中考数学几何专项训练及答案.docx
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中考数学几何专项训练及答案
中考数学几何专题训练含答案
1、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交
点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点，
且∠BEH=∠HEG．
（1）若HE=HG，求证：
△EBH≌△GFC；
（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．
2、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分别以AB、AC为边，向形外作等边△ABD和等边△ACE．
（1）如图1，连接线段BE、CD．求证：
BE=CD；
（2）如图2，连接DE交AB于点F．求证：
F为DE中点．
3、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD的中点，EF∥AB交BC于点F
（1）求证：
BF=AD+CF；
（2）当AD=1，BC=7，且BE平分∠ABC时，求EF的长．
A
B
D
E
C
F
4、在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD,∠ABC=60°,延长AD到E,使DE=AD,延长DC到F，使DC=CF,连接BE、BF和EF.
⑴求证：
△ABE≌△CFB;
⑵如果AD=6,tan∠EBC的值.
5、已知：
AC是矩形ABCD的对角线，延长CB至E，使CE=CA，F是AE的中点，连接DF、CF分别交AB于G、H点
（1）求证：
FG=FH；
（2）若∠E=60°，且AE=8时，求梯形AECD的面积．
6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，且CD=2AD，tan∠ABC=2，过点D作DE∥AB，交∠BCD的平分线于点E，连接BE．
（1）求证：
BC=CD；
（2）将△BCE绕点C，顺时针旋转90°得到△DCG，连接EG．求证：
CD垂直平分EG；
（3）延长BE交CD于点P．求证：
P是CD的中点．
7、如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．
（1）求证：
EB=EF；
（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长．
（1）证明：
∵△ADF为等边三角形，
8、已知，矩形ABCD中，延长BC至E，使BE=BD，F为DE的中点，连结AF、CF.求证：
（1）∠ADF=∠BCF；
（2）AF⊥CF.
9、如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AB∥DC，AB=BC，AD与BC延长线交于点F，G是DC延长线上一点，AG⊥BC于E．
（1）求证：
CF=CG；
（2）连接DE，若BE=4CE，CD=2，求DE的长．
10、如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两点，且BE=BF，过点B作AE的垂线交AC于点G，过点G作CF的垂线交BC于点H延长线段AE、GH交于点M．
（1）求证：
∠BFC=∠BEA；
（2）求证：
AM=BG+GM．
11、直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AB=BC，M为BC边上一点．
（1）若∠DMC=45°，求证：
AD=AM．
（2）若∠DAM=45°，AB=7，CD=4，求BM的值．
12、如图，AC是正方形ABCD的对角线，点O是AC的中点，点Q是AB上一点，连接CQ，DP⊥CQ于点E，交BC于点P，连接OP，OQ；
求证：
（1）△BCQ≌△CDP；
（2）OP=OQ．
2013年重庆中考数学第24题专题训练
1、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点，且∠BEH=∠HEG．
（1）若HE=HG，求证：
△EBH≌△GFC；
（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．
（1）证明：
∵HE=HG，
∴∠HEG=∠HGE，
∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG，
∴∠BEH=∠FGC，
∵G是HC的中点，
∴HG=GC，
∴HE=GC，
∵∠HBE=∠CFG=90°．
∴△EBH≌△GFC；
（2）解：
过点H作HI⊥EG于I，
∵G为CH的中点，
∴HG=GC，
∵EF⊥DC，
HI⊥EF，
∴∠HIG=∠GFC=90°，
∠FGC=∠HGI，∴△GIH≌△GFC，∵△EBH≌△EIH（AAS），∴FC=HI=BH=1，∴AD=4-1=3．
2、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分别以AB、AC为边，向形外作等边△ABD和等边△ACE．
（1）如图1，连接线段BE、CD．求证：
BE=CD；
（2）如图2，连接DE交AB于点F．求证：
F为DE中点．
证明：
（1）∵△ABD和△ACE是等边三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，在△DAC和△BAE中，AC=AE∠DAC=∠BAEAD=AB，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴DC=BE；
（2）如图，作DG∥AE，交AB于点G，由∠EAC=60°，∠CAB=30°得：
∠FAE=∠EAC+∠CAB=90°，∴∠DGF=∠FAE=90°，又∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°，又∵△ABD为等边三角形，∠DBG=60°，DB=AB，∴∠DBG=∠ABC=60°，在△DGB和△ACB中，∠DGB=∠ACB∠DBG=∠ABCDB=AB，∴△DGB≌△ACB（AAS），∴DG=AC，又∵△AEC为等边三角形，∴AE=AC，∴DG=AE，在△DGF和△EAF中，∠DGF=∠EAF∠DFG=∠EFADG=EA，∴△DGF≌△EAF（AAS），∴DF=EF，即F为DE中点．
3、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD的中点，EF∥AB交BC于点F
（1）求证：
BF=AD+CF；
（2）当AD=1，BC=7，且BE平分∠ABC时，求EF的长．
（1）证明：
如图
（1），延长AD交FE的延长线于N
∵∠NDE=∠FCE=90°
∠DEN=∠FECDE=EC∴△NDE≌△FCE
∴DN=CF∵AB∥FN，AN∥BF∴四边形ABFN是平行四边形
∴BF=AD+DN=AD+FC
（2）解：
∵AB∥EF，∴∠ABN=∠EFC，即∠1+∠2=∠3，又∵∠2+∠BEF=∠3，∴∠1=∠BEF，∴BF=EF，∵∠1=∠2，∴∠BEF=∠2，∴EF=BF，又∵BC+AD=7+1∴BF+CF+AD=8而由
（1）知CF+AD=BF∴BF+BF=8∴2BF=8，∴BF=4，
∴BF=EF=4
A
B
D
E
C
F
4、在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD,∠ABC=60°,延长AD到E,使DE=AD,延长DC到F，使DC=CF,连接BE、BF和EF.
⑴求证：
△ABE≌△CFB;
⑵如果AD=6,tan∠EBC的值.
解：
（1）证明：
连结CE，
在△BAE与△FCB中，
∵BA=FC，∠A=∠BCF，，AE=BC，
∴△BAE≌△FCB；
（2）延长BC交EF于点G，作AH⊥BG于H，作AM⊥BG，
∵△BAE≌△FCB，
∴∠AEB=∠FBG，BE=BF，
∴△BEF为等腰三角形，
又∵AE∥BC，
∴∠AEB=∠EBG，
∴∠EBG=∠FBG，
∴BG⊥EF，
∵∠AMG=∠EGM=∠AEG=90°，
∴四边形AMGE为矩形，
∴AM=EG，
在Rt△ABM中，
AM=AB•sin60°=6×
=
，
∴EG=AM=
，
BG=BM+MG=6×2+6×cos60°=15，
∴tan∠EBC=
5、已知：
AC是矩形ABCD的对角线，延长CB至E，使CE=CA，F是AE的中点，连接DF、CF分别交AB于G、H点
（1）求证：
FG=FH；
（2）若∠E=60°，且AE=8时，求梯形AECD的面积．
（1）证明：
连接BF
∵ABCD为矩形
∴AB⊥BCAB⊥ADAD=BC
∴△ABE为直角三角形
∵F是AE的中点
∴AF=BF=BE
∴∠FAB=∠FBA
∴∠DAF=∠CBF
∵AD=BC,∠DAF=∠CBF,AF=BF,
∴△DAF≌△CBF
∴∠ADF=∠BCF
∴∠FDC=∠FCD
∴∠FGH=∠FHG
∴FG=FH；
（2）解：
∵AC=CE∠E=60°
∴△ACE为等边三角形
∴CE=AE=8
∵AB⊥BC
∴BC=BE=
=4
∴根据勾股定理AB=
∴梯形AECD的面积=
×（AD+CE）×CD=
×（4+8）×
=
6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，且CD=2AD，tan∠ABC=2，过点D作DE∥AB，交∠BCD的平分线于点E，连接BE．
（1）求证：
BC=CD；
（2）将△BCE绕点C，顺时针旋转90°得到△DCG，连接EG．求证：
CD垂直平分EG；
（3）延长BE交CD于点P．求证：
P是CD的中点．
证明：
（1）延长DE交BC于F，
∵AD∥BC，AB∥DF，
∴AD=BF，∠ABC=∠DFC．
在Rt△DCF中，
∵tan∠DFC=tan∠ABC=2，
∴
=2，
即CD=2CF，
∵CD=2AD=2BF，
∴BF=CF，
∴BC=BF+CF=
CD+
CD=CD．
即BC=CD．
（2）∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE，
由
（1）知BC=CD，
∵CE=CE，
∴△BCE≌△DCE，
∴BE=DE，
由图形旋转的性质知CE=CG，BE=DG，
∴DE=DG，
∴C，D都在EG的垂直平分线上，
∴CD垂直平分EG．
（3）连接BD，
由
（2）知BE=DE，
∴∠1=∠2．
∵AB∥DE，
∴∠3=∠2．∴∠1=∠3．
∵AD∥BC，∴∠4=∠DBC．
由
（1）知BC=CD，
∴∠DBC=∠BDC，∴∠4=∠BDP．
又∵BD=BD，∴△BAD≌△BPD（ASA）
∴DP=AD．
∵AD=
CD，∴DP=
CD．
∴P是CD的中点．
7、如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．
（1）求证：
EB=EF；
（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长．
（1）证明：
∵△ADF为等边三角形，
∴AF=AD，∠FAD=60°
∵∠DAB=90°，∠EAD=15°，AD=AB
∴∠FAE=∠BAE=75°，AB=AF，
∵AE为公共边
∴△FAE≌△BAE
∴EF=EB
（2）过C作CQ⊥AB于Q，
∵CQ=AB=AD=6，
∵∠ABC=60°，
∴BC=6÷
=
．
8、已知，矩形ABCD中，延长BC至E，使BE=BD，F为DE的中点，连结AF、CF.求证：
（1）∠ADF=∠BCF；
（2）AF⊥CF.
证明：
（1）在矩形ABCD中，
∵∠ADC=∠BCD=90°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△DCE中，
∵F为DE中点，
∴DF=CF，
∴∠FDC=∠DCF，
∴∠ADC+∠CDF=∠BCD+∠DCF，
即∠ADF=∠BCF；
（2）连接BF，
∵BE=BD，F为DE的中点，
∴BF⊥DE，
∴∠BFD=90°，即∠BFA+∠AFD=90°，
在△AFD和△BFC中AD=BC∠ADF=∠BCFCF=DF，
∴△ADF≌△BCF，
∴∠AFD=∠BFC，
∵∠AFD+∠BFA=90°，
∴∠BFC+∠BFA=90°，
即∠AFC=90°，
∴AF⊥FC．
9、如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AB∥DC，AB=BC，AD与BC延长线交于点F，G是DC延长线上一点，AG⊥BC于E．
（1）求证：
CF=CG；
（2）连接DE，若BE=4CE，CD=2，求DE的长．
解答：
（1）证明：
连接AC，
∵DC∥AB，AB=BC，
∴∠1=∠CAB，∠CAB=∠2，
∴∠1=∠2；
∵∠ADC=∠AEC=90°，AC=AC，
∴△ADC≌△AEC，
∴CD=CE；
∵∠FDC=∠GEC=90°，∠3=∠4，
∴△FDC≌△GEC，
∴CF=CG．
（2）解：
由
（1）知，CE=CD=2，
∴BE=4CE=8，
∴AB=BC=CE+BE=10，
∴在Rt△ABE中，AE=AB2-BE2=6，
∴在Rt△ACE中，AC=AE2+CE2=
由
（1）知，△ADC≌△AEC，
∴CD=CE，AD=AE，
∴C、A分别是DE垂直平分线上的点，
∴DE⊥AC，DE=2EH；（8分）
在Rt△AEC中，S△AEC=
AE•CE=
AC•EH，
∴EH=
=
=
∴DE=2EH=2×
=
10、如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两点，且BE=BF，过点B作AE的垂线交AC于点G，过点G作CF的垂线交BC于点H延长线段AE、GH交于点M．
（1）求证：
∠BFC=∠BEA；
（2）求证：
AM=BG+GM．
证明：
（1）在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，
在△ABE和△CBF中，
AB=BC∠ABC=∠ABCBE=BF，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠BFC=∠BEA；
（2）连接DG，在△ABG和△ADG中，
AB=AD∠DAC=∠BAC=45°AG=AG，
∴△ABG≌△ADG（SAS），
∴BG=DG，∠2=∠3，
∵BG⊥AE，
∴∠BAE+∠2=90°，
∵∠BAD=∠BAE+∠4=90°，
∴∠2=∠3=∠4，
∵GM⊥CF，
∴∠BCF+∠1=90°，
又∠BCF+∠BFC=90°，
∴∠1=∠BFC=∠2，
∴∠1=∠3，
在△ADG中，∠DGC=∠3+45°，
∴∠DGC也是△CGH的外角，
∴D、G、M三点共线，
∵∠3=∠4（已证），
∴AM=DM，
∵DM=DG+GM=BG+GM，
∴AM=BG+GM．
11、直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AB=BC，M为BC边上一点．
（1）若∠DMC=45°，求证：
AD=AM．
（2）若∠DAM=45°，AB=7，CD=4，求BM的值．
（1）证明：
作AF⊥CD交延长线于点F．
∵∠DMC=45°，∠C=90°
∴CM=CD，
又∵∠B=∠C=∠AFD=90°，AB=BC，
∴四边形ABCF为正方形，
∴BC=CF，
∴BM=DF，
在Rt△ABM和Rt△AFD中，AB=AF，∠B=∠AFD=90°，BM=DF，
∴△ABM≌△AFD，
∴AD=AM．
（2）解：
把Rt△ABM绕点A顺时针旋转90°，使AB与AE重合，得Rt△AFN．
∵∠DAM=45°，
∴∠BAM+∠DAF=45°，
由旋转知∠BAM=∠NAF，∴∠DAF+∠NAF=45°，
即∠DAM=∠DAN，
由旋转知AM=AN，
∴△ADM≌△ADN，
∴DM=DN，
设BM=x，
∵AB=BC=CF=7，
∴CM=7-x
又∵CD=4，
∴DF=3，BM=FN=x，
∴MD=DN=3+x，
在Rt△CDM中，（7-x）2+42=（3+x）2，
解得：
x=
∴BM的值为
．
答：
BM的值为
．
12、如图，AC是正方形ABCD的对角线，点O是AC的中点，点Q是AB上一点，连接CQ，DP⊥CQ于点E，交BC于点P，连接OP，OQ；
求证：
（1）△BCQ≌△CDP；
（2）OP=OQ．
证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠PCD=90°，BC=CD，
∴∠2+∠3=90°，
又∵DP⊥CQ，
∴∠2+∠1=90°，
∴∠1=∠3，
在△BCQ和△CDP中，
∠B=∠PCDBC=CD∠1=∠3．
∴△BCQ≌△CDP．
（2）连接OB．
由
（1）：
△BCQ≌△CDP可知：
BQ=PC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
而点O是AC中点，
∴BO=
AC=CO，∠4=
∠ABC=45°=∠PCO，
在△BCQ和△CDP中，BQ=CP∠4=∠PCOBO=CO
∴△BOQ≌△COP，
∴OQ=OP．
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