一道二次函数经典题的50种问法答案.docx
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一道二次函数经典题的50种问法
已知：
如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝3，顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
答案：
y＝x2＋2x－3
（2）判断△ACD的形状，并说明理由；
答案：
直角三角形
（3）求四边形ABCD的面积；
答案：
D（－1，－4），S四边形ABCD＝9
（4）在对称轴上找一点P，使△BCP的周长最小，求出点P的坐标及△BPC的周长．
答案：
lAC：
y＝－x－3，P（－1，－2），△BPC的最小周长＝PC＋PB＋BC＝3＋
（5）在直线AC下方的抛物线有一点N，过点N作直线l∥y轴，交AC于点M，当点N的坐标是多少时，线段MN的长度最大？
最大值是多少？
答案：
lAC：
y＝－x－3，设N（n，n2＋2n－3），M（n，－n－3），
MN＝－n－3－（n2＋2n－3）＝－n2－3n＝－（n＋）2＋≤当n＝－取“＝”号，
∴当N（－，－）时，线段MN的长度最大，最大值是
（6）在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使△CAN的面积最大？
最大面积是多少？
答案：
设N（n，n2＋2n－3），S△CAN＝S△NCM＋S△ANM＝NM·AC＝NM，由（5）可知，当n＝－时NM最大，此时S△CAN＝
（7）在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使四边形ABCN的面积最大？
最大面积是多少？
答案：
S四边形ABCN＝S△ABC＋S△CAN，S△ABC＝6为定值，所以求S△CAN的最大值即可，由（6）可知，当n＝－时NM最大，此时S△CAN＝，此时S四边形ABCN＝9
（8）在y轴上是否存在一点E，使△ADE为直角三角形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
答案：
存在，E（0,）或（0，－1）或（0，－3）或（0，－）
（9）在y轴上是否存在一点F，使△ADF为等腰三角形，若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．
答案：
存在．AD＝2，F（0，2）或（0，±4）或（0，－1）
（10）在抛物线上是否存在一点N，使S△ABN＝S△ABC，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
答案：
存在：
S△ABC＝6，AB＝4，N（－2，－3）或（－1±，3）
（11）在抛物线上是否存在一点H，使S△BCH＝S△ABC，若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由．
答案：
存在．过点A作AH∥BC交抛物线于点H，易求A（－3，0），B（1，0），C（0，－3）yBC＝3x－3，设yAH＝3x＋b，则b＝9，，，，∴H（4，21）
（12）在抛物线上是否存在一点Q，使S△AOQ＝S△COQ，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
答案：
存在．作∠AOC的平分线交抛物线于点Q1、Q2,易求直线Q1Q2解析式为y＝x,联立抛物线得x2＋2x－3＝x，易求Q1（），Q2（）
（13）在抛物线上是否存在一点E，使BE平分△ABC的面积，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
答案：
存在．取AC的中点M，连BM并延长BM交抛物线于点E，∵A（－3,0），C（0,－3），∴M（），易求yBM＝x－，联立抛物线得x2＋2x－3＝x－,∴E（－，－）
（14）在抛物线上找一点F，作FM⊥x轴，交AC于点H，使AC平分△AFM的面积？
答案：
当点H为MF的中点时，AC平分△AFM的面积，设M（m,0），F（m,m2＋2m－3）
H（,），yAC＝－x－3,∴m＝－3（舍），m＝－1，
∴F（－1，－4）
（15）在抛物线的对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使A、B、K、L为顶点的四边形是平行四边形，求出K、L两点的坐标．
答案：
①以AB为边作平行四边形ABKL，∴KL1＝KL2＝AB＝4，K（－1，12），L1（－5，12），L2（3，12），②以AB为对角线作平行四边形AKBL易得k（－1，4），L3（－1，－4）
（16）作垂直于x轴的直线x＝－1，交直线AC于点M，交抛物线于点N，若以A、M、N、E为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标．
答案：
由
（1）得：
y＝x2＋2x－3
∵A（－3，0），C（0，－3）
∴lAC：
y＝－x－3
∴M（－1，－2），N（－1，－4）
①AM∥EN，∴E（－3，－1）
②AM∥NE，∴E（1，－6）
③AN∥EM，∴E（－3，2）
∴综上所述E的坐标为（－3，－1）或（1，－6）或（－3，2）
（17）在抛物线上是否存在一点P，使∠POC＝∠PCO？
若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
答案：
存在，∵∠POC＝∠PCO，即P在CO的垂直平分线上
y＝，∴x2＋2x－3＝，解得x1＝，x2＝
∴P（，）或（，）
（18）在线段AC上是否存在一点M，使△AOM与△ABC相似？
若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
答案：
①△AOM∽△ABC，∴，∴AM＝，∴M（，）
②△AMO∽△ABC，∴，∴AM＝，∴M（－1，－2）
综上所述M（，）或M（－1，－2）
（19）点P是抛物线对称轴上的一个动点，作PH⊥x轴于H，是否存在这样的点P，使△PAH与△OBC相似？
若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
答案：
H（－1，0）
∴①△PAH∽△BCO，∴PH＝6，∴P（－1，6）或P（－1，－6）
②△APH∽△BCO,∴PH＝，∴P（－1，）或P（－1，）
综上所述P（－1，6）或P（－1，－6）或P（－1，）或P（－1，）
（20）若点P从点A出发向点B运动，同时点Q从点O以相同的速度出发向点C运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为T秒，△OPQ的面积为S，求S与T之间的函数关系式，并求出S的最大值．
答案：
S△POQ＝·PO·OQ＝（0≤T≤3）
∴S＝，即当T＝时，Smax＝
（21）点E在y轴上的一个动点，点F是坐标平面上的一个动点，是否存在这样的点E和点F,使点A、D、E、F构成菱形,若存在，求出点E、F的坐标，若不存在，请说明理由．
答案：
可由题意知A（－3，0），D（－1，－4），设F点坐标为（0，y），由四边形ADFE为菱形，可知AD＝AE，可得32＋y2＝22＋42，可求y＝±，∴E1（0，），E2（0，－），由平移可求F1（2，－4＋），F2（2，－4－）
还有一种情况，当AD的垂直平分线交y轴于E3，可列方程为32＋y2＝12＋（y＋4）2，解得y＝－1，∴E3（0，－1），由平移可求F3（－4，－3）
（22）点E在y轴上的一个动点，点F是坐标平面上的一个动点,是否存在这样的点E和点F,使点A、D、E、F构成矩形，若存在，求出点E、F的坐标，若不存在，请说明理由．
答案：
（1）当AE⊥AD时，可证△ADM∽△EAO，可求OE＝1．5，∴E（0，1．5），由平移可得F（2，－2．5）
当DE⊥AD时，可证△DME∽△AND，可求EM＝，∴E（0，－3．5），由平移可得F（－2，0．5）
（2）设E（0，y），以AD为直径作圆⊙P交y轴于E，PE＝AD＝，可列方程22＋（y＋2）2＝5，解得y＝－1或－3，∴E（0，－1）或（0，－3），由平移得F（－4，－3）或（－4，－1）
（23）点P是抛物线对称轴上的一个动点,是否存在这样一个动点P,使|PA－PC|的值最大，若存在,求出点P的坐标，并求出|PA－PC|的最大值，若不存在，请说明理由．
答案：
A关于对称轴对称点为B，作直线BC交对称轴于P，P即为所求，可先求直线BC解析式y＝3x－3，交对称轴于点P（－1，－6）
（24）在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点P,使点P到直线AC的距离最大,若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
答案：
可先求直线AC解析式为y＝－x－3，过P作PQ∥AC，∴设PQ解析式y＝－x＋a，与联立二次函数解析式可得判别式为0，可求a＝－，再可求P（－，－）
（25）在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点P,使点P到直线AC的距离为2,若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
答案：
过P作PQ∥y轴，交AC于Q，过P作PR⊥AC，可证△PQR为等腰直角三角形，当PR＝2时，PQ＝2，设P坐标为（t，t2＋2t－3），则Q为（t，－t－3），可列方程－t－3－t2－2t＋3＝2，＜0，∴不存在在AC下方P到AC距离为2．
（26）在直线AD上,是否存在一点P,使BP＋CP最小，若存在,求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
答案：
点C关于直线对称点,连接BM交AD于P，此时BP＋CP最小，,．
（27）在直线AC上,是否存在－点P,使BP＋AP最小，若存在，求出点P的坐标，并求出最小值，若不存在，请说明理由．
答案：
以AC为边作∠CAN＝30°，过点P作PM⊥AN，当B、P、M三点共线时BP＋AP最小BM⊥AM，∠ABM＝15°AB＝4则BM＝
（28）点E是线段AC．上的一个动点,点P是线段AB上的一个动点，PE∥BC,是否在这样的动点P,使△PEC的面积最大，若存在,求出点P的坐标，并求出△PEC的面积的最大值，若不存在，请说明理由．
答案：
设，即
，
当时，△PEC的面积最大，
（29）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作PE垂直x轴交AC于点E,PF⊥AC于点F,是否存在这样的点P,使△PEF的周长最大,若存在，求出．点P的坐标，并求出△PEC的周长的最大值，若不存在，请说明理由．
答案：
△PEF是等腰Rt三角形，
设，∴
∴当时，，此时
（30）抛物线上是否存在不同的两点关于AC对称，若在求出点这两点的坐标，若不存在，请说明理由．
答案：
假设存在，设为P、Q两点（P在Q的左下方），lPQ：
y＝x＋m，由x2＋2x－3＝x＋m，得
x2＋x－3－m＝0，∴xP＋xQ＝－1，取PQ中点M，则xM＝－，又M在AC上，∴M（－，－），
∴lPQ：
y＝x－2，∴P（，）、Q（，）
（31）点E是坐标轴上的一个动点，是否存在这样的点E，使△ACE是等腰直角三角形，若存在求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
答案：
∵OA＝OC＝3，∴点E坐标为（0,0）；点E在x轴时，点E坐标为（3,0）；点E在y轴时，点E坐标为（0,3）．
（32）【正方形存在性问题】点E是坐标轴上的一个动点，点P在坐标平面内，是否存在这样的点P，使点P、E、A、C四点构成的四边形是正方形，若存在求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
答案：
由（31）中点E的三种位置易知满足条件的点P坐标为（3,0）或（0,3）或（－3,－3）．
（33）已知对称轴交x轴于点E，以E为圆心，为半径作⊙E，试判断直线BC与⊙E的位置关系，并说明理由．
答案：
直线BC与⊙E相切．理由如下：
过点E作EH⊥BC于点H，连接EC，BE＝2，OC＝3，BC＝，利用面积法可求EH＝＝⊙E的半径．
（34）【平行四边形之横平行】已知M为直线AC上一个动点，P为抛物线上一个动点，且PM∥AB，是否存在这样的点P，使点P、M、A、B构成的四边形是平行四边形，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
答案：
∵PM∥AB，点P、M、A、B构成的四边形是平行四边形，∴PM＝AB＝4，直线AC解析式为y＝－x－3，不妨设点P（t，－t－3），则点M（t＋4，－t－3）．∵点M在抛物线上，∴（t＋4）2＋2（t＋4）－3＝－t－3，解得：
t1＝－8，t2＝－3（舍去），则点P坐标为（－8,5）．
（35）【平行四边形之纵平行】已知对称轴交x轴于点E，M为x轴上一个动点，P为抛物线上一个动点，且PM∥ED，是否存在这样的点P，使点P、M、E、D构成的四边形是平行四边形，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
答案：
∵ED＝4，点P、M、E、D构成的四边形是平行四边形，∴PM＝ED＝4，∴yP＝4，又点P在抛物线上，∴x2＋2x－3＝4，解得：
x1＝－1＋2，x2＝－1－2，则满足条件的点P坐标为（－1＋2，4）或（－1－2，4）．
（36）【平行四边形之斜平行】已知M为x轴上一个动点，P为抛物线上一个动点，且PM∥AC，是否存在这样的点P，使点P、M、A、C构成的四边形是平行四边形，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
答案：
设，且，PM//AC
①若以AP为对角线，则，∴
②若以AM为对角线，则，∴或
（37）已知F（－1，－）和直线l：
y＝－，点P为抛物线上任意一个动点，过点P作PD⊥l于D．求证：
PD＝PF．
答案：
由题意得，，
．
（38）【等边三角形存在性问题】F（－1，－）和直线l：
y＝－，点P为抛物线上任意一个动点，过点P作PD⊥l于D，是否存在这样的点P，使△PFD是等边三角形，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
答案：
由题意得，
令，则，或，
∴或
（39）已知F（－1，－）和E（，2）以及直线l：
y＝－，点P为抛物线上任意一个动点，过点P作PD⊥l于D．求PD＋PE的最小值．
答案：
由题意的，当P,E,D在同一直线上时，PD＋PE的最小值．
此时，,∴PD＋PE最小值＝DE＝2＋
（40）已知F为平面内一定点，点P为抛物线上一动点，且点P到直线l：
y＝－的距离与点P到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．
答案：
设，则，
不妨设，化简得，
∵PD＝PF恒成立
∴．
当时，，．
（41）已知F（－1，－）,直线l为平面内一定直线，点P为抛物线上一动点，且点P到直线l的距离与点P到点F的距离总是相等，求定直线l的解析式．
答案：
由题知D为（－1，－4），设P（m，m2＋2m－3），过P作PM⊥l于M，过P作PR∥y轴交l于R，设l的直线解析式为y＝kx＋b
F（－1，－），PF2＝[（m＋1）2＋]2
PF＝PM＝（m＋1）2＋，R（m，km＋b），
PR＝m2＋（2－k）m－3－b
通过相似易证
[（m＋1）2＋]（－1）＋km－b－＝0
∴
∴k＝0，b＝－
直线l为y＝－
（42）已知F（－1，－），过点F的任意直线与抛物线交于P（x1，y1）和Q（x2，y2）两点，弦PQ中点为M，直线l：
y＝－．求证：
以PQ为直径的⊙M与直线l相切．
答案：
过M作MQ⊥l于Q，设过F的直线为y＝kx＋k－
联立抛物线与直线PQ并消y得
x2＋（2－k）x＋－k＝0
∴x1＋x2＝k－2，x1x2＝－k
∴y1＋y2＝k2－
∴M为（，）
∴MQ＝－（－）＝
过P作PR∥x轴，过Q作QR∥y轴，PR与RQ交于R点
通过相似导边易求PQ＝|x1－x2|＝×＝k2＋1
∴r＝＝MQ
∴以PQ为直径的⊙M与直线l相切
（43）已知F（－1，－），过点F的任意直线与抛物线交于P（x1，y1）和Q（x2，y2）两点，弦PQ的中点为M，直线l：
y＝－．若MN⊥l于N．求证：
NF⊥PQ．
答案：
过M作MR⊥DF于R，记对称轴与l交于S，
设直线PQ为y＝kx＋k－
联立直线PQ与抛物线并消y得：
x2＋（2－k）x＋－k＝0
∴x1＋x2＝k－2
∴y1＋y2＝k2－
∴M为（，）
∴MR＝，RF＝，FS＝，NS＝
∴
∴△RMF∽△SFN
∴导角易求∠MFN＝90°
（44）D是抛物线的顶点,任意直线TH与抛物线交于T、H两点,若DT⊥DH．直线TH是否过某一定点，若过某一定点，求出定点坐标；若不过某一定点，请说明理由．
答案：
设T（m，m2＋2m－3），H（n，n2＋2n－3）
易求D（－1，－4）
则直线TH为：
y＝（m＋n＋2）x－mn－3
过D作直线p∥x，过T作TR⊥p于R，过H作HS⊥p于S，易证
（m＋1）（n＋1）＋（m＋1）2（n＋1）2＝0
∴（m＋1）（n＋1）＋1＝0
∴m＋n＋2＝－mn
∴直线TH为：
y＝－mnx－mn－3＝－mn（x＋1）－3
∴直线TH过定点（－1，－3）
（45）若直线PQ是过点E（－1，－3）的与抛物线有两个交点的任意直线，并与抛物线交于P、Q两点，连接DP、DQ．求证：
△DPQ是直角三角形．【注：
实际上就是证明：
DP⊥DQ．】
解：
⑴k＝0时，直线PQ：
y＝－3，联立y＝x2＋2x－3，y＝－3，得P、Q坐标，易得PE＝ED＝EQ，∴为直角△；
⑵k≠0时，抛物线y＝x2＋2x－3，直线PQ：
y＝kx＋k－3，联立得x1＋x2＝k－2，x1×x2＝－k，
过P，Q作x轴的垂线交过点D垂直于y轴的直线于M，N，计算PM×QN＝DM×DN＝1
∵Rt∠，∴△PDM∽△DQN，∴∠PDQ＝90°．
综上，△DPQ是直角三角形．
（46）已知F（－1，－），过点F的任意直线与抛物线交于P（x1，y1）和Q（x2，y2）两点，直线l：
y＝－．分别过点P、Q作PH⊥l于H，QT⊥l于T．求证：
是定值．
答案：
⑴k＝0时，直线PQ：
y＝－，联立y＝x2＋2x－3，y＝－，得P、Q坐标，易得PH＝QT＝，PQ＝1，∴＝1；
⑵k≠0时，抛物线y＝x2＋2x－3，直线PQ：
y＝kx＋k－，联立得x1＋x2＝k－2，x1×x2＝－k，
PH＋QT＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋＝k（x1＋x2）＋2k＋1＝k2＋1．
PQ＝＝×＝k2＋1．∴＝1．
综上，＝1．
（47）已知F（－1，－）（即焦点）的任意直线与抛物线交于P（x1，y1）和Q（x2，y2）两点．求证：
＋为定值．
答案：
⑴k＝0时，直线PQ：
y＝－，联立y＝x2＋2x－3，y＝－，得P、Q坐标，易得PF＝FQ＝，∴＋＝4；
⑵k≠0时，抛物线y＝x2＋2x－3，直线PQ：
y＝kx＋k－，联立得x1＋x2＝k－2，x1×x2＝－k，
PF＝，FQ＝，＋＝×（＋）＝4．
综上，＋＝4．
（48）过点N（－1，－）的任意直线与抛物线交于P、Q两点．求：
＋为定值．
答案：
⑴k＝0时，直线PQ：
y＝－，联立y＝x2＋2x－3，y＝－，得P、Q坐标，易得PN＝NQ＝，∴＋＝4；
⑵k≠0时，设P（x1，y1），Q（x2，y2）抛物线y＝x2＋2x－3，直线PQ：
y＝kx＋k－，联立得x1＋x2＝k－2，x1×x2＝－k，
NP2＝（x1＋1）2＋（y1＋）2，NQ2＝（x2＋1）2＋（y2＋）2，＋＝4．
综上，＋＝4．
（49）已知点T是对称轴上的任意一个点，过点T的任意直线与抛物线交于P、Q两点，M是弦PQ的中点，过点M向x轴作垂线，交抛物线于点N，抛物线在点N处的切线是HK．求证：
HK∥PQ．
答案：
⑴k＝0时，直线PQ与x轴平行，T即为中点M，顶点D即为点N，此时过顶点的切线与x轴平行，∴HK∥PQ；
⑵k≠0时，设P（x1，y1），Q（x2，y2）抛物线y＝ax2＋bx＋c，直线PQ：
y＝mx＋n，联立ax2＋（b－m）x＋c－n＝0，∴x1＋x2＝，x1×x2＝c－n，PQ中点M（，yM）;
设线段PQ上的点M’，过M’作垂线交抛物线于N’，M’N’＝mx＋n－（ax2＋bx＋c）＝－a（x＋）2＋，即当x＝时，M’N’最大，与MN重合，此时S△PQN’最大；
而过N’与PQ平行的直线中，当与抛物线只有一个交点（在N点）时S△PQN’最大；∴HK∥PQ．
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