专题04 锐角三角函数的应用原卷版.docx
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专题04锐角三角函数的应用原卷版
2020年中考数学大题狂练之中等大题满分夯基练(江苏专用)
专题04锐角三角函数的应用
【真题再现】
1.(2019年南京第24题)如图,山顶有一塔AB,塔高33m.计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道EF.从与E点相距80m的C处测得A、B的仰角分别为27°、22°,从与F点相距50m的D处测得A的仰角为45°.求隧道EF的长度.
(参考数据:
tan22°≈0.40,tan27°≈0.51.)
2.(2019年连云港第24题)如图,海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向,距离为25海里.在某时刻,哨所A与哨所B同时发现一走私船,其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上,位于哨所B南偏东37°的方向上.
(1)求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离;
(2)若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜,并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截,求缉私艇的速度为多少时,恰好在D处成功拦截.(结果保留根号)
(参考数据:
sin37°=cos53°
,cos37°=sin53°
,tan37°
,tan76°≈4)
3.(2019年宿迁第25题)宿迁市政府为了方便市民绿色出行,推出了共享单车服务.图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图,图②是其示意图,其中AB、CD都与地面l平行,车轮半径为32cm,∠BCD=64°,BC=60cm,坐垫E与点B的距离BE为15cm.
(1)求坐垫E到地面的距离;
(2)根据经验,当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时,坐骑比较舒适.小明的腿长约为80cm,现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E',求EE′的长.
(结果精确到0.1cm,参考数据:
sin64°≈0.90,cos64°≈0.44,tan64°≈2.05)
4.(2019年泰州第21题)某体育看台侧面的示意图如图所示,观众区AC的坡度i为1:
2,顶端C离水平地面AB的高度为10m,从顶棚的D处看E处的仰角α=18°30′,竖直的立杆上C、D两点间的距离为4m,E处到观众区底端A处的水平距离AF为3m.求:
(1)观众区的水平宽度AB;
(2)顶棚的E处离地面的高度EF.(sin18°30′≈0.32,tanl8°30′≈0.33,结果精确到0.1m)
5.(2018年镇江第24题)如图,校园内有两幢高度相同的教学楼AB,CD,大楼的底部B,D在同一平面上,两幢楼之间的距离BD长为24米,小明在点E(B,E,D在一条直线上)处测得教学楼AB顶部的仰角为45°,然后沿EB方向前进8米到达点G处,测得教学楼CD顶部的仰角为30°.已知小明的两个观测点F,H距离地面的高度均为1.6米,求教学楼AB的高度AB长.(精确到0.1米)参考值:
1.41,
1.73.
6.(2018年泰州第23题)日照间距系数反映了房屋日照情况.如图①,当前后房屋都朝向正南时,日照间距系数=L:
(H﹣H1),其中L为楼间水平距离,H为南侧楼房高度,H1为北侧楼房底层窗台至地面高度.
如图②,山坡EF朝北,EF长为15m,坡度为i=1:
0.75,山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房AB,底部A到E点的距离为4m.
(1)求山坡EF的水平宽度FH;
(2)欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD,已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m,要使该楼的日照间距系数不低于1.25,底部C距F处至少多远?
7.(2018年常州第25题)京杭大运河是世界文化遗产.综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽(岸沿是平行的),如图,在岸边分别选定了点A、B和点C、D,先用卷尺量得AB=160m,CD=40m,再用测角仪测得∠CAB=30°,∠DBA=60°,求该段运河的河宽(即CH的长).
8.(2018年徐州第26题)如图,1号楼在2号楼的南侧,两楼高度均为90m,楼间距为AB.冬至日正午,太阳光线与水平面所成的角为32.3°,1号楼在2号楼墙面上的影高为CA;春分日正午,太阳光线与水平面所成的角为55.7°,1号楼在2号楼墙面上的影高为DA.已知CD=42m.
(1)求楼间距AB;
(2)若2号楼共30层,层高均为3m,则点C位于第几层?
(参考数据:
sin32.3°≈0.53,cos32.3°≈0.85,tan32.3°≈0.63,sin55.7°≈0.83,cos55.7°≈0.56,tan55.7°≈1.47)
【专项突破】
【题组一】
1.(2020•南通模拟)小亮一家到桃林口水库游玩.在岸边码头P处,小亮和爸爸租船到库区游玩,妈妈在岸边码头P处观看小亮与爸爸在水面划船,小船从P处出发,沿北偏东60°方向划行,划行速度是20米/分钟,划行10分钟后到A处,接着向正南方向划行一段时间到B处,在B处小亮观测到妈妈所在的P处在北偏西37°的方向上,这时小亮与妈妈相距多少米?
(精确到1m,参考数据:
sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,
1.41,
1.73)
2.(2019•南阳二模)某段笔直的限速公路上,规定汽车的最高行驶速度不能超过60km/h(即
m/s),交通管理部门在离该公路100m处设置了一速度检测点A,在如图所示的坐标系中,A位于y轴上,测速路段BC在x轴上,点B在A的北偏西60°方向上,点C在点A的北偏东45°方向上.
(1)在图中直接标出表示60°和45°的角;
(2)写出点B、点C坐标;
(3)一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用时间为15s.请你通过计算,判断该汽车在这段限速路上是否超速?
(本小问中
取1.7)
3.(2020•宝应县一模)已知电视发射塔BC,为稳固塔身,周围拉有钢丝地锚线(如图线段AB),若AB=60m,并且AB与地面成45°角,欲升高发射塔的高度到CB′,同时原地锚线仍使用,若塔升高后使地锚线与地面成60°角,求电视发射塔升高了多少米(即BB′的高度)?
4.(2019•建邺区校级二模)如图,A、B、C三个城市位置如图所示,A城在B城正南方向180km处,C城在B城南偏东37°方向.已知一列货车从A城出发匀速驶往B城,同时一辆客车从B城出发匀速驶往C城,出发1小时后,货车到达P地,客车到达M地,此时测得∠BPM=26°,两车又继续行驶1小时,货车到达Q地,客车到达N地,此时测得∠BNQ=45°,求两车的速度.
(参考数据:
sin37°
,cos37°
,tan37°
,sin26°
.cos26°
,tan26°
)
5.(2019•秦淮区二模)如图,某数学兴趣小组准备测量长江某处的宽度AB,他们在AB延长线上选择了一座与B距离为200m的大楼,在大楼楼顶的观测点C处分别观测点A和点B,利用测角仪测得俯角(从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成的锐角)分别为8°和46°.求该处长江的宽度AB.(参考数据:
sin8°≈0.14,cos8°≈0.99,tan8°≈0.16,sin46°≈0.72,cos46°≈0.69,tan46°≈1.04)
【题组二】
6.(2019•洪泽区二模)如图,楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°,楼梯底部到墙根垂直距离BD为4m,为了改善楼梯的安全性能,准备重新建造楼梯,使其倾斜角∠ACD为45°,求调整后的楼梯AC的长.
7.(2019•高邮市二模)2021年世界园艺博览会将在扬州枣林湾举办,有一块枣林湾博览会的直传牌CD竖立在路边,其中CB是支柱.小梅同学想计算出CD的长度.于是在A处测得支柱B处的俯角为30°.测得顶端D处的仰角为42°,同时测量出AB的长度是10m,BC的长度是6m.求宜传牌CD的长度(结果保留小数点后一位).(参考数据:
1.73,sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90)
8.(2019•高淳区二模)高淳固城湖大桥采用H型塔型斜拉桥结构(如甲图),图乙是从图甲抽象出的平面图.测得拉索AB与水平桥面的夹角是45°,拉索CD与水平桥面的夹角是65°,两拉索顶端的距离AC为2米,两拉索底端距离BD为10米,请求出立柱AH的长(结果精确到0.1米).
(参考数据:
sin65°≈0.91,cos65°≈0.42,tan65°≈2.14)
9.(2019•南京一模)如图是小莉在一次放风筝活动中某时段的示意图,她在A处时的风筝线(整个过程中风筝线近似地看作直线)与水平线构成37°角,线段AA1表示小红身高1.5米.当她从点A跑动4米到达点B处时,风筝线与水平线构成60°角,此时风筝到达点E处,风筝的水平移动距离CF为8米,这一过程中风筝线的长度保持不变,求风筝原来的高度C1D.
(参考数据:
sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan37°≈0.75.)
10.(2019•六合区二模)如图,为了测量山坡上旗杆CD的高度,小明在点A处利用测角仪测得旗杆顶端D的仰角为37°,然后他沿着正对旗杆CD的方向前进17m到达B点处,此时测得旗杆顶部D和底端C的仰角分别为58°和30°,求旗杆CD的高度(结果精确到0.1m).
(参考数据:
sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,tan58°≈1.6,sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan37°≈0.75,
1.73)
【题组三】
11.(2019•玄武区二模)如图,港口B位于港口A的南偏西45°方向,灯塔C恰好在AB的中点处.一艘海轮位于港口A的正南方向,港口B的南偏东45°方向的D处,它沿正北方向航行18.5km到达E处,此时测得灯塔C在E的南偏西70°方向上,求E处距离港口A有多远?
(参考数据:
sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75)
12.(2020•兴文县模拟)2019年12月17日,我国第一艘国产航母“山东舰”在海南三亚交付海军.如图,“山东舰”在一次试水测试中,航行至M处,观测指挥塔P位于南偏西30°方向,在沿正南方向以30海里/小时的速度匀速航行2小时后,到达N处,再观测指挥塔P位于南偏西45°方向,若继续向南航行.求“山东舰”与指挥塔之间的最近距离为多少海里?
(结果保留根号)
13.(2020•河南一模)如图,某小区有甲、乙两座楼房,楼间距BC为50米,在乙楼顶部A点测得甲楼顶部D点的仰角为37°,在乙楼底部B点测得甲楼顶部D点的仰角为60°,则甲、乙两楼的高度为多少?
(结果精确到1米,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,
1.73)
14.(2020•涡阳县模拟)2018年首届“进博会”期间,上海对周边道路进行限速行驶.道路AB段为监测区,C、D为监测点(如图).已知C、D、B在同一条直线上,且AC⊥BC,CD=400米,tan∠ADC=2,∠ABC=35°.
(1)求道路AB段的长;(精确到1米)
(2)如果AB段限速为60千米/时,一辆车通过AB段的时间为90秒,请判断该车是否超速,并说明理由.(参考数据:
sin35°≈0.57358,cos35°≈0.8195,tan35°≈0.7)
15.(2020•利辛县模拟)“滑块铰链”是一种用于连接窗扇和窗框,使窗户能够开启和关闭的连杆式活动链接装置(如图1).图2是“滑块铰链”的平面示意图,滑轨MN安装在窗框上,悬臂DE安装在窗扇上,支点B、C、D始终在一条直线上,已知托臂AC=20厘米,托臂BD=40厘米,支点C,D之间的距离是10厘米,张角∠CAB=60°.
(1)求支点D到滑轨MN的距离(精确到1厘米);
(2)将滑块A向左侧移动到A′,(在移动过程中,托臂长度不变,即AC=A′C′,BC=BC′)当张角∠C′A'B=45°时,求滑块A向左侧移动的距离(精确到1厘米).(备用数据:
1.41,
1.73,
2.45,
2.65)
16.(2019•海陵区二模)如图,点A处的雷达可扫描半径500海里区域内的物体.已知B船在雷达的南偏东30°处,C船在B船的正东方向,D船在C船的正北方向且在雷达的北偏东45°处,C、D两船相距(400+100
)海里.
(1)若AB=200海里,则点A到直线BC的距离是多少海里?
(2)若BC=300海里,问D船能否被雷达扫描到?
【题组四】
17.(2019•兴化市二模)我市最近开通了“1号水路”观光游览专线,某中学数学活动小组带上高度为1.6m的测角仪,对其标志性建筑AO进行测量高度的综合实践活动,如图,在BC处测得直立于地面的AO顶点A的仰角为30°,然后前进20m至DE处,测得顶点A的仰角为75°.
(1)求AE的长(结果保留根号);
(2)求高度AO(精确到个位,参考数据:
1.4,
1.7)
18.(2019•南京二模)如图,有一截面为矩形BDFE的建筑物,在该建筑物的上方有一信号塔DC.从A测得C、F的仰角分别为45°、26.6°.沿AB方向前进20米到达G处,此时测得F的仰角为37°,从F测得C的仰角为68.2°.
(1)求建筑物EF的高度;
(2)求信号塔DC的高度.
(参考数据:
tan37°≈0.75,tan26.6°≈0.5,tan68.2°≈2.5)
19.(2019•苏州模拟)小松想利用所学数学知识测量学校旗杆高度,如图,旗杆AB的顶端垂下一绳子,将绳子拉直钉在地上,末端恰好在C处且与地面成60°角,小松拿起绳子末端,后退至E处,并拉直绳子,此时绳子末端D距离地面2m且绳子与水平方向成45°角.求旗杆AB的高度.
20.(2019•丹阳市一模)如图,学校教学楼对面是一幢实验楼,小朱在教学楼的窗口C测得实验楼顶部D的仰角为20°,实验楼底部B的俯角为30°,量得教学楼与实验楼之间的距离AB=30m.求实验楼的高BD.(结果精确到1m.参考数据tan20°≈0.36,sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,
21.(2019•鼓楼区二模)如图,一架无人机在点A处悬停,从地面B处观察无人机的仰角是,从楼顶C处观察无人机的仰角是.已知B、AE、CD在同一平面内,BD=115m,楼高CD=50m,求无人机的高度AE.(参考数据:
tanα=2sinα≈0.89,tanβ
,sinβ≈0.55)
22.(2019•镇江一模)如图,在小山的东侧A点有一个热气球,受西风的影响以30米/分的速度沿与地面成75角的方向飞行,20分钟后到达C处,此时热气球上的人测得小山西侧与点A在同一水平线上的B点的俯角为30°,计算A、B两点间的距离.