定要分解完整彻底。

Ⅴ.课后作业习题2.4

Ⅵ.活动与探究

把（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc分解因式

●备课资料

把下列各式分解因式：

（1）49x2－121y2;

（2）－25a2+16b2;（3）144a2b2－0.81c2;

（4）－36x2+y2;（5）（a－b）2－1;（6）9x2－（2y+z）2;

（7）（2m－n）2－（m－2n）2;（8）49（2a－3b）2－9（a+b）2.

§2.3.2运用公式法

（二）

●教学目标

教学知识点1.使学生会用完全平方公式分解因式.

2.使学生学习多步骤，多方法的分解因式.

能力训练要求在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力.

情感与价值观要求通过综合运用提公因式法、完全平方公式，分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力.

●教学重点让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法.

●教学难点让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式.

●教学方法观察—发现—运用法

●教学过程

Ⅰ.创设问题情境，引入新课

本节课，我们就要学习用完全平方公式分解因式.

Ⅱ.新课

1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点.

完全平方公式：

（a+b）2＝a2+2ab+b2;（a－b）2=a2－2ab+b2

倒写：

a2+2ab+b2=（a+b）2;a2－2ab+b2=（a－b）2.

左边的特点有

（1）多项式是三项式；

（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；（3）另一项是这两数或两式乘积的2倍.

右边的特点：

这两数或两式和（差）的平方.

形如a2+2ab+b2或a2－2ab+b2的式子称为完全平方式.

练一练

下列各式是不是完全平方式？

（1）a2－4a+4;

（2）x2+4x+4y2;（3）4a2+2ab+b2;

（4）a2－ab+b2;（5）x2－6x－9;（6）a2+a+0.25.

2.例题讲解

例1、把下列完全平方式分解因式：

（1）x2+14x+49;

（2）（m+n）2－6（m+n）+9.

例2、把下列各式分解因式：

（1）3ax2+6axy+3ay2;

（2）－x2－4y2+4xy.

Ⅲ.课堂练习

1、P52随堂练习

2、补充练习

把下列各式分解因式：

（1）4a2－4ab+b2;

（2）a2b2+8abc+16c2;（3）（x+y）2+6（x+y）+9;

（4）－+n2;（5）4（2a+b）2－12（2a+b）+9;（6）x2y－x4－

Ⅳ.课时小结

用完全平方公式分解因式.它与平方差公式不同之处是：

（1）要求多项式有三项.

（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.

Ⅴ.课后作业习题2.5

●备课资料把下列各式分解因式

1、－4xy－4x2－y2;2、3ab2+6a2b+3a3;3、（s+t）2－10（s+t）+25;

4、0.25a2b2－abc+c2;5、x2y－6xy+9y;6、2x3y2－16x2y+32x;

7、16x5+8x3y2+xy4

§2.4.1十字相乘法

（1）

教学目标

1、能较熟练地用十字相乘法把形如x2+px+q的二次三项式分解因式；

2、通过课堂交流，锻炼学生数学语言的表达能力；

3、培养学生的观察能力和从特殊到一般、从具体到抽象的思维品质.

教学重点:

能较熟练地用十字相乘法把形如x2+px+q的二次三项式分解因式.

教学难点:

把x2+px+q分解因式时，准确找出a、b，使a·b=q；a+b=p.

教学过程

一、复习引新

利用公式

计算：

（1）

（2）（3）（4）

二、探索新知

1、观察与发现:

将多项式的乘积化为一个二次三项式,这是整式的乘法。

反过来可得x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）.

将一个二次三项式化成整式乘积形式，这是分解因式.

2、体会与尝试：

①试一试因式分解:

x2+4x+3；

x2+4x+3=（x+3）（x+1），用十字交叉线表示:

x+3

x+1

3x+x=4x

②定义：

利用十字交叉线分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.

③拆一拆将下列各数表示成两个整数的积的形式（尽所有可能）：

6=；12=；24=；

-6=；-12=；-24=.

3、例题讲解

例1、把分解因式。

例2把分解因式。

例3、把分解因式。

例4把分解因式。

4、思考与归纳：

x2+px+q=x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）.

用十字交叉线表示:

x+a

x+b

ax+bx=（a+b）x规律：

如果常数项q是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数p的符号相同。

如果常数项q是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同。

例5、把以下各式分解因式：

1、2、；3、；

三、课堂小结

对二次三项式x2+px+q进行因式分解，应重点掌握以下三个方面：

1．掌握方法:

拆分常数项,验证一次项.

2．符号规律:

当q＞0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同；

当q＜0时，a、b异号，且绝对值较大的因数与p的符号相同.

四、课堂练习

1、；2、；3、；4、

5、；6、7、；8、

；9、

五、作业

1）；2）；3）；4）。

5）；6）

§2.4.2十字相乘法

（2）

教学目标

1.使学生掌握通过换元的方法，把可以转化为形如的某些多项式分解因式，渗透化归和整体思想方法；

2.掌握某些二次齐次式的因式分解方法.

教学重点和难点

重点：

运用换元法，对可转化为形如x2+px+q的某些多项式进行因式分解.

难点：

理解二次三项式x2+px+q中的x即可以是单项式，也可以是多项式；

对于p和q，不仅可以是单项式（包括数），也可以是多项式.

教学过程

一、复习

1、把下列各式分解因式

1、x2－3x+22、x4+6x2+8.3、（a+b）2－4（a+b）+3.

2.问：

在二次三项式x2+px+q中，p和q各满足什么条件时，可以因式分解?

二、新课

例1、把下列各式分解因式

1、（x2－3x+2）（x2－3x－4）－722、x2－3xy+2y2分解因式.

例2、把下列各式分解因式：

（1）

（2）（3）

总结：

①齐二次三项式应如何进行分解因式？

②二次项系数不是1时应如何进行分解因式？

三、课堂练习

把下列各式分解因式：

（1）

（2）（3）（4）

（5）（6）（7）

（8）（9）（10）

四、课堂小结

换元方法进行分解因式时要注意的问题

五、作业

把下列各式分解因式：

1.

（1）x4+7x2－18；

（2）x6+8x3+15；（3）m2x2－8mx+12；（4）x2y2－7xy+10；

2.

（1）x2－7xy+12y2；

（2）a2+2ab－15b2；（3）m2+4mn－12n2；（4）p2+9pq+18q2.

3.

（1）（m+n）2－（m+n）－30；

（2）（x－y）2－3（x－y）－40；

（3）（2m+n）2－4r（2m+n）+3r2；（4）（a－b）2－12（a－b）－45.

4.

（1）（x2－4x）2－（x2－4x）－20；

（2）（a2+5a+3）（a2+5a－2）－6.

变形题型：

求值题

⑴已知x2＋2x=3，求代数式x2＋6x的值；

⑵已知（x2＋y2）（x2＋y2-1）-6=0，求代数式x2＋y2的值；

⑶已知3x2＋xy-2y2=0，求代数式x2-y2+x-y2的值；

§2.5分组分解法

教学目标

1、使学生明确分组分解法的含义，理解分组必须预见到下一步分解的可能性；

2、使学生掌握分组规律、分组步骤。

教学重点和难点

重点：

分组规律、分组步骤

难点：

选择合理的分组方法

教学过程

一．引入新课

把多项式am+an+bm+bn分解因式

提问：

看到这道题首先想到的是什么？

其次想到的是什么？

最后想到的是什么？

（由此引入“分组分解法”）

方法1：

am+an+bm+bn=（am+an）+（bm+bn）＝

方法2：

am+an+bm+bn=（am+bm）+（an+bn）＝

二．新授课：

1、分组分解法定义：

把多项式分成几组来分解因式的方法叫分组分解法。

2、例题讲解

例1：

把a2-ab+ac-bc分解因式

方法1：

a2-ab+ac-bc=（a2-ab）+（ac-bc）＝

方法2：

a2-ab+ac-bc=（a2+ac）-（ab+bc）＝

例2：

把2ax-10ay-5by+bx分解因式

练习：

（1）ma2+na2+mb2+nb2

（2）a2+ab-ac-bc（3）3a-ax-3b+bx

（4）xy-y2-yz+xz（5）ab-1+a-b（6）2a3+a2-6a-3

例3、分解因式a2+2ab+b2－ac－bc例4、分解因式4x2-4xy+y2-16z2

例5、分解因式ax-ay-x2+2xy-y2例6、分解因式x（x-1）（x-2）-6

例7、分解因式（x2+y2-1）2-4x2y2

3、分组分解法的技巧与方法：

（1）分组规律：

系数的特点、字母的特点、字母指数的特点等。

（2）分解步骤:

①分组；②在各组内提公因式或用公式法；

③在各组之间进行因式分解；④直至完全分解。

三、随堂练习

1、分解下列多项式

①2x3+x2-6x-3，②abx2-aby2-a2xy+b2xy，③xy-ax+bx+ay-a2+ab，④x2-6x+9-y2，

⑤x+2xy+y2-ax-ay，⑥a2－2ab+b2－m2－2mn－n2；⑦a（a2－a－1）+1

⑧ab（m2+n2）+mn（a2+b2）；⑨（x2+y2-1）2-4x2y2⑩abx2-aby2-a2xy+b2xy

2、若a5+a4b+a4+a+b+1=0且3a+2b=1，求a、b的值。

四、课堂小结

学习分组分解法的概念，用分组分解法分组之后，运用提取公因式或公式法对多项式进行因式分解。

五、课外作业：

1．3a-3b+ax-bx2．ax+ax2-b-bx3．ax2+by2+ay2+bx24．m2+4m3+5+20m

5．ab+ac+2a+bx+cx+2x6．2x2+4xy-6ax+3a-x-2y7．ab（c2-d2）-cd（a2-b2）

8、x（x-1）（x-2）-69、ax-ay-x2+2xy-y210、x2-y2+ax+ay

六、活动、探究与讨论：

多项式ma+mb+mc-na-nb-nc能用几种方法因式分解？

分别是什么？

§2.6回顾与思考

●教学目标

教学知识点

1.复习因式分解的概念，以及提公因式法，运用公式法分解因式的方法，使学生进一步理解有关概念，能灵活运用上述方法分解因式.

2.熟悉本章的知识结构图.

能力训练要求

通过知识结构图的教学,培养学生归纳总结能力,在例题的教学过程中培养学生分析问题和解决问题的能力.

情感与价值观要求

通过因式分解综合练习,提高学生观察、分析能力；通过应用因式分解方法进行简便运算，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识.

●教学重点复习综合应用提公因式法,运用公式法分解因式.

●教学难点利用分解因式进行计算及讨论.

●教学方法引导学生自觉进行归纳总结.

●教学过程

Ⅰ.创设问题情境,引入新课

今天,我们来综合总结一下分解因式的方法.

Ⅱ.新课讲解

（一）讨论推导本章知识结构图

（二）重点知识讲解

1.举例说明什么是分解因式.

学习因式分解的概念应注意以下几点:

（1）因式分解是一种恒等变形,即变形前后的两式恒等.

（2）把一个多项式分解因式应分解到每一个多项式都不能再分解为止.

2.分解因式与整式乘法有什么关系?

分解因式与整式乘法是两种方向相反的变形.

3.分解因式常用的方法有哪些?

提公因式法和运用公式法.

4.例题讲解

例1、下列各式的变形中,哪些是因式分解?

哪些不是?

说明理由.

（1）x2+3x+4=（x+2）（x+1）+2

（2）6x2y3=3xy·2xy2

（3）（3x－2）（2x+1）=6x2－x－2（4）4ab+2ac=2a（2b+c）

例2、将下列各式分解因式.

（1）8a4b3－4a3b4+2a2b5;

（2）－9ab+18a2b2－27a3b3;（3）－x2;

（4）9（x+y）2－4（x－y）2;（5）x4－25x2y2;（6）4x2－20xy+25y2;

（7）（a+b）2+10c（a+b）+25c2.

例3、把下列各式分解因式:

（1）x7y3－x3y3;

（2）16x4－72x2y2+81y4;

5、分解因式的一般步骤为:

（1）若多项式各项有公因式,则先提取公因式.

（2）若多项式各项没公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.

（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止.

Ⅲ.课堂练习P52随堂练习

Ⅳ.课时小结

1.师生共同回顾,总结因式分解的意义,因式分解的方法及一般步骤,其中要特别指出:

必须使每一个因式都不能再进行因式分解.

2.利用因式分解简化某些计算.

Ⅴ.课后作业复习题

Ⅵ.活动与探究求满足4x2－9y2=31的正整数解.（31为质数）