裂项相消法求和附答案.docx
《裂项相消法求和附答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《裂项相消法求和附答案.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
裂项相消法求和附答案
裂项相消法
利用列项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面剩两项，再就是通项公式列项后，有时需要调整前面的系数，使列项前后等式两边保持相等。
（1）若是{an}等差数列，则
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
1.已知数列的前n项和为，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和为．
[解析]
（1）……………①
时,……………②
①②得:
即 ……………………………………3分
在①中令,有,即，……………………………………5分
故对
2.已知{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，S4=2S2+8．
（Ⅰ）求公差d的值；
（Ⅱ）若a1=1，设Tn是数列{}的前n项和，求使不等式Tn≥对所有的n∈N*恒成立的最大正整数m的值；
[解析]（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，
∵S4=2S2+8，即4a1+6d=2（2a1+d）+8，化简得：
4d=8，
解得d=2．……………………………………………………………………4分
（Ⅱ）由a1=1，d=2，得an=2n-1，…………………………………………5分
∴=．…………………………………………6分
∴Tn=
=
=≥，…………………………………………8分
又∵不等式Tn≥对所有的n∈N*恒成立，
∴≥，…………………………………………10分
化简得：
m2-5m-6≤0，解得：
-1≤m≤6．
∴m的最大正整数值为6．……………………………………………………12分
3.）已知各项均不相同的等差数列{an}的前四项和S4=14,且a1,a3,a7成等比数列.
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式;
（Ⅱ）设Tn为数列的前n项和,求T2012的值.
[答案]（Ⅰ）设公差为d,由已知得（3分）
解得d=1或d=0（舍去）,∴a1=2.（5分）
故an=n+1.（6分）
（Ⅱ）==-,（8分）
∴Tn=-+-+…+-=-=.（10分）
∴T2012=.（12分）
4.）已知数列{an}是等差数列,-=8n+4,设数列{|an|}的前n项和为Sn,数列的前n项和为Tn.
（1）求数列{an}的通项公式;
（2）求证:
≤Tn<1.
[答案]
（1）设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+（n-1）d.（2分）
∵-=8n+4,
∴（an+1+an）（an+1-an）=d（2a1-d+2nd）=8n+4.
当n=1时,d（2a1+d）=12;
当n=2时,d（2a1+3d）=20.
解方程组得或（4分）
经检验知,an=2n或an=-2n都满足要求.
∴an=2n或an=-2n.（6分）
（2）证明:
由
（1）知:
an=2n或an=-2n.
∴|an|=2n.
∴Sn=n（n+1）.（8分）
∴==-.
∴Tn=1-+-+…+-=1-.（10分）
∴≤Tn<1.（12分）
5.已知等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列.
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式;
（Ⅱ）令bn=（-1）n-1,求数列{bn}的前n项和Tn.
[答案]查看解析
[解析]（Ⅰ）因为S1=a1,S2=2a1+×2=2a1+2,
S4=4a1+×2=4a1+12,
由题意得（2a1+2）2=a1（4a1+12）,
解得a1=1,
所以an=2n-1.
（Ⅱ）bn=（-1）n-1=（-1）n-1
=（-1）n-1.
当n为偶数时,
Tn=-+…+-
=1-
=.
当n为奇数时,
Tn=-+…-+++=1+=.
所以Tn=
6.已知点的图象上一点，等比数列的首项为，且前项和
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）若数列的前项和为，问的最小正整数是多少
[解析]解：
（Ⅰ）因为，所以，
所以，，
，
又数列是等比数列，所以，所以，
又公比，所以，
因为，
又，所以，所以，
所以数列构成一个首项为1，公差为1的等差数列，，
所以，当时，，
所以.（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
，（10分）
由得，满足的最小正整数为72.（12分）
7.在数列，中，，，且成等差数列，成等比数列（）.
（Ⅰ）求，，及，，，由此归纳出，的通项公式，并证明你的结论；
（Ⅱ）证明：
.
[解析]（Ⅰ）由条件得，
由此可得.
猜测.（4分）
用数学归纳法证明：
①当时，由上可得结论成立.
②假设当时，结论成立，即，
那么当时，
.
所以当时，结论也成立.
由①②，可知对一切正整数都成立.（7分）
（Ⅱ）因为.
当时，由（Ⅰ）知.
所以
.
综上所述，原不等式成立.（12分）
8.已知数列的前项和是，且．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，，求使成立的最小的正整数的值．
[解析]
（1）当时，，由， ……………………1分
当时，
∴是以为首项，为公比的等比数列． ……………………4分
故 …………………6分
（2）由
（1）知，
………………8分
，
故使成立的最小的正整数的值. ………………12分
9.己知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4=14，且a1，a3，a7成等比数列．
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）设Tn为数列的前n项和，若Tn≤¨对恒成立，求实数的最小值．
[解析]122. （Ⅰ）设公差为d.由已知得……………………………3分
解得，所以………………………………6分
（Ⅱ），
………………………………9分
对恒成立，即对恒成立
又
∴的最小值为……………………………………………………………12分
10.已知数列前项和为，首项为，且，，成等差数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（II）数列满足，求证：
，
[解析]（Ⅰ）成等差数列,∴，
，
当时，,
两式相减得：
.
所以数列是首项为，公比为2的等比数列，. （6分）
（Ⅱ）， （8分）
，
. （12分）
11.等差数列{an}各项均为正整数,a1=3,前n项和为Sn,等比数列{bn}中,b1=1,且b2S2=64,{}是公比为64的等比数列.
（Ⅰ）求an与bn;
（Ⅱ）证明:
++…+<.
[答案]（Ⅰ）设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,则d为正整数,
an=3+（n-1）d,bn=qn-1.
依题意有①
由（6+d）q=64知q为正有理数,又由q=知,d为6的因子1,2,3,6之一,解①得d=2,q=8.
故an=3+2（n-1）=2n+1,bn=8n-1.
（Ⅱ）证明:
Sn=3+5+…+（2n+1）=n（n+2）,
所以++…+=+++…+
=
=<.
12.等比数列{an}的各项均为正数,且2a1+3a2=1,=9a2a6.
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式;
（Ⅱ）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列的前n项和.
[答案]（Ⅰ）设数列{an}的公比为q.由=9a2a6得=9,所以q2=.
因为条件可知q>0,故q=.
由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1,所以a1=.
故数列{an}的通项公式为an=.
（Ⅱ）bn=log3a1+log3a2+…+log3an
=-（1+2+…+n）
=-,
故=-=-2,
++…+=-2++…+=-.
所以数列的前n项和为-.
13.等差数列{an}的各项均为正数,a1=3,其前n项和为Sn,{bn}为等比数列,b1=1,且b2S2=16,b3S3=60.
（Ⅰ）求an和bn;
（Ⅱ）求++…+.
[答案]（Ⅰ）设{an}的公差为d,且d为正数,{bn}的公比为q,
an=3+（n-1）d,bn=qn-1,
依题意有b2S2=q·（6+d）=16,
b3S3=q2·（9+3d）=60,（2分）
解得d=2,q=2.（4分）
故an=3+2（n-1）=2n+1,bn=2n-1.（6分）
（Ⅱ）Sn=3+5+…+（2n+1）=n（n+2）,（8分）
所以++…+
=+++…+
=（10分）
=
=-.（12分）
14.设数列{an}的前n项和Sn满足:
Sn=nan-2n（n-1）.等比数列{bn}的前n项和为Tn,公比为a1,且T5=T3+2b5.
（1）求数列{an}的通项公式;
（2）设数列的前n项和为Mn,求证:
≤Mn<.
[答案]
（1）∵T5=T3+2b5,∴b4+b5=2b5,即（a1-1）b4=0,又b4≠0,∴a1=1.
n≥2时,an=Sn-Sn-1=nan-（n-1）an-1-4（n-1）,
即（n-1）an-（n-1）an-1=4（n-1）.
∵n-1≥1,∴an-an-1=4（n≥2）,
∴数列{an}是以1为首项,4为公差的等差数列,
∴an=4n-3.（6分）
（2）证明:
∵==·,（8分）
∴Mn=++…+
=
=<,（10分）
又易知Mn单调递增,故Mn≥M1=.
综上所述,≤Mn<.（12分）
升级会员 